精品解析：云南省文山壮族苗族自治州广南县第十中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广南县第十中学校2024—2025学年秋季学期高二年级 期中考数学 考试时间：120分钟；总分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C D. 3. 过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A. 4x＋3y－13＝0 B. 4x－3y－19＝0 C 3x－4y－16＝0 D. 3x＋4y－8＝0 4. 点在直线上，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队､谛听队､洪荒队参加竞赛，天涯队､谛听队､洪荒队完成该项任务的概率分别为，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，且其图像关于直线对称，若在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 已知，则下列说法正确有（ ） A. 若在内，则； B. 当时，与共有两条公切线； C. 当时，与的公共弦所在直线方程为； D. ，使得与公共弦的斜率为. 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则__________. 13. 若过点作圆的切线，则切线方程为___________. 14. 在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为______. 四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 16. 某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. 区间 人数 50 50 a 150 b （1）上表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数； （3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）在中，角的对边分别为，且，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 19. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相离，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广南县第十中学校2024—2025学年秋季学期高二年级 期中考数学 考试时间：120分钟；总分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据并集的概念与运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可化简复数. 【详解】因为，则. 故选：B. 3. 过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A. 4x＋3y－13＝0 B. 4x－3y－19＝0 C. 3x－4y－16＝0 D. 3x＋4y－8＝0 【答案】A 【解析】 【分析】要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为﹣1即可求出斜率． 【详解】因为两直线垂直，直线3x﹣4y+6=0的斜率为， 所以所求直线的斜率k=﹣ 则直线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣4）， 化简得4x+3y﹣13=0 故选A． 【点睛】此题为基础题，考查学生掌握两直线垂直时斜率乘积为﹣1，会根据一点和斜率写出直线的方程,属于基础题． 4. 点在直线上，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点的坐标代入直线方程可得，然后利用二次函数的性质可得． 【详解】由题意点在直线上， 所以， 所以， 所以当时，取最大值. 故选：C 5. 某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队､谛听队､洪荒队参加竞赛，天涯队､谛听队､洪荒队完成该项任务的概率分别为，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，天涯队､谛听队､洪荒队三对中恰有2队完成任务的概率为. 故选：D 6. 如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 7. 已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数是上的减函数，可得，求解即可. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知函数满足，且其图像关于直线对称，若在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，以及，进而推出为偶函数，且是周期等于2的周期函数，根据，求出，从而得到函数在一个周期的零点个数，且函数在每两个整数之间都有一个零点，从而得到在区间，内根的个数． 【详解】解：函数满足， 故函数是周期等于2的周期函数， 其图象关于直线对称，可得， 即有， ， ， 再由周期性得， 故函数在一个周期，上有2个零点， 即函数在每两个整数之间都有一个零点， 在区间，内根的个数为2017． 故选：D． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用. 二､多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】以线面平行性质定理判断选项AD；以线面垂直性质定理判断选项BC. 【详解】选项A：若，则或m与n相交或m与n异面.判断错误； 选项B：若，则.判断正确； 选项C：若，则或.判断错误； 选项D：若，则或或n与相交.判断错误. 故选：ACD 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 若在内，则； B. 当时，与共有两条公切线； C. 当时，与的公共弦所在直线方程为； D. ，使得与公共弦的斜率为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.易知圆的标准方程为，再由求解判断；B.判断两圆是否相交即可；C.两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；D.根据公共弦斜率与两圆圆心连线垂直列式求解判断. 【详解】因为， 所以：， 则，，则， 由在内，可得，即，A正确； 当时，，所以， 所以两圆相交，共两条公切线，B正确； 当时，，，所以， 所以两圆相交，， 两圆方程相减得，即，C正确； 若两圆相交，则公共弦所在直线与垂直，所以，无解， 故不存在，使得与公共弦的斜率为，所以D错误. 故选：ABC. 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量互相垂直直接进行坐标运算即可. 【详解】由，得， 解得， 故答案为：. 13. 若过点作圆切线，则切线方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题意可知，，故在圆外， 则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 故切线方程为或． 故答案为：或． 14. 在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得当时，弦的长度取得最小值，所以先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值 【详解】圆，则圆心，半径为， 由圆的性质可知当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为 故答案为： 四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案； （2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案. 【小问1详解】 直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 的斜率为，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 16. 某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. 区间 人数 50 50 a 150 b （1）上表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数； （3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率. 【答案】（1）， （2）平均年龄，中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）依据频率的定义即可求得正整数a，b的值； （2）依据频率分布直方图中平均数和中位数求法规则去估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数即可； （3）依据古典概型去求至少有1人年龄在第3组的概率即可. 【小问1详解】 由题设可知，，， 【小问2详解】 根据频率分布直方图可得，平均年龄为 ， 估计中位数为：， 【小问3详解】 因为第1，2，3组共有人， 利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为 第2组的人数为 第3组的人数为 设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B， 第3组的4位同学为，，，， 则从六位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能. 其中2人年龄都不在第3组的有：，共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为. 17. 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）在中，角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】（1）单调递增区间是，， 单调递减区间是，. （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简可得，结合正弦函数的单调性可得结果； （2）由（1）结合条件得，由余弦定理解得，进而可得的面积. 【小问1详解】 ， 由得，， 由得，， 所以的单调递增区间是，， 单调递减区间是，. 【小问2详解】 由，得， 因为，所以， 所以，所以. 由及余弦定理得，所以， 因为，所以. 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； 【小问1详解】 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 又平面平面，平面， 平面平面， 平面； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，令，则，即， 设平面的法向量为，， 由，令，则，，即， 则， 二面角的正弦值为； 19. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相离，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由直线与圆的位置关系进行计算即可； （2）由垂径定理推论进行辨析即可. 【小问1详解】 圆标准方程为. 其圆心为，半径为. 直线的一般方程为. ∵直线与圆相离， ∴圆心到直线的距离， 化简得，解得或. ∴的取值范围为. 【小问2详解】 若存在过点直线垂直平分弦，则直线'必过圆心， ∴直线的斜率，即直线的斜率，， ∵直线垂直于弦， ∴弦所在直线，即直线的斜率， 由第（1）问，当时，直线与圆相离，与题设矛盾. 故不存在过点的直线垂直平分弦. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$