江西省南昌市第二中学2024-2025学年高三上学期数学小练4

高三数学小练 一、单选题 1．“”是“函数在上单调递减的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 二、多选题 5．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点 6．已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 7．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 8．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 四、解答题 9．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知． (1)求的面积； (2)点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 10．已知函数， (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求a的最小值； (3)如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围. 高三数学小练 一、单选题 1．“”是“函数在上单调递减的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 由，则，单调递减成立，即充分性成立； 当时，函数在上单调递减， 推不出成立，如，故必要性不成立； 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由于， 所以是偶函数，要使在有唯一的零点，则， 即，解得，故选：A 3．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 4．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 【答案】D 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 二、多选题 5．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点 【答案】ABD 【详解】解：点代入解析式得，，即， 又 故A项正确. 由，解得， 又，， 由A项可知，则有， 因此， 又因为和和， 可知，，解得故B项正确. 由AB选项可知，， 则时，，此时函数值域为故C项错误. 由五点作图法作出的图象及的图象，如下图所示。 通过图象可知与的图像有3个不同交点， 因此函数有三个零点.因此D项正确。 故选：ABD 6．已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【详解】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC 三、填空题 7．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 【答案】 【详解】由题得， 所以， 所以即，    如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 8．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为， 所以，得到，又正三棱柱的高为2， 所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为， 则， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当与（或）重合时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于，则， 此时，得到. 故答案为： 四、解答题 9．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．    (1)求的面积； (2)点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）法一：由及正弦定理得： 又∵是边上的中线，， 即 易知为锐角，， ；    （法二）由及正弦定理得： ， 在中，由正弦定理得 ①， 在中，设，由正弦定理得②， ①②得，  易知为锐角，， ； （法三）：由及正弦定理得：， 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ， ∴， 整理得，即， ∴ 或 ， 经检验，符合题意， ∴， ∴． （2）    设 ∵D为BC的中点，， ， 又E、G、F三点共线，所以，即③ 又， ， 由（1）知，， 化简得④，  由③④，得，，   ∴. 【点睛】思路点睛：第二问以为基底，设利用向量共线充要条件即：若三点共线，则平面中任一点，有，有，故得出的一个关系式，再结合得出的另一个关系式，解方程组求出，再计算面积比值即可. 10．已知函数， (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求a的最小值； (3)如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)； (3) 【详解】（1）∵定义域为，， ∴当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值． （2）依题可知，，在上恒成立，显然，所以， 设，，，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． （3）方法1：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 由可得，则， 故， 令，，，可得. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故，， 又因为，，且，所以， 因此，的取值范围是． 方法2：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 令，则，可得， 由可得， 令，其中，令可得， 当时，，此时函数单调递减，当时，， 此时函数单调递增，故当时，， 又因为，，且，所以， 因此的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$