精品解析：云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高一年级上学期11月月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程近似解可取为（    ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上单调增函数，记，若，则. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知点在函数的反函数的图像上，则________． 13. 已知函数的图象恒过点，则____________，函数的单调递增区间为________________________. 14. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 四、解答题（共5小题77分） 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 已知（，且），且． （1）求a值及的定义域； （2）求在上的最小值． 17. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量多少毫克？（结果保留小数点后两位）. 18. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高一年级上学期11月月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二分法结合零点存在定理即可判断选项. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 结合选项可知，方程的近似解可取为． 故选：C 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 4. 下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的性质逐项分析即得． 【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减， 对于A，，定义域为，， 所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确； 对于B，，定义域为，故B错误； 对于C，，定义域为，故C错误； 对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误. 故选：A． 5. 已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将弧度制化为角度制，即可判断①，利用扇形面积公式求出，再由弧长公式判断②，根据象限角的定义判断③、④. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则， 即半径，所以弧长，所以扇形的周长为，故②正确； 对于③，因为是第一象限的角，所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角，故③错误； 对于④，因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角，故④错误. 故选：C 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 则在上单调递增且恒大于， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性、单调性，判断，在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为图象的对称中心，为奇函数，利用为奇函数，则，即可得出结果. 【详解】因为函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】对于A，两个函数的定义域均为，因为，则两者对应关系不同，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，两者对应关系相同，故B正确； 对于C，两个函数的定义域均为，又，两者对应关系相同，故C正确； 对于D，两个函数的定义域相同，两者对应关系不相同，故D错误； 故选：BC. 10. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AC：直接利用基本不等式分析判断即可；对于B：利用乘“1”法，结合基本不等式分析判断；对于D：根据代换，结合二次函数分析判断. 【详解】因为正实数，满足， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值9，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以有最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误； 故选：ABC. 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知点在函数的反函数的图像上，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由反函数与原函数的对称性得出点在函数的图像上，从而得出. 【详解】点在函数的反函数的图像上， 所以点在函数的图像上， 代入得． 故答案为：2 13. 已知函数的图象恒过点，则____________，函数的单调递增区间为________________________. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 14. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年. 故答案是：. 四、解答题（共5小题77分） 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. （2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 由指数幂的运算法则，可得： 【小问2详解】 由对数的运算法则及性质，可得： . 16. 已知（，且），且． （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入函数值即可求出参数的值，由对数运算中真数大于0列出不等式求得定义域； （2）化简函数解析式得到一个复合函数，通过复合函数的单调性的定义得出函数单调区间，从而找到最小值点得到最小值. 【小问1详解】 ，即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. 【小问2详解】 ， 令，则， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴ 17. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）. 【答案】（1） （2）0.52毫克 【解析】 【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可； （2）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【小问1详解】 当时，设，将代入得，解得， 此时； 当时，设且，将､（1，1代入得， 解得，此时. 综上：. 【小问2详解】 完成第二次注射药物1小时后每升血液中第一次注射药物的含量：， 每升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为：0.52毫克. 18. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【小问1详解】 设（，且），由，得， 所以. 【小问2详解】 在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. 【小问3详解】 由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）①是在上的“美好函数”；②不是在上的“美好函数”；③不是在上的“美好函数”. （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）直接利用“美好函数”定义判断即可； （2）①先提公因式，判断的范围，然后再讨论的范围，计算即可；②先讨论最大值和最小值，后建立等式计算即可. 【小问1详解】 ①因为，所以，所以，， 得，故是在上的“美好函数”； ②因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数”； ③因，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数” 【小问2详解】 ①由题得， 当，可知 所以，当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故 ②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 令，解得或 所以此时（舍去），（舍去） 当时，此时函数在上单调递增，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 综上所述：或 【点睛】关键点点睛：函数新概念题型，需要去分析新概念的定义与性质等，然后结合新概念性质与已学知识相结合解答即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$