精品解析：四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

泸州市龙马潭区泸化中学高2024级高一上期期末考试 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 2. 下列各图中，一定不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数定义中与的对应关系只能是一对一或多对一，不能一对多，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，由图象可知，存在同时对应两个函数值，A选项中的图象不是函数图象； 对于B选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，B选项中的图象是函数图象； 对于C选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，C选项中的图象是函数图象； 对于D选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，D选项中的图象是函数图象. 故选：A. 3. 已知等差数列的前项和为，且，命题“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先写出的表达式，由来判断充分性，再由来对进行缩小即可判断必要性，从而得到正确答案. 【详解】由等差数列的前项和公式得， 即，又. 当时，令，则满足，而不满足，故充分性不成立； 当，即时，，则满足，故必要性成立. 综上所述，命题是命题的必要不充分条件. 故选：C. 4. 已知，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得. 【详解】解： ， 故选： 【点睛】本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题. 5. 已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把各个数都转化为的形式，结合幂函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上是增函数，且，所以. 故选：D. 6. 已知命题p：若，则；命题q：若，则．则下列是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例得到命题p为假命题，再推导出命题q为真命题，从而得到答案. 【详解】不妨设，满足，但此时无意义，故命题p为假命题， 当时，，故命题q为真命题， 故为假命题，为假命题，故为假命题，为真命题，为假命题. 故选：C 7. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得． 考点：函数模型的应用． 8. 已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，得到，得到其单调性，从而得到值域. 【详解】由题意得，解得， 故， 由于与在上单调递增， 故在上单调递增， 故，， 故在上的值域为. 故选：B 二、多选题（共18分） 9. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递增 C. 恰有2个极大值点 D. 恰有1个极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，利用导数求解函数的单调性，即可判断BCD. 【详解】因为的定义域为，，所以为奇函数，A正确； 因为，当时，，所以，则在上单调递增，B正确； 显然，令，得，分别作出，在区间上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上有2个极大值点和2个极小值点，C正确，D错误． 故选：ABC． 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. “对恒成立”的充要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. “”是“无最小值”的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二次不等式的解法，不等式的性质，二次方程的根的分布结合充分条件，必要条件的定义逐项分析即得. 【详解】因为当，时，推不出，故A错误； 由可推出，而由，可得或，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由方程有一个正根和一个负根，可得，可推出， 由推不出， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； 由，，可得(当且仅当取等号)，无最小值， 所以“”是“无最小值”的充分条件，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若在定义域上是增函数，则 C. 若的值域为.则 D. 当时，若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可． 【详解】对于A，由题函数定义域为，关于原点对称， 当时，，，； 当时，，，， 则函数为奇函数，故A正确； 对于B，若在定义域上是增函数，则，即，故B正确； 对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为， 当时，在区间上单调递增，此时值域为. 要使的值域为，则，即，故C不正确； 对于D，当时，由于，则函数在定义域上是增函数， 又函数是奇函数，故由，得， 则，且，且， 解得，故D不正确. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 12. 幂函数过点，则=______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，解得或，又因为，解得，故． 考点：幂函数解析式的求解． 13. 2弧度的圆心角所对的弧长为6sin，则这个圆心角所夹的扇形面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得扇形的半径r，代入面积公式可得． 【详解】由题意可得α=2，l=6sin=3， ∴扇形的半径r==， ∴扇形面积S=lr= 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，属基础题． 14. 设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是__________. ①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由可得必是的整数倍. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的周期和对称轴可以得到解析式，然后对5个结论分别进行判断，从而得到答案. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，得到， 得到， 令，， 代入对称轴，得，， 因为，所以，得， 所以函数解析式为， 令，，得，， 所以对称中心的坐标为，， 所以，①图象关于点对称，错误； ②图象关于点对称，正确； 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 所以③在上是增函数，错误； ④在上是增函数，正确； 由函数对称中心的坐标为，， 可得相邻零点的差是的整数倍， 所以⑤由可得必是的整数倍，错误. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数的性质求正弦型函数解析式，求正弦型函数的对称中心，单调区间，属于中档题. 四、解答题（共70分） 15. 若集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集运算求解即可； （2）根据交集运算得，然后根据和分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以. 【小问2详解】 因为，所以， ①当，即时，； ②当，即时，要使，则必须，解得. 综上，的取值范围是. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案； （3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，， ，即，解得或， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 ， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， ∴在上单调递增，， 在上恒成立，转化为， ∴，解得，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 关于x的方程有两个不相等的正实数根， ∵，，， ∴且，解得， ， 令（）， 在上单调递减， ，， 故的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）若方程在(0，π)上的解为，，求的值． 【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1；（2）cos(x1－x2)＝． 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的性质计算可得． （2）求出函数图象的对称轴，利用方程在上的解，与对称轴的关系，即可得出． 【详解】解：（1）．当， 即时，函数取最大值，且最大值为1． （2）因为，令，解得 即函数图象的对称轴为， 当时，对称轴为． 又方程在上的解为，． ，则， ， 又， 故． 18. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 【答案】（1）， （2） 考虑①，由， 可得，而 ， 可得模型①是“理想函数模型”； 考虑②，由，可得 而， 所以模型②不是“理想函数模型”； （3）（百万个 【解析】 【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可； （3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由图表数据可得， ，， 联立上式，解方程可得，， 则； 当时，， 由图表数据可得， 联立上式，解方程可得， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得时， （百万个 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）请你应用题设结论，求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：任取，且， 则， 因为且， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据函数的奇偶性以及对称中心得到关系式，化简可求得对称中心； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）先求出的值域，然后根据条件得到的值域是值域的子集，可求出结果. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为， 则， 即， 即， ， 整理得， 于是， 解得， 所以的对称中心为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增， 故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， 因为对称轴为，在对称轴处取得最小值， ①当，即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增， 故在上单调递增， 又， 故， 所以， 所以，解得， 又，故此时； ②当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心， 故在上单调递增，上单调递减， 故此时 欲使， 只需，且， 解得且， 解不等式得：，又， 故此时； ③当，即时， 在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减， 于是， 因为， 故，解得， 又，故此时， 综上，实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市龙马潭区泸化中学高2024级高一上期期末考试 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，一定不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，命题“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，若，则的值为 A. B. C. D. 5. 已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题p：若，则；命题q：若，则．则下列是真命题的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. B. C. D. 8. 已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递增 C. 恰有2个极大值点 D. 恰有1个极小值点 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. “对恒成立”的充要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. “”是“无最小值”的既不充分也不必要条件 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若在定义域上是增函数，则 C. 若的值域为.则 D. 当时，若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 12. 幂函数过点，则=______． 13. 2弧度的圆心角所对的弧长为6sin，则这个圆心角所夹的扇形面积是______． 14. 设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是__________. ①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由可得必是的整数倍. 四、解答题（共70分） 15. 若集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）若方程在(0，π)上的解为，，求的值． 18. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）请你应用题设结论，求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $