黄金卷01（南通专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A A C D C B C A 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．4． 12．3mn（2n﹣3mn2﹣1）． 13．． 14．． 15．30°或150°． 16．84°． 17．2n+m＝0． 18．． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解：（1）方程变形为：， ②﹣①得：x＝1， 把x＝1代入②得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：；（6分） （2）原式 ．（12分） 20．解：（1）由题意可知，a%＝1100%﹣10%﹣20%＝45%，故a＝45， 九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、94，故中位数为b93， 八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是95分，故众数c＝95； 故答案为：45，93，95；（3分） （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的中位数和众数都大于八年级；（6分） （3）九年级成绩优秀（x≥90）的学生有20×（1﹣10%﹣20%）＝14（人）， 20001300（人）， 答：估计参加此次问答活动成绩优秀（x≥90）的学生有1300人．（10分） 21．解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是， 故答案为：；（4分） （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个， ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为．（10分） 22．解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的；（3分） 证明：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形．（10分） 23．（1）证明：∵AC是⊙O的切线， ∴OD⊥AC， ∴∠ODC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠C＝∠ODC， ∴OD∥BC， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ODF， ∴∠ODB＝∠BDF， ∴∠OBD＝∠BDF， ∴OB∥DF， ∴四边形ODFB为平行四边形， 又∵OD＝OB， ∴四边形PDFB为菱形；（5分） （2）解：∵AD＝BD＝3， ∴∠A＝∠ABD， 设∠A＝x，则∠AOD＝2x， ∵∠ADO＝90°， ∴x+2x＝90°， ∴x＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴OD＝AD×tan30°＝3， ∴阴影部分的面积为S△AOD﹣S扇形OED．（10分） 24．解：（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是x元， 根据题意得：2，（4分） 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元；（6分） （2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗， 根据题意得：m≤100﹣m， 解得：m≤50． 设本次购买共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（100﹣m）， 即w＝﹣8m+3200， ∵﹣8＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝50时，w取得最小值，最小值＝﹣8×50+3200＝2800（元）． 答：本次购买最少花费2800元钱．（12分） 25．解：（1）甲小组的猜想正确，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD， ∵折叠， ∴∠BMN＝∠NME， 又∵∠NME＝∠CAD， ∴∠BCA＝∠BMN， ∴MN∥AC；（4分） （2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵折叠， ∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME， 由（1）可知MN∥AC， ∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA， ∴∠MEC＝∠BCA， ∴ME＝MC， ∴MC＝MB， 同理NA＝NB， ∴；（8分） （3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H， 同（2）可得∠MHC＝∠MCH， ∴MH＝MC， ∵EF∥BC， ∴∠EFH＝∠MCH， ∴∠MHC＝∠EFH， ∴EH＝EF， 由（1）可得∠NME＝∠BCA， ∴tan∠NME＝tan∠BCA． ∵∠NEM＝∠B＝90°， ∴， 设NE＝3a，则EM＝4a， ∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a， ∴MH＝EH+EM＝7a， ∴MC＝MH＝7a， ∴4a+7a＝4， ∴， ∴；（11分） ②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图， 同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a， ∴MH＝EM﹣EH＝a， ∴MC＝MH＝a， ∴a+4a＝4， ∴， ∴； 综上，或．（13分） 26．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣8a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣8a， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∵DE∥x轴，交二次函数图象于另一点E， ∴D，E关于直线x＝1对称， 设xD＝m，则xE＝2﹣m， ∵D，P关于y轴对称， ∴xp＝﹣m， ∴PE＝2﹣m﹣（﹣m）＝2， ∴PE为2；（4分） （2）a＜0时，设DP交y轴于K，如图： 在y＝ax2﹣2ax﹣8a中，令x＝0得y＝﹣8a， ∴C（0，﹣8a）， ∵DP∥x轴，△CDP是边长为1的等边三角形， ∴DK，CK， ∴D（，﹣8a）， 把D（，﹣8a）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a得： a﹣a﹣8a＝﹣8a， 解得a， ∴二次函数解析式为yx2x；（8分） （3）如图： 设点D的坐标为（t，at2﹣2at﹣8a）， ∵点A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵PE＝2， ∴OA＝PE， ∴四边形AOEP是平行四边形， ∴t2t+2（t﹣1）2， ∵0，0＜t＜4， ∴当t＝1时，∴取最大值； ∴的最大值为．（13分） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算（﹣4）×3的结果等于（　　） A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．12 2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107 3．下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，数轴上表示的点在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 5．如图，AB∥CD，则∠D＝50°，则∠B的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．如果式子3a﹣2b的值为10，则4b﹣6a+2的值为（　　） A．﹣22 B．22 C．18 D．﹣18 7．如图，创新小组要用架高AB＝1.6米的测角仪测量公园内一棵树的高度CD，其中一名小组成员站在距离树4.8米的点B处，测得树顶C的仰角为45°．则这棵树的高度为（　　） A．1.6米 B．4.8米 C．6.4米 D．8米 8．在矩形ABCD中，2＜AD＜10，tan∠ABD＝2．如图，分别以点A，D为圆心，以4和6为半径作弧，两弧交于点E，连接BE，则BE的最大值为（　　） A．9 B． C．15 D． 9．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x＝4时，y的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 10．已知二次函数（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．计算的结果是 　 　． 12．因式分解：6mn2﹣9m2n3﹣3mn＝　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE∥CD交BC于点E，连接AE交BD于点F，则　 　． 14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，则反比例函数的表达式为 　 　． 15．在半径为1的⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，则弦AB所对圆周角等于 　 　． 16．如图，在正五边形ABCDE中，△CDF是以CD为边的正三角形，连接AF、BF，则∠AFB的度数为 　 　． 17．如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为 　 　. 18．如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）解方程组； （2）化简：． 20．（10分）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为激发学生的探索热情，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，100，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，94，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 c 九年级 90 b 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀（x≥90）的学生有多少人． 21．（10分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 　 　． （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 22．（10分）小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由DE＝DF，DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°，可证明△DEA≌△DFC，得AE＝CF； 第二步：连接BD（如图2），交AC于点O，可证得 OB＝OD，OE＝OF，进而可得四边形BFDE是平行四边形； 第三步：由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形，可得四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与BC交于点F，与AC相切于点D，连接DF，BD，且BD平分∠ODF． （1）求证：四边形ODFB是菱形； （2）若AD＝BD＝3，求阴影部分的面积（结果保留π）． 24．（12分）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆． （1）求树苗基地每捆A种树苗的价格． （2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN． 猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题． 26． （13分）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＜0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作DE∥x轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P． （1）求PE的长； （2）若△CDP是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； （3）求的值的最大值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题 1．计算（﹣4）×3的结果等于（　　） A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．12 【答案】A 【解析】解：原式＝﹣12． 故选：A． 2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107 【答案】C 【解析】解：1300000＝1.3×106， 故选：C． 3．下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．题干图形从正面和上面看得到的都是半径相等的圆，符合题意； B．题干图形从正面看得到的是三角形，从上面看是长方形中有一条竖直线段，不符合题意； C．题干图形从正面看得到的是等腰三角形，从上面看得到的是有圆心的圆，不符合题意； D．题干图形从正面看得到的是长方形，从上面看得到的是圆，不符合题意． 故选：A． 4．如图，数轴上表示的点在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 【答案】A 【解析】解：∵，即34， ∴﹣25＜﹣1， ∵数轴上点A所表示的数是﹣2，点B所表示的数是﹣1， ∴数轴上表示的点在线段AB上， 故选：A． 5．如图，AB∥CD，则∠D＝50°，则∠B的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】解：∵AB∥CD，∠D＝50°， ∴∠B＝∠D＝50°． 故选：C． 6．如果式子3a﹣2b的值为10，则4b﹣6a+2的值为（　　） A．﹣22 B．22 C．18 D．﹣18 【答案】D 【解析】解：∵4b﹣6a+2＝﹣6a+4b+2， ∴当3a﹣2b＝10时，原式＝﹣6a+4b+2＝﹣2（3a﹣2b）+2＝﹣2×10+2＝﹣18． 故选：D． 7．如图，创新小组要用架高AB＝1.6米的测角仪测量公园内一棵树的高度CD，其中一名小组成员站在距离树4.8米的点B处，测得树顶C的仰角为45°．则这棵树的高度为（　　） A．1.6米 B．4.8米 C．6.4米 D．8米 【答案】C 【解析】解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E．则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝4.8米， 在Rt△ACE中，AE＝4.8米，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE＝4.8米． ∴CD＝CE+DE＝4.8+1.6＝6.4（米）． 故树的高度约为6.4米． 故选：C． 8．在矩形ABCD中，2＜AD＜10，tan∠ABD＝2．如图，分别以点A，D为圆心，以4和6为半径作弧，两弧交于点E，连接BE，则BE的最大值为（　　） A．9 B．3 C．15 D．23 【答案】B 【解析】解：如图，作∠E′ED＝90°，且EE′＝3，连接BE′，DE′， ∴， ∴tan∠EDE′， ∵tan∠ABD＝2， ∴2， ∴， ∴tan∠ADB， ∴，∠EDE′＝∠ADB， ∴∠EDA＝∠E′DB， ∴△ADE∽△BDE′， ∴， ∴， ∴BE′＝2， ∴点B是在以E′为圆心，2为半径的圆上运动，而点E在圆E′内， 则BE的最大值为23． 故选：B． 9．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x＝4时，y的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意可知当x＝5时，y＝0，即AB＝5， ∵∠ACB＝90°，tanA， ∴， 当x＝4时，如图， AP＝4，BP＝1， 在Rt△BPQ中，tanB， ∴PQ， ∴y4． 故选：C． 10．已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 【答案】A 【解析】解：由两函数表达式可知， 函数y1的对称轴 为x， 函数y2的对称轴为直线x， ∵二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（ ∴两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有pn，q1， 若p+q＝0，则有n10， 解得：8n＝m2或n＝﹣1（舍去）， 将m2＝8n代入p，q得：p＝q＝0， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 11．计算的结果是 　4　． 【答案】4． 【解析】解： ＝3 ＝4． 故答案为：4． 12．因式分解：6mn2﹣9m2n3﹣3mn＝　3mn（2n﹣3mn2﹣1）　． 【答案】3mn（2n﹣3mn2﹣1）． 【解析】解：原式＝3mn（2n﹣3mn2﹣1）． 故答案为：3mn（2n﹣3mn2﹣1）． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE∥CD交BC于点E，连接AE交BD于点F，则　　． 【答案】． 【解析】解：设OE＝a， ∵四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD交于点O， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD， ∵OE∥CD， ∴OE是△BCD的中位线， ∴CD＝AB＝2OE＝2a， ∵AB∥CD，OE∥CD， ∴AB∥OE， ∴△ABF∽△BOF， ∴BF：OF＝AB：OE＝2a：a＝2， ∴BF＝2OF， ∴OB＝BF+OF＝3OF， ∴BD＝2OB＝6OF， ∴． 故答案为：． 14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，则反比例函数的表达式为 　　． 【答案】． 【解析】解：设该反比例函数的表达式为：， 将A（0.8，100）代入中得：k＝80， 故函数表达式为：． 故答案为：． 15．在半径为1的⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，则弦AB所对圆周角等于 　30°或150°　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝OA＝OB， ∴∠AOB＝60°． 分两种情况： ①在优弧上任取一点C，连接CA，CB， 则∠C∠AOB＝30°， ②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣∠C＝150°． 综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°． 故答案为：30°或150°． 16．如图，在正五边形ABCDE中，△CDF是以CD为边的正三角形，连接AF、BF，则∠AFB的度数为 　84°　． 【答案】84°． 【解析】解：连接EF，如图所示： ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝CD＝AE，且每个内角的度数为：（5﹣2）×180°＝108°， ∵△CDF为正三角形， ∴FC＝FD＝CD，且∠FCD＝∠FDC＝∠CFD＝60°， ∴∠BCF＝∠EDF＝108°﹣60°＝48°，BC＝FC， ∴∠CFB＝∠CBF（180°﹣∠BCF）（180°﹣48°）＝66°， 同理：∠DFE＝66°， ∴∠BFE＝360°﹣（∠CFB+∠CFD+∠DFE）＝360°﹣（66°+60°+66°）＝168°， 在△CBF和△DEF中， ， ∴△CBF≌△DEF（SAS）， ∴BF＝EF， 在△ABF和△AEF中， ， ∴△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠AFB＝∠AFE ∴∠AFB∠BFE168°＝84°． 故答案为：84°． 17．如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为 　2n+m＝0　. 【答案】2n+m＝0． 【解析】解：设点A（a，）， ∵▱AOBC的顶点B在x轴的负半轴上， ∴C（，）， ∴AC＝a， ∴B（，0）， ∵点E为边BC的中点， ∴E（，）， ∵点E在反比例函数y图象上， ∴n， 整理得：2n+m＝0． 故答案为：2n+m＝0． 18．如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为 　　． 【答案】． 【解析】解：如图，过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，AE∥MD， ∴四边形AMDE是平行四边形； ∵AM⊥BD， ∴∠AMD＝90°， ∴四边形AMDE是矩形， ∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME， ∴CM+AD＝CM+ME； 连接CE， 则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长； 过C作CF∥BD，交ED延长线于点F，则∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°， ∴四边形BCFD是矩形， ∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2， ∴EF＝DE+DF＝5； 在Rt△EFC中，由勾股定理得， ， ∴CM+AD最小值为 ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 19．（1）解方程组； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】解：（1）方程变形为：， ②﹣①得：x＝1， 把x＝1代入②得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）原式 ． 20．北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为激发学生的探索热情，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，100，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，94，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 c 九年级 90 b 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　45　，b＝　93　，c＝　95　； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀（x≥90）的学生有多少人． 【答案】（1）45，93，95； （2）九年级成绩相对更好，理由如下：九年级测试成绩的中位数和众数都大于八年级； （3）1300人． 【解析】解：（1）由题意可知，a%＝1100%﹣10%﹣20%＝45%，故a＝45， 九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、94，故中位数为b93， 八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是95分，故众数c＝95； 故答案为：45，93，95； （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的中位数和众数都大于八年级； （3）九年级成绩优秀（x≥90）的学生有20×（1﹣10%﹣20%）＝14（人）， 20001300（人）， 答：估计参加此次问答活动成绩优秀（x≥90）的学生有1300人． 21．把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 　　． （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个， ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为． 22．小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由DE＝DF，DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°，可证明△DEA≌△DFC，得AE＝CF； 第二步：连接BD（如图2），交AC于点O，可证得 OB＝OD，OE＝OF，进而可得四边形BFDE是平行四边形； 第三步：由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形，可得四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】见解答． 【解析】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与BC交于点F，与AC相切于点D，连接DF，BD，且BD平分∠ODF． （1）求证：四边形ODFB是菱形； （2）若AD＝BD＝3，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【解析】（1）证明：∵AC是⊙O的切线， ∴OD⊥AC， ∴∠ODC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠C＝∠ODC， ∴OD∥BC， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ODF， ∴∠ODB＝∠BDF， ∴∠OBD＝∠BDF， ∴OB∥DF， ∴四边形ODFB为平行四边形， 又∵OD＝OB， ∴四边形PDFB为菱形； （2）解：∵AD＝BD＝3， ∴∠A＝∠ABD， 设∠A＝x，则∠AOD＝2x， ∵∠ADO＝90°， ∴x+2x＝90°， ∴x＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴OD＝AD×tan30°＝3， ∴阴影部分的面积为S△AOD﹣S扇形OED． 24．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆． （1）求树苗基地每捆A种树苗的价格． （2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1）30元； （2）2800元． 【解析】解：（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是x元， 根据题意得：2， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元； （2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗， 根据题意得：m≤100﹣m， 解得：m≤50． 设本次购买共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（100﹣m）， 即w＝﹣8m+3200， ∵﹣8＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝50时，w取得最小值，最小值＝﹣8×50+3200＝2800（元）． 答：本次购买最少花费2800元钱． 25．在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN． 猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题． 【答案】（1）正确，理由见解答； （2）； （3）或． 【解析】解：（1）甲小组的猜想正确，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD， ∵折叠， ∴∠BMN＝∠NME， 又∵∠NME＝∠CAD， ∴∠BCA＝∠BMN， ∴MN∥AC； （2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵折叠， ∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME， 由（1）可知MN∥AC， ∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA， ∴∠MEC＝∠BCA， ∴ME＝MC， ∴MC＝MB， 同理NA＝NB， ∴； （3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H， 同（2）可得∠MHC＝∠MCH， ∴MH＝MC， ∵EF∥BC， ∴∠EFH＝∠MCH， ∴∠MHC＝∠EFH， ∴EH＝EF， 由（1）可得∠NME＝∠BCA， ∴tan∠NME＝tan∠BCA． ∵∠NEM＝∠B＝90°， ∴， 设NE＝3a，则EM＝4a， ∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a， ∴MH＝EH+EM＝7a， ∴MC＝MH＝7a， ∴4a+7a＝4， ∴， ∴； ②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图， 同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a， ∴MH＝EM﹣EH＝a， ∴MC＝MH＝a， ∴a+4a＝4， ∴， ∴； 综上，或． 26．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＜0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作DE∥x轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P．（1）求PE的长； （2）若△CDP是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； （3）求的值的最大值． 【答案】（1）PE为2； （2）二次函数解析式为yx2x； （3）的最大值为． 【解析】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣8a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣8a， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∵DE∥x轴，交二次函数图象于另一点E， ∴D，E关于直线x＝1对称， 设xD＝m，则xE＝2﹣m， ∵D，P关于y轴对称， ∴xp＝﹣m， ∴PE＝2﹣m﹣（﹣m）＝2， ∴PE为2； （2）a＜0时，设DP交y轴于K，如图： 在y＝ax2﹣2ax﹣8a中，令x＝0得y＝﹣8a， ∴C（0，﹣8a）， ∵DP∥x轴，△CDP是边长为1的等边三角形， ∴DK，CK， ∴D（，﹣8a）， 把D（，﹣8a）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a得： a﹣a﹣8a＝﹣8a， 解得a， ∴二次函数解析式为yx2x； （3）如图： 设点D的坐标为（t，at2﹣2at﹣8a）， ∵点A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵PE＝2， ∴OA＝PE， ∴四边形AOEP是平行四边形， ∴t2t+2（t﹣1）2， ∵0，0＜t＜4， ∴当t＝1时，∴取最大值； ∴的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$