黄金卷01（辽宁专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A C D D A A D D 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11．/ 12．1 13．240 14． 15．①③④ 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．解：（1） （2） （10分） 17.（1）解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得 解得， 为正整数， 答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利． （8分） 18.解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （2）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （3）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家．（8分） 19.（1）解：根据题意可得，当时，售价每减少元，销量增加， 与满足一次函数关系，设，代入，， 得， 解得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）解：当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 综上所述：． （8分） 20.（1）解：如图，过点D作于点G，于点H， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，米， 则（米），（米）， ∴米， 由题意可知，太阳光与水平地面的夹角为， ， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高约为米． （2）解：延长交于点M， ∵米，由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：至少需要将太阳能板向后移动约米． （8分） 21.（1）证明：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的直径， ， ， ， 解得：（舍）， ． （8分） 22.（1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ； 由折叠知，， 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）由于四边形是菱形， 则； ①如图，当时； 延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R； 设，则； ， ， ， 则； 由折叠知：，， 平分， ； ，， 上两式相比并化简得：， 即，故有：； ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ； ②当时， 如图，延长交延长线于点，过点作于， 则； 设，则； ， ， ， ； 由折叠性质得：，； 与前一情况同理，得：， 即， ； ， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 综上，的长为或．（12分） 23.（1）解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； （2）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， ∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B在上方，对称轴在点A、C之间， ∴， ∴； 故答案为：； ②由，可得其顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， ∵， ∴都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），，； 综上所述，． （13分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．如表记录的是金佛山入冬以来连续四周的平均气温，请问周平均气温最低的是（    ） 记录周次 第一周 第二周 第三周 第四周 平均气温 A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周 3．中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划一周分拣包裹140万件，将数据140万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　      ）        A．三边成比例的两个三角形相似 B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D．平行线分线段成比例 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（　　） A． B． C． D． 7．如图是沈阳故宫东部区域局部建筑分布图，这种建筑布局体现的设计的理念是（   ） A．轴对称 B．中心对称 C．平移 D．旋转 8．全长360千米的吉图晖铁路客运专线被誉为东北最美高铁线，它不仅串起了一道道美丽的风景，更是丰富了时下“说走就走”的旅行新常态．该专线上，高铁运行时速约为普快列车（俗称“绿皮车”）的2倍；若中途均不停车，高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，求普快列车的运行时速．若设普快列车的运行时速是x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 10．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11．函数中自变量x的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 14．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ． 15．如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，且恰好经过点A，与交于点E，连接BE．则下列说法正确的是 ①；②；③若，则；④ 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．(10分)（1）计算： （2）化简： 17．（8分）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． (1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少； (2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 18．（8分） 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为1分、2分、3分、4分和5分．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 a 3 3.5 1.05 乙商家 4 b x 1.24 （2）直接写出表中a和b的值，并求出x的值； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的理由． 19．（8分） 某新型电子元件在正式上市之前作市场前期调研，一商场承担调研任务进行试销售，在一段时间中通过整理可以确定每天销售数据如下表： 售价（元/件） 每天销量（件） 已知该电子元件的成本价为每件元，物价局限定其销售价不能超过元件，也不能低于成本价销售，设销售该商品的每天利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)该商品在销售过程中，若每天销售利润不低于元，请求出其价格的合适范围． 20．（8分）如图，某地冬季正午时太阳光与水平地面的夹角为，现要在建筑物的正前方安装太阳能板，此时太阳光线照射建筑物形成的影子，一部分落在水平地面上，另一部分落在太阳能板上．已知米，米，太阳能板与水平地面的夹角． (1)求建筑物的高为多少米； (2)为了不遮挡太阳能板接受太阳光光照，至少需要将太阳能板向后移动多少米？参考数据：，，结果保留1位小数． 21．（8分）如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接交于点E，若，求的长度． 22．（12分）（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 23．（13分）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． (1)如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． (2)若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，据此作答即可． 故选：B． 2．如表记录的是金佛山入冬以来连续四周的平均气温，请问周平均气温最低的是（    ） 记录周次 第一周 第二周 第三周 第四周 平均气温 A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周 【答案】D 【解析】根据①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数进行比较。-4＜-2＜0＜3， 因此第四周气温最低， 故选：D． 3．中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划一周分拣包裹140万件，将数据140万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 故选：A． 4．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　      ）        A．三边成比例的两个三角形相似 B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D．平行线分线段成比例 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴，， ∴若量得的长度，便可知的长度． 故选：C 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 6．一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），， ∴摸到红球可能性最大的是D选项． 故选：D． 7．如图是沈阳故宫东部区域局部建筑分布图，这种建筑布局体现的设计的理念是（   ） A．轴对称 B．中心对称 C．平移 D．旋转 【答案】A 【解析】依题意，∵沈阳故宫东部区域局部建筑分布图符合沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的特征，∴这种建筑布局体现的设计的理念是轴对称， 故选：A． 8．全长360千米的吉图晖铁路客运专线被誉为东北最美高铁线，它不仅串起了一道道美丽的风景，更是丰富了时下“说走就走”的旅行新常态．该专线上，高铁运行时速约为普快列车（俗称“绿皮车”）的2倍；若中途均不停车，高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，求普快列车的运行时速．若设普快列车的运行时速是x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为千米/小时，根据题意得： 故选：A． 9．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【解析】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 10．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，， ∴四边形是矩形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分.） 11．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【解析】根据题意得：3x-4≥0， 解得x≥． 故答案为：x≥． 12．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【答案】1 【解析】∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 【答案】 【解析】设小孔O到的距离为x， 由题意可得：， 则， 解得：． 的面积为， 故答案为： 14．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ． 【答案】 【解析】：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 15．如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，且恰好经过点A，与交于点E，连接BE．则下列说法正确的是 ①；②；③若，则；④ 【答案】①③④ 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE=DE，AE⊥CD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD=2DE，AB∥DE， 在Rt△ADE中，， ∴∠D=60°， ∴∠ABC=60°，所以①正确； ∵， 而AB=2DE， ∴S△ABE=2S△ADE，所以②错误； 若AB=4，则DE=2， ∴AE=2， 在Rt△ABE中，BE=，所以③正确； 作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图， 设CH=a， ∵在Rt△CHE中，∠ECH=∠D=60°， ∴CE=2a，EH=a， ∴BC=4a， ∴BH=5a， ∵在Rt△BHE中，， ∴， 解得：a=1（负值舍去）， ∴BH=5，EH=， ∴，所以④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（1）计算： （2）化简： 【解析】解：（1） （2） 17．我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． (1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少； (2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【解析】（1）解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得 解得， 为正整数， 答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利． 18．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为1分、2分、3分、4分和5分．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 a 3 3.5 1.05 乙商家 4 b x 1.24 （2）直接写出表中a和b的值，并求出x的值； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的理由． 【解析】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （2）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （3）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 19．某新型电子元件在正式上市之前作市场前期调研，一商场承担调研任务进行试销售，在一段时间中通过整理可以确定每天销售数据如下表： 售价（元/件） 每天销量（件） 已知该电子元件的成本价为每件元，物价局限定其销售价不能超过元件，也不能低于成本价销售，设销售该商品的每天利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)该商品在销售过程中，若每天销售利润不低于元，请求出其价格的合适范围． 【解析】（1）解：根据题意可得，当时，售价每减少元，销量增加， 与满足一次函数关系，设，代入，， 得， 解得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）解：当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 综上所述：． 20．如图，某地冬季正午时太阳光与水平地面的夹角为，现要在建筑物的正前方安装太阳能板，此时太阳光线照射建筑物形成的影子，一部分落在水平地面上，另一部分落在太阳能板上．已知米，米，太阳能板与水平地面的夹角． (1)求建筑物的高为多少米； (2)为了不遮挡太阳能板接受太阳光光照，至少需要将太阳能板向后移动多少米？参考数据：，，结果保留1位小数． 【解析】（1）解：如图，过点D作于点G，于点H， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，米， 则（米），（米）， ∴米， 由题意可知，太阳光与水平地面的夹角为， ， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高约为米． （2）解：延长交于点M， ∵米，由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：至少需要将太阳能板向后移动约米． 21．如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接交于点E，若，求的长度． 【解析】（1）证明：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的直径， ， ， ， 解得：（舍）， ． 22．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 【解析】（1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ； 由折叠知，， 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）由于四边形是菱形， 则； ①如图，当时； 延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R； 设，则； ， ， ， 则； 由折叠知：，， 平分， ； ，， 上两式相比并化简得：， 即，故有：； ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ； ②当时， 如图，延长交延长线于点，过点作于， 则； 设，则； ， ， ， ； 由折叠性质得：，； 与前一情况同理，得：， 即， ； ， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 综上，的长为或． 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． (1)如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． (2)若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 【解析】（1）解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； （2）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， ∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B在上方，对称轴在点A、C之间， ∴， ∴； 故答案为：； ②由，可得其顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， ∵， ∴都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），，； 综上所述，． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$