精品解析：河南濮阳职业技术学院附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

濮阳职业技术学院附属中学高二年级2024—2025学年上学期期中测试数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　） A. 虚轴长为4 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知双曲线（），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 7. 已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离 C. 的最小值为 D. 过点作圆的切线，则切线长最短为 11. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为__________. 13. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________． 14. 已知为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则该椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳职业技术学院附属中学高二年级2024—2025学年上学期期中测试数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C． 考点：抛物线的几何性质． 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 3. 已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　） A. 虚轴长为4 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出、，即可求出，再一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，所以， 则虚轴长为，焦距为，离心率， 渐近线为即，故A、B、C错误，D正确. 故选：D 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】依题意程表示焦点在轴上的椭圆列不等式， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出. 【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称， 故直线与直线垂直，且直线过圆心， 所以，，所以，. 故选：A 【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题. 6. 已知双曲线（），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据对称性，不妨设在第一象限，则, ∴，故双曲线的方程为． 7. 已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 8. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角、直线过定点、方向向量、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，直线：，所以直线的斜率， 则直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：直线：，即， 令，解得，则直线过定点，故B正确； 对于C：由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误； 对于D：当时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ABD 10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离 C. 的最小值为 D. 过点作圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 11. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】由于，所以是外接圆的直径， 所以圆心为，半径为， 所以外接圆的方程为. 故答案为： 13. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案. 【详解】由，得， 即． 因为点在平面内，所以，得． 故答案为：. 14. 已知为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据的周长为可得，利用椭圆定义得，在直角中利用勾股定理可得离心率的值. 【详解】 设，则. 由椭圆定义得，， ∴，即，解得， ∴. ∵为直角三角形，∴，即， 化简得，故椭圆的离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用焦点三角形的周长为建立等量关系，进而表示出线段的长，在直角中利用勾股定理求离心率的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用点坐标求得正确答案. （2）利用点斜式求得所求直线的方程. 【小问1详解】 设经过点P且与直线l平行的直线的方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为 【小问2详解】 直线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为， 所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为， 即. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 【答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0. 【解析】 【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程； （2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程. 【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）， 因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0）， 由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2， 所以， 所以椭圆C的方程为 +y2=1， （2）设， 由题可设直线AB的方程为x=my+1. 联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0， 则有， 所以 又由S=，即 解得m2=1，即m=±1. 故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3）5 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【小问1详解】 由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为； 【小问3详解】 由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $