1.3第3课时　完全平方公式的认识 教学设计 2024—2025学年北师大版七年级数学下册

1.3第3课时　完全平方公式的认识 教学设计 2024—2025学年北师大版七年级数学下册 一、教学目标 依据初中数学课程标准以及本章节教材内容，本节课教学目标设定如下： （一）数学抽象素养目标 1. 学生能从具体的多项式乘法运算实例中，观察、分析并归纳出完全平方公式的结构特征，理解完全平方公式的本质是一种特殊多项式乘法的简化形式。 2. 能够用准确的数学语言描述完全平方公式，区分公式中的各项，明确公式中字母的取值范围，将具体的数学运算抽象为公式模型，提升从具体到抽象的思维能力。 （二）逻辑推理素养目标 1. 通过对完全平方公式的推导过程，引导学生运用多项式乘法法则进行逐步推理，理解每一步变形的依据，培养学生严谨的逻辑推理能力，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑关系。 2. 能运用完全平方公式对给定的式子进行变形和推理，判断式子是否符合完全平方公式的形式，若不符合，能分析原因并尝试转化，进一步强化逻辑思维。 （三）数学运算素养目标 1. 熟练掌握完全平方公式的展开和化简运算，能够准确、迅速地运用公式计算形如(a+b)²、(a-b)²的式子，提高运算的准确性和速度。 2. 学会运用完全平方公式进行简便运算，如对接近整十、整百的数的平方计算，能灵活选择合适的变形方式，简化计算过程，增强运算技巧和运算能力。 （四）数学建模素养目标 1. 经历从实际生活问题中抽象出完全平方公式模型的过程，例如在计算正方形面积变化、物体运动轨迹面积等场景中，建立数学模型，体会数学与生活的紧密联系，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 2. 能将实际问题中的数量关系用完全平方公式表示出来，通过求解公式来解决实际问题，培养学生数学建模的意识和能力。 （五）数学应用意识素养目标 1. 感受完全平方公式在数学学科内部以及其他学科、实际生活中的广泛应用，如在几何图形面积计算、物理力学中力的合成与分解等方面的应用，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 2. 引导学生主动运用完全平方公式解决各类数学问题和实际问题，培养学生学以致用的意识，提高学生运用数学知识解决问题的能力和创新思维。 二、教学重难点 （一）重点 1. 理解完全平方公式的结构特征，准确掌握公式的形式，即(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b² ，能清晰分辨公式中的各项。 2. 熟练运用完全平方公式进行多项式的乘法运算、化简和求值，能够正确、迅速地展开式子并进行计算。 （二）难点 1. 对完全平方公式中“完全平方”含义的理解，以及公式中2ab这一项的来源和系数2的理解，克服对公式结构理解的困难。 2. 能够灵活运用完全平方公式解决各种类型的问题，尤其是在式子变形较为复杂的情况下，准确判断是否适用公式，并正确选择公式进行计算，避免出现(a±b)²=a²±b²这样的错误。 三、教学方法 采用讲授法、讨论法、自主探究法相结合的教学方法。讲授法用于清晰阐述概念和公式；讨论法促进学生思维碰撞，深化对知识的理解；自主探究法培养学生独立思考和解决问题的能力。 四、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 1. 教师活动 创设情境：“同学们，我们学校要修建一个边长为a米的正方形花坛，现在为了美观，要在花坛的边长方向分别向外扩展b米，形成一个新的大正方形花坛。那么，这个新花坛的面积是多少平方米呢？大家可以试着用不同的方法来表示。”引导学生思考并列出不同的表达式。提问：“大家想一想，这两种表示面积的方法之间有什么关系呢？”激发学生的兴趣，引入本节课主题。 2. 学生活动 思考问题，结合图形和已学的正方形面积公式，尝试用不同方法表示新花坛的面积，如(a+b)²和a²+2ab+b² ，并思考两者之间的联系。 3. 设计意图 从贴近学生校园生活的场景出发，使学生感受到数学源于生活，激发学生的学习热情。通过用不同方法表示面积，为后续推导完全平方公式做铺垫。 （二）探索新知（12分钟） 1. 完全平方公式的推导 教师活动 以刚才的花坛面积问题为例，引导学生详细分析两种表示方法。从(a+b)²出发，根据多项式乘法法则展开：(a+b)×(a+b)=a×(a+b)+b×(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b² 。讲解过程中，强调每一步的运算依据。接着，提出如果是边长为a米的正方形花坛，在边长方向分别向内缩减b米（a>b），新的小正方形花坛面积又该如何表示呢？引导学生用同样的方法推导(a-b)²的结果。 学生活动 认真倾听老师的推导过程，理解每一步的变形依据，跟随老师的思路进行思考。在老师的引导下，自主推导(a-b)²的展开式，即(a-b)×(a-b)=a×(a-b)-b×(a-b)=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b² 。 2. 完全平方公式的概念 教师活动 讲解完全平方公式的概念：“像(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²这样的式子，我们叫做完全平方公式。这两个公式分别表示两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。”着重辨析两个公式的异同点，通过具体例子加深学生对公式的理解。 学生活动 深入理解完全平方公式的概念，对比两个公式的结构特点，体会“和”与“差”在公式中的体现，以及2ab这一项在不同公式中的符号变化。 （三）公式的特征分析（8分钟） 1. 教师活动 讲解完全平方公式的结构特征：“首先，公式左边是一个二项式的完全平方，要么是两数和的平方，要么是两数差的平方。右边是三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央。这里的首、尾指的是二项式中的两项，积的2倍的符号要根据左边是和还是差来确定，和的平方就是加，差的平方就是减。”通过举例，如(2x+3y)² 、(4m-5n)²等，让学生分析各项分别对应公式中的哪一部分。 2. 学生活动 认真学习完全平方公式的结构特征，仔细观察老师所举例子，理解并掌握如何根据公式结构分析式子中的各项，明确首项、尾项以及中间项与公式的对应关系。 （四）例题讲解（10分钟） 1. 教师活动 板书例题： 例1：计算(3x+2)²。 讲解：“我们根据完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²来计算，这里a=3x，b=2。那么(3x+2)²=(3x)²+2×3x×2+2² =9x²+12x+4 。” 例2：计算(5y-4)²。 讲解：“对于(5y-4)²，我们用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式，a=5y，b=4。所以(5y-4)²=(5y)²-2×5y×4+4² =25y²-40y+16 。” 例3：运用完全平方公式计算102²。 讲解：“102²可以写成(100+2)²，这样就符合(a+b)²的形式，a=100，b=2。则102²=(100+2)²=100²+2×100×2+2² =10000+400+4=10404 。” 2. 学生活动 认真倾听老师的讲解，仔细观察解题步骤，学习如何运用完全平方公式进行计算，理解在不同题目中如何确定公式中的a和b，对于不理解的地方及时提问。 （五）课堂练习（15分钟） 1. 教师活动 在多媒体上展示练习题： 练习1：计算下列各式。 (1)(x+5)² (2)(2x-3)² (3)(4a+1)² (4)(3m-2n)² 练习2：判断下列计算是否正确，错误的请改正。 (1)(a+b)²=a²+b² (2)(x-2y)²=x²-2xy+4y² (3)(2m+n)²=4m²+2mn+n² 练习3：运用完全平方公式计算99²。 巡视学生的练习情况，及时发现学生存在的问题并给予指导。对于普遍存在的问题，集中进行讲解。 2. 学生活动 独立完成练习题，运用所学的完全平方公式进行计算和判断，遇到困难时，先思考回顾所学知识，尝试解决问题，也可以向同桌请教。完成练习后，认真检查。 （六）课堂小结（5分钟） 1. 教师活动 引导学生回顾本节课所学内容：“同学们，让我们一起回顾一下今天学习的知识。谁能说一说完全平方公式是什么？它的结构特征有哪些？在运用公式时需要注意什么？”对学生的回答进行补充和完善，再次强调公式的重点和易错点。提问：“在本节课的学习中，你觉得哪个部分最有挑战性，你是如何克服的？” 2. 学生活动 回顾本节课的学习内容，积极举手回答问题，总结完全平方公式的内容、结构特征以及运用时的注意事项。分享在学习过程中遇到的最具挑战性的部分以及克服困难的方法，如在理解2ab这一项的系数和符号变化时遇到困难，通过多做练习和对比不同例子后逐渐理解。 （七）布置作业（5分钟） 1. 教师活动 布置书面作业：课本相关习题，要求学生认真完成，注意书写规范和解题步骤的完整性。布置思考作业：思考生活中还有哪些实际问题可以用完全平方公式来解决，下节课进行交流。 2. 学生活动 记录作业内容，明确作业要求。 五、教学反思 在本节课的教学过程中，通过实际生活情境引入，学生对完全平方公式的推导有了一定的理解。但部分学生在理解公式结构特征时存在困难，尤其是对2ab这一项的理解不够深入，在运用公式计算时容易漏乘2或符号出错。在解决实际问题并运用公式建立模型时，部分学生难以准确把握数量关系。针对这些问题，在今后的教学中，应加强对公式结构的专项练习，通过更多实例帮助学生理解2ab的含义。强化计算练习，提高学生运算的准确性。在实际问题教学中，引导学生逐步分析，提高学生建立数学模型的能力，关注学生个体差异，及时给予辅导。 学科网（北京）股份有限公司 $$