5.2.3简单复合函数的导数 同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数（同步训练） 一、选择题 1.下列函数不是复合函数的是(　　) A.y＝－x3－＋1　 B.y＝cos C.y＝　　 D.y＝(2x＋3)4 2.函数f(x)＝sin2x的导数是(　　) A.2sinx　 B.2sin2x C.2cos x　 D.sin 2x 3.已知函数f(x)＝ex－sin 2x，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x＋y＋1＝0　　 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋1＝0　　 D.x－y－1＝0 4.曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B.2 C.3 D.0 5.函数y＝cos (1＋x2)的导数是(　　) A.2x sin (1＋x2) B.－sin (1＋x2) C.－2x sin (1＋x2) D.x sin (1＋x2) 6.下列对函数的求导正确的是(　　) A.y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B.y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C.y＝cos，则y′＝sin D.y＝22x－1，则y′＝22xln 2 7.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　) A.20 mm B.400 mm C. mm/min D. mm/min 8.(多选)设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0＜φ＜2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为(　　) A.　 B. C.　 D. 9.(多选)下列结论中正确的是(　　) A.若y＝cos ，则y′＝sin B.若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C.若y＝ln 5x，则y′＝ D.若y＝e2x，则y′＝e2x 二、填空题 10.若f(x)＝xe2x，则f′(1)＝_________ 11.若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________ 12.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________ 13.若经过原点作曲线y＝e1－x的切线，则切线方程为______________ 三、解答题 14.求曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程． 15.求下列函数的导数． (1)y＝e2x+1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成的；C是由y＝，u＝ln x复合而成的；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成的． 2.D 解析：y＝sin2x写成y＝u2，u＝sinx的形式．对外层函数求导为y′＝2u，对内层函数求导为u′＝cos x，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2u cosx＝2sin x cos x＝sin 2x．故选D． 3.B 解析：因为f(x)＝ex－sin 2x，所以f(0)＝e0－sin 0＝1，f′(x)＝ex－2cos 2x，所以f′(0)＝e0－2cos 0＝－1，切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0． 4.A 解析：y＝ln (2x－1)的导函数为y′＝，设与曲线y＝ln (2x－1)相切且与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，设切点为(x0，y0)，∴＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2x0－1)＝ln 1＝0，∴切点为(1，0)，∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是． 5.C 解析：y′＝－sin (1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2)． 6.D　解析：A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin，∴C错误；D中，y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确． 7.D 解析：∵f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝. 8.AC 解析：f′(x)＝－sin (x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)＝2sin ．若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin ，因此φ＋＝kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝． 9.AB　解析：对A，y′＝－sin·＝sin，A正确；对B，y′＝cos x2·(x2)′＝2x cos x2，B正确；对C，y′＝·(5x)′＝，C错误；对D，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x，D错误． 二、填空题 10.答案：3e2 解析：f′(x)＝e2x＋2x·e2x＝(1＋2x)e2x，所以f′(1)＝3e2． 11.答案：3 解析：由f(x)＝eax＋ln (x＋1)，得f′(x)＝aeax＋．∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3． 12.答案：2 解析：∵y＝eax，∴y′＝aeax，∴曲线y＝eax在点(0，1)处的切线方程是y－1＝a(x－0)，即ax－y＋1＝0．∵直线ax－y＋1＝0与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴－a＝－1，即a＝2． 13.答案：y＝－e2x 解析：因为y＝e1－x，所以y′＝e1－x(1－x)′＝－e1－x．设切点为(t，e1－t)，因为切线过原点，所以f′(x0)＝－e1－t＝，解得t＝－1，所以k＝f′(－1)＝－e2，切点为(－1，e2)，所以切线方程是y－e2＝－e2(x＋1)，即y＝－e2x． 三、解答题 14.解：因为y＝1－，所以y′＝． 所以k＝＝2． 所以曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为y－(－1)＝2[x－(－1)]，即y＝2x＋1． 15.解：(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1． (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－． (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－＝． (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数， ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cosx＋3cos 3x． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$