安徽省县中联盟2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

绝密★启用前 2024~2025学年度高二年级期末质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间 120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知抛物线的方程为 则抛物线的准线方程为 C. y=1 D. y=2 2.已知全集,!则 A.{-2,-1,1} B.{-1,0,1} C.{1,2} D.{0,-1} 3.已知函数 则 = A.-1 B.2 C.5 D.9 4.记 Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则 A.4 B.2 C.-2 D.-4 5，已知曲线 在点处的切线与直线垂直,则a的值为 B.-1 C.1 D. 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为,且满足 则 tan 2A= A. D.2 7.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，且椭圆上存在点 P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 B.(0, 8.已知函数 记 则的大小关系为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知样本数据2,3,6,1,9,9,则这组数据的 A.众数为9 B.平均数为5 C.40%分位数为2.5 D.方差为 10.下面四个结论中正确的是 A.点P(1,-1,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(1,-1,-2) B.若,则向量的夹角是钝角 C.若对空间中任一点O，有 则M,A,B,C四点共面 D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11.在公比为q的等比数列{an}中, 记数列{an}的前n项积为 Tn，则下列说法正确的是 A. C.若 则 Tn的最大项为T₁₉ D.若 则 Tn的最小项为T₁₈ 二、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数 的共轭复数为，则 13,已知圆E 点 P 是直线上的一点,过点 P 作圆E 的两条切线，切点分别为A，B，则当取得最小值时，直线AB的方程为 . 14.若对于任意的,不等式 恒成立，则a 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知直线与直线 平行. (1)求这两条平行线间的距离； (2)若以点为圆心, 为半径的圆，与直线相切，求的值， 16.(本小题满分15分) 在递增的等比数列{an}中, 且 是和的等差中项. (1)求{an}的通项公式; (2)若 求数列{bn}的前n项和 Sn. 17.(本小题满分15分) 如图,在四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中, ,点 E,F 分别为. 与AB的中点. (1)证明:EF∥平面BDD₁B₁; (2)当AA₁⊥底面 A₁B₁C₁D₁ 且三棱锥 F-EA₁B₁ 的体积为 时，求平面. 与平面 的夹角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知双曲线 与椭圆 的焦点相同，且过点. (1)求C的标准方程； (2)若点M，N是y轴上关于原点对称的两点，直线 PM与C 交于另外一点A，直线 PN与C交于另外一点B，试判断直线AB是否过定点?若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)讨论的单调性; (2)若函数 恰有两个极值点、 ①求a的取值范围； ②证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$2024~2025学年度高二年级期末质量检测·数学 1/5 参考答案、提示及评分细则 题号 1 % 今 6 7 8 答案 A A B B D C B 题号 9 10 11 答案 ABD AC AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【解析】因为抛物线的方程为y=4,所以标准方程为2=不y,所以抛物线的准线方程为y=一石故选A. 2.【答案】A 【解析】因为全集U={-2,-1,0,1,2},A={x|x2=2x}={0,2},故CuA={-2,-1.1).故选A 3.【答案】B 【解析】由题中函数的解析式可得f(7)=f(7-3)=f(4)=f八4一3)=f(1)=f(1一3)=f(-2)=(-2)2-2 =2,故选B 4.【答案】B 【解析】因为S,=7a,=14,所以a1=2.故选B 5.【答案1D 【解折】由题意得，函数f的定义城为0，+o∞)，且f)=士+2ar,了)=1+2a,此切线与x十4y十8= 0垂直，则了1)=4，∴1+2a=4a=是故选D 6,【答案C 【得折1抽题意得-十e-2,由余孩定理得6oA-十立-9：AE0.血A-号， 26 .tan A- 号m2A==2E,故选C 7.【答案】C 【解析1抽稀圆的定义得1PF,1+PF,=2a,又PF,1-71PF,所以PF,=子aPR,-子a,又PR, -PF1<1RR1=2,当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以子。-a<2,即受a<2,则=日 ≥子，即子≤<1，即椭圆的离心串的取值范围是[是，1)故选C 8.【答案】B 【解析】因为f(-x)=e'-c十sin(-2x)=e一e-in2r=一f(x),所以f(x)为奇函数，所以a=一f(-ln2)= f(ln2),又了(x)=c+e+cos2x≥c十e-2≥2√·e7-2=0,所以f(x)在R上单调递增，又 log<log2=号=hE<n2<ne=1=e<e,所以6Ka<,故选B 【高二数学参考答案第】页（共5页）】 25280B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.【答案】ABD 【解析】首先，我们把数据从小到大排列，得到1,2,3,6,9,9， 对于A:观察得数据9出现的次数最多，所以众数为9，故A正确： 对于B:平均数为1+2+3+6+9+9=30=5，故B正确， 6 6 一、心样知件元3以题，写路u材，元移从·江写道知山以始州T,胃罗州1到日8口套个。主？河 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】ABD 【解析】首先，我们把数据从小到大排列，得到1,2,3,6,9,9， 对于A:观察得数据9出现的次数最多，所以众数为9，故A正确： 对于B1平均数为+2+3牛6+9出=号=5：放B正确： 对于C:因为一共有6个数据，且6×40%=2.4，所以40%分位数为第3个数，故40%分位数为3，故C错误： 对于D方差为号×[1-5+(2-5)+(3-5+(6-5+(9-5)+(9-5]=言×[16+9+4+1+ 16+16]-合×62-号，故D正确，故选ABD, 10.【答案】AC 【解析】对于A,点P(1,一1,2)关于Oy平面对称的点的坐标是(1，一1，一2)，A正确： 对于B,当a,b反向时，a·b=|a|·|bcos<0,此时向量的夹角为x,不是纯角，B错误： 对于C由于对空间中任一点0，有O成=耐+成+之.雨+号+片=1：故M,A,B,C四点共 面，C正确： D选项，设a十b=p(a十b+c)+e,即a十b=m十地+(p十g)c,故 1g=- ,故a十b,a十b 十c,c共面，不能构成空间的一个基底，D错误.故选AC. 11.【答案】AC 【解析】抽题意知a十ag=号+a:<0,又a>0,所以号+1<0，解得-1<g<0,放A正确： 因为a:十a:=a:g(1十g),又-1<q<0,所以ag(1十g)>0,所以a:a十a:>0,故B错误： 因为一1<g<0,(am一1)(ao一1)<0，所以0<a<1<am,所以数列{a,》中的奇数项为负数，偶数项为正 数，Te>0,Tn>0,又Tw-Te=(andidn一1)Tiw=(a一1)Tn>0,所以T.的最大项为Tn,故C正确： 因为一1<g<0,(an+1)(an+1)<0,所以an<一1<aw<0,又数列(a,)中的奇数项为负数，偶数项为正 数，T:<0,Tw<0,又T:一T=(1一a)T,而a>0,若0<an<1,则T:一T=(1一am)T:<0,此时 T:<T,故D错误.故选AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【管案 【摆引--厚 13.【答案1x+2y-5=0 【解析】引PE引·|AB引取最小值台四边形PAEB面积最小白EP⊥直线，此时直线EP方程为2x一y十1=0， 与直线1联立求出点P(一1，一1)，以PE为直径的圆的方程为x+(y一1)产=5，因此直线AB的方程为x +2y-5=0. 14【答案号 【解折】因为x2-x+2nx≤ae+lna,所以+2lnx≤ae+x+lna,即x2+lnx≤ae'+ln(ae),令g(x) 十lh,所以g2)Caae).又)=1+>0，所以g在0，+eo)上单调递增，所以F<a心，甲 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 25280B 吉<a令4=号>0，所以=2。兰-2二型◆M>0解得0<<2，令<0，解特 >2,所以h(x)在(0,2)上单调遥增，在(2，+∞)上单调遥减，所以h(x)一=h(2)=亭，所以a≥子，即。 的最小值为子 四、解答题：本题共5小题，共T7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案11号(2)-号或号 【解折】(1)直线y=一2x+1,即2x十y一1=0与直线x一ay一1=0平行，…*……1分 则一2公=1X1,一2a=1,解得a=一交，………3分 则直线x一ay一1=0为2江十y一2=0，…4分 所以这两条平行线间的距离d=一1+2-。 2+下5 …6分 (2)由题意知点A(%,0)到直线x一ay一1=0的距离为5，…8分 由0)知直线r一ay一1=0为2x+y一2=0，则2二是=5，…1分 √2+1卫 解得一受或子。 404444444”135分 由（1)知直线xay一1=0为2x十y2=0,则2是=5，…1分 √2+7 解得6=一或子 …4413分 16【管案11a=g（2S=号-2+ 2 为2a,-3是a:和a:的等差中项，所以a:十a=2(2a,一3)，又a+a+a1=39,所以2(2a,- 3/5 442分 4…3分 所以十@4=30，设等比数列{a,}的公比为q,所以号+9g=30,…………5分 解得g=号（含)或g=3.所以a1=号-1，…6分 （2)由（10知6=士+og,=3+o31=(兮）十-1.…10分 质双8+6+6+核-（号广o+(仔）广+1（传+*+（传》广户+1上 1-3 -2-2+"2, 1n【备案1详见解析2)严 【解析】(I)连接AD,BD1,因为点E是DA,的中点，ADD1A,为平行四边形，则A,E, D1三点共线，………小…………4…4………1分 则点E是AD1的中点，且F是AB的中点， 所以EF∥BD1,…………3分 且EF丈平面BDD1B,BD,C平面BDD,B, 所以EF∥平面BDDB:……5分 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 25280B (2)当A上底面ABGD,时，Vre与-V4-m,5A=2×1X2M=是AM=3 如图，建立空间直角坐标系， E(合0,2）品0,20)，F(013),成=（-2-）8F- (0,-1,3),…10分 设平面EB,F的法向量m=(x,y:), EB·m=-x十4y-3红=0 B,F,m=-y+3:=0 取x=1,则x=9,y=3, 则平面EBF的法向量m=(9,3,1),平面A1B1F的法向量为n=(1,0,0),……13分 设平面EB:F与平面A,BF夹角为0， 则w-aal-奇2要， 91 *4**中**4n*中*4*4*44”1分 所以sin0=y西 91 故平面EB,F与平面A,BF的夹角的正弦值为 91 18.【答案1)亏-苦-1（②直线AB恒过定点，坐标为0，-8） 3--1=1 【解析】(1)由题意知 a2+6=16 解得a=2√反，b=22,4t…4t4t………4分 所以C的标准方程为天-号………………5分 (2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kr十m,A(),B(x为)， (y■x十n 迪话-苦-1得-)0-2m一㎡-8=0，则4-（一2张m-二41-(-m一8》=m一8张+8副 >0且1-0函+祭- 小小…4小444小4小44小44…4小8分 所以直线PA的方程为y+1=产吉一。 令-0，可得y-1专即M-1-》 莉-3 444440444444…444444444444小10分 >0且1-0+0-经=. 2km 4544444444444405444444444444444444”8分 所以直线PA的方程为y十1=兴：一3引， ……10分 5/5 y-1号牌M0-1-》 0-1器》 1】分 因为原点0为MN的中点，所以(-1-头）十(1-数寄)-0， 即-1-3+m)+3-1-3+m)+3=0. 0-3 -3 所以(6k十2)x1一(3+9k一3m)(1十)一18m=0,所以(m十8)(m+3k+1)=0,14分 所以m=一8或m十3k十1=0，…： …415分 若m+3k+1=0,则直线方程为y=kx一3k一1，即y十1=k(r一3)， 此时直线AB过点P(3,一1)，不合题意：………4…*………”16分 若m=一8时，则直线方程为y=kx一8，恒过定点(0，一8)，… …………17分 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 25280B 19.【答案】(1)详见解析(2)①(0,4)②详见解析 【解折11)由愿意知了)=r+号=土老，… 当a≥0时，(x)>0,所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增：…………………3分 当a<0时，令了(x>0,解得x>√一a,令f(x)<0,解得0<x<√一a,所以f八x)在(0，a)上单髑 递诚，在（√一a,+∞）上单调递增： (2)0由题意知gr)=x)-4红r+5=之+alnx-4r+5.所以g'(x)=x-4+是一二4红+e。 因g(x)恰有两个极值点x1,所以g'(x)=0,即x2一4x+十a=0有两不等正根， △=16-4a>0 所以n=a>0，……… 84444944444444+44444415444441043444#44中44444中8分 十=4 解得0<<4，即a的取值范围为(0,4)：………………………………10分 @由D知+西=4，西=a,所以+g)=是(+对)-4(x十+a(h五十h)十10 =(m+2--4(m+)+aln+10=alha-a+2 所以g()十g(x)一lna=(a一1)lna一a十2,4*…13分 令go)=(a-1Dha-a+20<a<4,所以g(a)-lha-亡所以g(a)在0,0止单调递增，又k1)= -1<0,g'(2)=lh2-是>0，所以3a∈(1,2)，使得g'a)=0.即1na=,当0<a<a,时g'(a<0.当 a<a<4时，g'(a)>0,所以g(a)在(0，a)上单调递减，在(aa,4)上单湖递增，g(a)≥g(ao)=(a-1)lna -a+2=a-1…d-%+2=3-(+a）小…15分 又y-+a在1,2)止单调递增，则2<品+a<受，所以合<3-（侵+a)K1.所以ga)>0.所以 g()十g()>lha。n4…17分