精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高一第二次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，可得集合，进而可得交集. 【详解】由题意，， 则， 故选：C. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域可得选项A 错误；根据奇函数的定义可得选项B错误；根据偶函数的定义及幂函数的单调性可得选项C正确；根据指数函数的单调性可得选项D错误. 【详解】A.由得或，故函数的定义域为，选项A错误. B. 令，定义域为，由得为奇函数，选项B错误. C.令，定义域为，由得为偶函数， 根据幂函数的单调性可得在区间上是增函数，选项C正确. D.当时，，在上为减函数，选项D错误. 故选：C. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再求特殊值的函数值的正负，运用排除法得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数， 故函数的图象关于原点对称，B，D错误，排除B，D， 当时，， C错误，排除C. 故选：A. 5. 已知，，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由，得，得，即， 因为，所以，当且仅当，时，等号成立， 所以，即xy的最大值为. 故选：A 6. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断和比较大小结合对数运算即可判断的大小. 【详解】，即， 因为，所以， ，即， 所以. 故选：A 7. 国内生产总值（GDP）是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市2020年的GDP为8000亿元，若保持6%的年平均增长率，则该城市的GDP达到1万亿元预计在（参考数据：）（ ） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】设经过年该城市的GDP达到1万亿元， 则，则， 所以， 所以至少要经过4年，即预计在2024年该城市的GDP达到1万亿元. 故选：B 8. 已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得. 【详解】不等式， 令，则， 依题意，，，因此函数在上单调递增， 令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有 令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增， 且恒成立，因此； 当时，由在上单调递增，得，解得， 由，，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由指数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数恒过定点，故A错误； 对于B，函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D，当时，幂函数在单调递减，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0及真数大于0可得结果. 【详解】由题意得，，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性：_______，并写出解析式：__________. 【答案】 ①. 偶函数 ②. 【解析】 【分析】利用函数偶函数定义判断，再由题设，，结合过原点求得得出函数解析式. 【详解】定义域为,, 所以是偶函数； 由无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则满足题设. 故答案为：偶函数； 14. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的取值范围，根据函数的单调性可得要使条件成立，则需且，解不等式可得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，. 要使不等式（，且）在内恒成立， 只需函数的图象在函数的图象的下方. 当时，显然不成立. 如图，当时，要使函数的图象在函数的图象的下方， 只需，即，解得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则求解即可； （2）根据换底公式及对数运算法则求值； （3）结合指数运算法则和对数运算法则化简求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 16. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 【答案】（1）可用③来描述x，y之间的关系， （2）该企业要考虑转型. 【解析】 【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型； （2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，，不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，；当时，. 故可用③来描述x，y之间的关系. 【小问2详解】 由题知，解得. ∵年利润，∴该企业要考虑转型. 17. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域； （2）设集合，证明：. 【答案】（1）定义域为，值域为 （2） ，， ， 又因为，所以可得，                             要证明：，即证明在上有解， 即证明存在，使得成立， 即证明在上有解，                       设， 又，对称轴，开口向上， 在上有解. . 【解析】 【分析】（1）由可得函数的定义域，根据对数运算性质得，结合函数的定义域可得函数的值域. （2）利用对数函数的单调性转化集合中的不等式，进而证明. 【小问1详解】 由题意可得，，得， ∴定义域为． 当时，， 由，，∴ ∴， ∴值域为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数图象关于原点对称． （1）求的值； （2）判断的单调性，并说明理由； （3）若，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）得， ，且，则， ∵，∴，，， ∴，即， ∴函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得的值. （2）函数变形为，根据单调性的定义可得结果. （3）结合函数的奇偶性及单调性不等式等价变形为，根据一元二次不等式恒成立可得参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，函数定义域为，且为奇函数， ∴， 即，解得， ∴，满足，即为奇函数， ∴的值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， ∵为奇函数，∴ . 由（2）知函数在上单调递减， ∴，即在上恒成立， ∴，解得， ∴的取值范围为. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数，并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 【答案】（1） 是上的有界函数，理由如下： ， 由对勾函数性质得，， ∴，即， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数. （2） （3）存在，当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）由对勾函数的单调性结合函数新定义可得； （2）由函数新定义分离参数后将问题转化为在上恒成立，再利用换元法结合对勾函数的单调性求解即可； （3）先根据复合函数的单调性可得在上递减，再利用函数的新定义分①②两种情况讨论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，，即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，，∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴，∴存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，； 此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，； 此时，即， 综上，当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高一第二次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 国内生产总值（GDP）是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市2020年的GDP为8000亿元，若保持6%的年平均增长率，则该城市的GDP达到1万亿元预计在（参考数据：）（ ） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 8. 已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________________. 13. 已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性：_______，并写出解析式：__________. 14. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 16. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 17. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域； （2）设集合，证明：. 18. 已知函数图象关于原点对称． （1）求的值； （2）判断的单调性，并说明理由； （3）若，使得恒成立，求的取值范围． 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数，并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $