广东省深圳明德实验学校（集团）高级中学大鹏校区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

深 明德实验学校(集团)高级中学大鹏校区 2024 - 2025学年第一学期期末质量检测 高二数学试卷 命题人：代员禛 审题人：饶倩倩 试卷满分：150分 考试时间：120分 一、单 题（每小题 5分，8小题，共 40分） 1.已知 a= 2,-1,3 ， b  = -4,2,x ，若 a⎳ b  ，则 x的值为 ( ) A. 1 B. - 3 C. - 6 D. - 9 2.已知A E: x 2 9 + y2 4 = 1上的一点，F1,F2分别 E的左，右焦点，则 AF1 + AF2 = ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3.如图， 行六面 ABCD-A1B1C1D1中，设AB  = a，AD  = b  ，AA1  = c，则BD1  = ( ) A. a+ b  + c B. - a+ b  + c C. a- b  + c D. a+ b  - c 4.已知 an  比数列，a2= 2，a5= 14 ，则公比 q= ( ) A. - 12 B. - 2 C. 2 D. 1 2 5.已知 O1：x2+ y2= 1， O2：(x- 3)2+ (y- 4)2= 16，则两 的 关系为 ( ) A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 6.已知双曲线C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的一 渐近线方 为 y= 2x，则该双曲线C的离心率为 ( ) A. 52 B. 5 C. 13 2 D. 13 7.将正奇数 照如图 列，我们将 3,7,13,21,31⋯⋯，都称为“拐角数”，则下面 拐角数的为 ( ) A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 数学试卷 · 1页，共4页· 8.已知集 M= (x,y)|2x+y-4=0 ，N= (x,y)|x2+y2+2mx+2ny=0 ，若M∩N≠∅，则m2+ n2的 小值 ( ) A. 45 B. 3 4 C. 6- 2 5 D. 5 4 二、多 题（每小题 6分，3小题，共 18分，错 不得分，漏 照正 项个数得部分分） 9.已知F为抛物线 y2= 4x的焦点，A为抛物线上的一点，AF = 2，则下列说法正 的 ( ) A. 焦点F 1,0  B. 准线方 x=-1 C. 点A 1,2 或A 1,-2  D. 以AF为直径的 与抛物线的准线相切 10. 差数列 an 的前n项 为Sn，公差为 d，若 a13+ a17> 0,S31< 0，则 ( ) A. d> 0 B. d< 0 C. 当n= 15时，Sn取得 大值 D. 当n= 16时，Sn取得 大值 11.如图，正方 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，线段B1D1上 两个动点E,F，且EF= 22 .则下列结论中 正 的 ( ) A. 当E D1运动时，AE⊥CF总成 B. 当E D1运动时，二面角A-EF-B 渐变小 C. 二面角E-AB-C的 小值为 45° D. 三棱锥A-BEF的 积为定值 三、填 题（每小题 5分，3小题，共 15分） 12. 差数列 an 中，a5= 24，公差 d=-3，则 a13= ． 13.已知直线 l过点P 3,4 ，且与以A -1,0 ，B 2,1 为端点的线段AB 公共点，则直线 l的斜率 k的取值 围 ． 14.已知抛物线D:y2= 4x的焦点为 F，准线为 l，点 P D上，PA与 l 直， 足为A，若 PA = AF ，则 △PAF的面积 于 . 四、解 题（共 5小题，共 77分.其中 15题 13分，16、17题 15分，18、19题 17分） 15.（13分） 已知 a= (1,2,2)，b  = (-2,1, -1). (1) a ⋅ b  ; (2) |2a- b  |; (3)若 a⊥ (a+ λb  ) (λ∈R)， λ的值. 数学试卷· 2页，共4页· 16.（15分） 已知 心为C(4，3)的 经过原点O． (1) C的标准方 ； (2)设直线 3x- 4y+ 15= 0与 C交于A，B两点， △ABC的面积． 17.（15分） 已知 an  项 为正数的 比数列，a1= 1，且 a3,3a2,a4成 差数列. (1) an 的 项公式. (2)设 bn= an+ log2an， 数列 bn 的前n项 . 数学试卷 · 3页，共4页· 18.（17分） 已知 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，长轴长为 4，若△PF1F2为正 三角形． (1) C的标准方 ； (2)过点F1，斜率为 3的直线与 相交M，N两点， MN的长. 19.（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥ 面ABCD，AB⎳CD，AD=CD= 1，∠BAD= 120°，AC 分∠BAD，PA= 3，∠ACB= 90°，M 线段PD上的一点 (不包括端点). (1) 证：BC⊥ 面PAC； (2) A点到 面PCD的距离； (3)试 定点M的 ， 直线MA与 面PCD所成角 θ的正弦值为 155 . 数学试卷· 4页，共4页· 试卷第1页，共3页 深圳明德实验学校(集团)⾼级中学⼤鹏校区 2024-2025学年第⼀学期期末质量检测 ⾼⼆数学试卷 命题⼈：代员禛 审题⼈：饶倩倩 试卷满分：150分 考试时间：120分 ⼀、单选题 1．已知向量  2, 1,3a  r ，向量  4,2,b x r ，若 / /a b r r ，则 x的值为（ ） A．1 B． 3 C． 6 D． 9 【答案】C 【分析】根据空间向量平⾏的坐标表⽰列式求解即可. 【详解】因为  2, 1,3a  r ，  4,2,b x r ，且 / /a b r r ， 则 4 2 2 1 3 x    ，解得 6x . 故选：C. 2．已知A是椭圆 2 2 : 1 9 4 x yE   上的⼀点， 1 2,F F 分别是椭圆E的左，右焦点，则 1 2AF AF （ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆 2 2 : 1 9 4 x yE   ，则 3a ，⼜A是椭圆 2 2 : 1 9 4 x yE   上的⼀点， 所以 1 2 2 6AF AF a   . 故选：A 3．如图，在平⾏六⾯体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，设 AB a uuur r ， AD b uuur r  ， 1AA c uuur r ，则 1BD  uuur （ ） 试卷第2页，共3页 A． a b c  rr r B． a b c   rr r C． a b c  rr r D． a b c  rr r 【答案】B 【分析】结合图形，由空间向量的加法法则求解即可； 【详解】由题意可得 1 1 1BD BA AD DD AB AD AA a b c         uuur uur uuur uuuur uuur u u rruur ur ru ， 故选：B. 4．已知na 是等⽐数列， 2 2a  ， 5 1 4 a  ，则公⽐ q（ ） A． 1 2  B．-2 C．2 D． 1 2 【答案】D 【分析】由题意可得 3 5 2 1 8 aq a   ，开⽅可得答案． 【详解】解：由题意可得 3 5 2 1 8 aq a   ， 故可得 1 2 q 故选：D． 【点睛】本题考查等⽐数列的通项公式，涉及公⽐的求解，属于基础题． 5．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x–3）2+（y–4）2=16，则两圆的位置关系为（ ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】圆x2+y2=1的圆⼼O（0，0），半径r=1， 圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，圆⼼A（3，4），半径R=4， 两圆⼼之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r， ∴两圆相外切． 故答案为A． 试卷第3页，共3页 6．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的⼀条渐近线⽅程为 2y x ，则该双曲线C的离 ⼼率为（ ） A． 5 2 B． 5 C． 13 2 D． 13 【答案】B 【分析】根据给定条件，利⽤双曲线的渐近线⽅程求出 b a，进⽽求出离⼼率. 【详解】双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   的渐近线⽅程为 by x a  ，依题意， 2b a  ， 所以双曲线C的离⼼率 2 2 21 ( ) 5a b be a a      . 故选：B 7．将正奇数按照如图排列，我们将3,7,13,21,31……，都称为“拐⾓数”，则下⾯是拐⾓数 的为（ ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【分析】先根据题中规律，并采⽤累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公 式，即可求解. 【详解】不妨设第n（ n N ）个“拐⾓数”为 na ， 不难发现 2 1 3 2 4 3 12 2, 2 3, 2 4, , 2n na a a a a a a a n          L  2n ， 所以     1 1 4 2 4 6 8 2 1 2 2n n n a a n n n            L ，得 2 1na n n  ， 当 1n时，也符合上式，所以   2 *1 Nna n n n    ， 所以第7个“拐⾓数”是 2 7 7 7 1 57a    ， 第8个“拐⾓数”是 2 8 8 8 1 73a    ， 试卷第4页，共3页 第9个“拐⾓数”是 2 9 9 9 1 91a    ， 第10个“拐⾓数”是 2 10 10 10 1 111a    ， 第11个“拐⾓数”是 2 11 11 11 1 133a    ， 第12个“拐⾓数”是 2 12 12 12 1 157a    .故C对； 故选：C 8．已知集合  ( , ) | 2 4 0M x y x y    ，   2 2( , ) | 2 2 0N x y x y mx ny     ，若 M N ，则 2 2m n 的最⼩值（ ） A． 4 5 B． 3 4 C．6 2 5 D． 5 4 【答案】A 【分析】先考虑坐标原点到定直线的距离是定值 4 5 OH  .注意到动圆经过坐标原点O,所以 移动动圆C,当圆⼼C在OH的中点时,既满⾜题设条件,CO⼜能取到最⼩值,由此可求得答案. 【详解】因为 2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( )x y mx ny x m y n m n         , 故设圆⼼为 ( , )C m n  ，则C到直线 2 4 0x y   的距离 2 2d m n  时，满⾜M N  , ⽽坐标原点O到直线 2 4 0x y   的距离 4 5 OH  ,H为垂⾜， 由于 2 2 2 2 0x y mx ny    过原点， 2 2m n 可看作圆⼼到原点距离的平⽅， 当圆⼼在直线 2 4 0x y   的右上⽅时，始终满⾜M N ， 此时 2 2 24 16( ) 55 m n   ， 当圆⼼在直线 2 4 0x y   的左下⽅时， 当C为OH的中点时,此时圆 2 2 2 2( ) ( )x m y n m n     与直线 2 4 0x y   相切， 满⾜M N ，并且圆⼼到直线 2 4 0x y   的距离d最⼤， 则圆⼼到原点的距离取得最⼩值， 试卷第5页，共3页 此时点C到坐标原点的距离 2 2m n 的最⼩值为 2 5 , 则 2 2m n 的最⼩值为 22 4( ) 55  ， 综合以上可知 2 2m n 的最⼩值为 4 5， 故选：A. ⼆、多选题 9．已知F为抛物线 2 4y x 的焦点，A为抛物线上的⼀点， 2AF  ，则下列说法正确的是 （ ） A．焦点 10F , B．准线⽅程 1x C．点 1,2A 或  1, 2A  D．以 AF为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】ABC 【分析】⾸先求出焦点坐标与准线⽅程，即可判断A、B，根据焦半径公式求出A点坐标， 即可判断C，求出 AF的中点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线 2 4y x ，则焦点 10F , ，准线⽅程为 1x ，故A，B正确； 因为A为抛物线上的⼀点， 2AF  ，所以 1 2Ax    ，解得 1Ax ， 所以 2 4 4A Ay x  ，解得 2Ay ，所以点 1,2A 或  1, 2A  ，故C正确； 不妨取 1,2A ，则 AF的中点坐标为1,1 ，因为点1,1 到准线 1x 的距离为 12 2 AF ， 所以以 AF为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以 AF为直径的圆与 y轴相切，故D错 误. 故选：ABC 10．等差数列na 的前 n项和为 nS ，公差为 d，若 13 17 310, 0a a S   ，则（ ） A． 0d  B． 0d  C．当 15n 时， nS 取得最⼤值 D．当 16n 时， nS 取得最⼤值 【答案】BC 试卷第6页，共3页 【分析】根据等差数列的性质可得 15 160, 0a a  ，即可结合选项判断. 【详解】  1 31 13 17 15 31 16 31 2 0, 31 0 2 a a a a a S a        ，所以 15 160, 0a a  ，故 0d  ， 当 15n 时， nS 取得最⼤值.故BC正确，AD错误. 故选：BC 11．如图，正⽅体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，线段 1 1B D上有两个动点 ,E F，且 2 2 EF  . 则下列结论中正确的有（ ） A．当E向 1D 运动时， AE CF 总成⽴ B．当E向 1D 运动时，⼆⾯⾓ A EF B  逐渐变⼩ C．⼆⾯⾓E AB C  的最⼩值为 45 D．三棱锥 A BEF 的体积为定值 【答案】CD 【解析】建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，利⽤空间向量可判断AC的正误，根据动点E的 运动性质可判断B的正误，利⽤体积公式可判断D的正误. 【详解】建⽴如图所⽰的空间⼏何体， 试卷第7页，共3页 则    1,1,0 , 0,1,0 , 0,0,0A B C ，    11,0,0 , 1,0,1D D ， 因为 ,E F在 1 1B D上，且 2 2 EF  ，故可设   1 3,1 ,1 , , ,1 2 2 E t t F t t      ， 1 1 2 t    1 31, ,1 , , ,1 2 2 AE t t CF t t          uuur uuur ， 所以    21 3 31 1 2 3 2 2 2 AE CF t t t t t t                    uuuruuur ， 故 AE CF uuuruuur 不恒为零，故A错. 平⾯EFB即为平⾯ 1 1BDD B ，⽽平⾯ AEF即为平⾯ 1 1AB D ， 故当E向 1D 运动时，⼆⾯⾓ A EF B  不变，故B错. 设平⾯ ABE的法向量为  , ,m x y z ur ， ⼜  1,0,0AB uuur ， 所以    0 1 0 x t x t y z        ，取 1y，则  0,1,m t ur ， 平⾯ ABC的法向量为  0,0,1n r ，所以 2 cos , 1 1 tm n t    urr ， 设⼆⾯⾓E AB C  的平⾯⾓为，则为锐⾓，故 2 2 1cos 11 1 t t t     ， 当 1 1 2 t  ，故 2 12 1 5 t    ，所以 5 2cos 5 2   ， 当且仅当 1t时 cos取最⼤值 2 2 即取最⼩值 45，故C正确. 因为EF为定值，故 BEFSV 为定值，为A平⾯BEF的距离即为A到平⾯ 1 1DD B B的距离， 试卷第8页，共3页 故三棱锥 A BEF 的体积为定值，故D正确. 故选：CD. 【点睛】思路点睛：对于⽴体⼏何中动态问题中⾓的关系的讨论，可根据⼏何体的特征合 理建系，把计算判断问题转化为向量的夹⾓问题，三棱锥体积的计算需选择合适的定点和 底⾯来计算. 三、填空题 12．等差数列na 中， 5 24a  ，公差d = − 3，则 13a  ． 【答案】0 【分析】先求公差，然后根据等差数列基本量的计算即可得解. 【详解】由题意设公差为 d，则 15 24 9 3 8 5 3 d      ，所以 813 5 15 15 0a da     . 故答案为：0. 13．已知直线 l过点  3,4P ，且与以  1,0A  ， 2,1B 为端点的线段 AB有公共点，则直线 l的斜率 k的取值范围是 ． 【答案】1,3 【分析】根据斜率公式求解 ,PA PB斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线PA的斜率  4 0 1 3 1PA k     ，直线 PB的斜率 4 1 3 3 2PB k    ， 如图：所以要使直线 l与线段 AB有公共点， k的取值范围为1,3 ． 故答案为：1,3 14．已知抛物线 2: 4D y x 的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂⾜为A，若 PA AF ，则 PAF△ 的⾯积等于 . 【答案】 4 3 试卷第9页，共3页 【分析】根据抛物线的焦半径可得 PAF△ 为等边三⾓形，即可求解边长进⽽得⾯积. 【详解】由 PA AF 以及PA l 可知 PF PA AF  ,故 PAF△ 为等边三⾓形，所以 60 ,PAF  o 因此 60 ,AFO  o 故 2 4 cos pAF p AFO     ，所以 1 1 3sin 60 4 4 4 3 2 2 2PAF S AF PF     o△ ， 故答案为： 4 3 四、解答题 15．已知向量 (1, 2, 2)a r ， ( 2,1, 1)b   r . (1)求 a b rr ; (2)求 | 2 | rra b ; (3)若 ( )( )a a b R    rr r ，求的值. 【答案】(1) 2 (2)5 2 (3) 9 2   【详解】（1）由题意，  1 2 2 1 2 1 2a b        rr . （2）由 (1, 2, 2)a r ， ( 2,1, 1)b   r ，得  2 4,3,5a b  r r ， 则 2 16 9 25 5 2a b     r r . （3）由 ( )a a b  rr r ，得 ( ) 0a a b   rr r ，则 0a a a b  rr rr ，即9 2 0  ，解得 9 2   . 16．已知圆⼼为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的标准⽅程； 试卷第10页，共3页 （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的⾯积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【详解】解：（1）圆C的半径为 2 23 4 5OC    ， 从⽽圆C的⽅程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB， 在直⾓三⾓形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以 2 2| | 4AD AC CD   ， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的⾯积 1 12 2 S AB CD  ． 17．已知na 是各项均为正数的等⽐数列， 1 1a ，且 3 2 4,3 ,a a a 成等差数列. (1)求na 的通项公式. (2)设 2logn n nb a a  ，求数列nb 的前 n项和. 【答案】(1) 12nna  (2) 2 2 1 2 n n n  【详解】（1）因为数列na 是各项均为正数的等⽐数列， 1 1a ，且 3 2 4,3 ,a a a 成等差数 列， 所以 2 3 46a a a  . 设数列na 的公⽐为 0q ，则 2 6 0q q   ， 解得 2q= ，或 3q （舍）， 所以 1 1 1 2 n n na a q    . （2）由（1）知 12nna  ， 因为 2logn n nb a a  ，所以 12 1nnb n    ， 试卷第11页，共3页 设数列nb 的前 n项和为 nS ， 则       0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 1 2 2 2 1 n n nS b b b b n               L L   0 1 2 12 2 2 2 0 1 2 1n n         L L    21 1 2 0 1 2 1 1 2 2 2 n nn n n n          ， 即数列nb 的前 n项和为 2 2 1 2 n n n nS    . 18．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F、 2F ，上顶点为 P，长轴长 为 4，若 1 2PF FV 为正三⾓形． (1)求椭圆C的标准⽅程； (2)过点 1F，斜率为 3的直线与椭圆相交M ，N 两点，求MN的长. 【答案】(1) 2 2 1 4 3 x y   (2) 16 5 （2）由（1）知， 1( 1,0)F  ，故该直线为 3( 1)y x  ， 由 2 2 3( 1) 1 4 3 y x x y         ，消去 y可得 25 8 0x x  ， 故 1 2 8 , 0 5 x x  ，所以 22 1 2 8 161 1 3 05 5MN k x x        . 19．如图，四棱锥P ABCD 中，PA 底⾯ ABCD， / /AB CD， 1AD CD ， 120BAD   ， 3PA ， 90ACB   ，M 是线段PD上的⼀点（不包括端点）. 试卷第12页，共3页 (1)求证： BC 平⾯PAC； (2)求A点到平⾯ PCD的距离； (3)试确定点M 的位置，使直线MA与平⾯ PCD所成⾓的正弦值为 15 5 . 【答案】(1)证明见解析 (2) 15 5 (3)当M 为PD的中点时, 【详解】（1） PA Q 底⾯ ABCD， BC 平⾯ AC， PA BC  ， 90ACB  Q ， BC AC  ，⼜ PA AC AI ， ,PA AC 平⾯PAC BC 平⾯PAC． （2）取CD的中点E，则 AE CD ， AE AB  ， ⼜PA 底⾯ ABCD， PA AE  ， 建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系， 则 (0A ,0, 0)， (0P ,0, 3)， 3( 2 C , 1 2 , 0)， 3( 2 D , 1 2  , 0)  (0PA uur ,0, 3) ， 3( 2 PC uuur , 1 2 , 3) ， 3( 2 PD uuur , 1 2  , 3) ． 设平⾯PDC的⼀个法向量 (n x r , y , )z ， 则 3 1 3 0 2 2 3 1 3 0 2 2 n PC x y z n PD x y z              uuurr uuurr ，取 2x ，得 (2n r ,0,1)， A 点到平⾯ PCD的距离为 | | 3 15 | | 55 PA nd n     uurr r ． （3）设 (M x , y , )z ， PM mPD uuuur uuur ， 试卷第13页，共3页 则 (x , y , 33) ( 2 z m  , 1 , 3) 2   ， 解得点 3( 2 M m , 1 2  m , 3 3 )m ，即 3( 2 AM m uuuur , 1 , 3 3 ) 2 m m  ， 由 2 2 3 15sin 55 3(1 )m m    g ， 解得 1m（不合题意舍去）或 1 2 m ， 当M 为PD的中点时，直线 AM 与平⾯ PCD所成⾓的正弦值为 15 5 ．