精品解析：安徽省宣城市2024-2025学年上学期期末教学质量监测九年级数学试题

2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则 cosB 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移2个单位后过点（，），则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. -2 D. -1 4. 已知二次函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数图象的顶点坐标是 B. 当时y随x的增大而增大 C. 当时，函数有最小值是4 D. 函数图象与x轴有两个交点 5. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 7. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的正方形中，，连接交于点M，G，H分别是，的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值是_______． 12. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为_______． 13. 当，函数最小值为2，则m的值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1）_______； （2）记的面积为，则最大值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为格点（网格线的交点）． （1）在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点的对应点分别为），画出线段； （2）以线段为一边，画一个格点四边形，使得格点四边形是菱形．（作出一个菱形即可） 四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 18. 周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 五、（本大题共2小题每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x取值范围． 20. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 六、本题满分12分） 21. 某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x/（元/件） 80 100 销售量y/件 100 60 （1）求销售量y关于售价x的函数关系式． （2）①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若二次函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式； （2）若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； （3）在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据该反比例函数的图象位于第一、第三象限可得，求解即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则 cosB 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据锐角三角函数的概念得： sinA=，cosB==sinA=. 故选：C. 3. 抛物线向左平移2个单位后过点（，），则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出抛物线顶点式，再将经过的点（，）代入解方程组即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴向左平移2个单位后抛物线的顶点坐标为（-2，0）， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后过点（，）， ∴， 解得， 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 4. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的顶点坐标是 B. 当时y随x的增大而增大 C. 当时，函数有最小值是4 D. 函数图象与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，将该二次函数化为顶点式，根据二次函数的图象及性质即可判断选项A，B，C；令，则，根据根的判别式可判断选项D． 【详解】解：二次函数， A、该二次函数的图象的顶点为，故本选项的说法错误； B、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小．故本选项的说法错误； C、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值是4．故本选项的说法错误； D、令，则 ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点．故本选项的说法正确． 故选：D 5. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得选项A，选项B的条件都能判定与相似；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得选项D的条件都能判定与相似，即可解答． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故添加选项A，选项B的条件都能判定与相似； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，符合题意； 当时，，则（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故选项D的条件都能判定与相似． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 【答案】A 【解析】 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD//BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=， ∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A． 7. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出，过点作于点，根据锐角三角函数值得到，，由即可求出，进而根据勾股定理可求出，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ， 过点作于点，如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明，得到，根据折叠的性质可求得，，进而即可解答． 【详解】解：∵将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意； B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意； C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意； D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键． 10. 如图，在边长为6的正方形中，，连接交于点M，G，H分别是，的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明可判断①②；连接并延长交于点，连接，利用中位线的性质可得，延长交的延长线于点，求得和的长度，利用等高不同底的三角形面积比等于底边之比，可判断④，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图，连接并延长交于点，连接， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 点分别是的中点， ，故③正确； 如图，延长交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可得， ， ， ，故④正确， 故正确的为：①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，再代入中化简求解，即可解题． 【详解】解：， ， 设，， 则； 故答案为：． 12. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为_______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质．设小正方形的边长为a，则 ，，，过点B作于点D，根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而用勾股定理求出，过点C作于点E，利用的面积求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为a，则 ，，， 过点B作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点E， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 当，函数的最小值为2，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1）_______； （2）记的面积为，则最大值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，已知点均为格点（网格线的交点）． （1）在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点的对应点分别为），画出线段； （2）以线段为一边，画一个格点四边形，使得格点四边形是菱形．（作出一个菱形即可） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−位似变换等知识． （1）连接，并延长到，使得，同法作出点，连接即可； （2）以为边构造菱形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求． ； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一） 四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 18. 周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【答案】敬亭山的高度约为316米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点A作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， ∴米 （米）， 答：敬亭山的高度约为316米． 五、（本大题共2小题每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 20. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时， （2）存在， 【解析】 【分析】（）由题可得，，，，若，则有，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （）由得，要使，只需，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 若，则有， ∴， 即， 解得， ∴当时，； 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 要使，只需， 即， 解得， ∴． 六、本题满分12分） 21. 某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x/（元/件） 80 100 销售量y/件 100 60 （1）求销售量y关于售价x的函数关系式． （2）①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①；②W有最大值．最大值为2400 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）设，待定系数法求函数解析式即可； （2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设销售量y关于售价x的函数关系式为． 根据题意，得 解得：， 销售量y关于售价x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：①由（1）知每天的销售量． ∵商品进价为60元/件， ∴W与x之间的函数关系式为 即； ②∵． ∴， ∴． ∵． ∴当时．W有最大值．最大值为2400． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ，即； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ； ②， ， ， ， ， ， ，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式； （2）若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； （3）在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的的顶点在x轴上得到，从而，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意求出由直线l与函数的图象在点和之间（包含这两个端点）有一个交点，作出图象，分别求出直线l过点或时t的值，或者直线l过二次函数图象顶点时t的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：二次函数的顶点为，即， ∵该顶点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值． 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∵， 当时，， 当时，， ∴函数的图象在点和之间（包含这两个端点）， 设直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点二次函数图象的顶点时， ∵直线l过点， ∴直线轴， ∴； 综上所述，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$