2025年中考数学一轮复习专项巩固练习19--反比例函数与一次函数的综合应用

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习19--反比例函数与一次函数的综合应用 一、单选题 1．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象与直线有交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．在平面直角坐标系中，观察图中给出的一次函数和反比例函数的图象，下列结论中错误的是（     ）    A． B．一次函数的图象与坐标轴围成的的面积是4 C．当时， D．一次函数与反比例函数的图象的交点坐标为， 5．若反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 10．若函数的图象与一次函数的图象有公共点，则k的取值范围是 ． 11．直线与双曲线交于，两点，则 ． 12．一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 14．若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则 ． 15．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 16．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则的坐标是 ． 三、解答题 17．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 18．如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 19．如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当时，的取值范围为______； (3)轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，熟知“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”是解答此题的关键． 根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，关于原点对称的两个点的横纵坐标为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴另一个交点坐标是， 故选： B． 2．D 【分析】根据题意可得反比例函数图象位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与直线有交点， ∴反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 4．C 【分析】利用待定系数法求出k2、b、k1，从而可对A进行判断；利用一次函数解析式确定A、B点坐标，然后利用三角形面积公式可对B进行判断；结合图象可对C进行判断；通过观察图象可对D进行判断． 【详解】解：把（2，3）代入得k2=2×3=6，则反比例函数解析式为， 把（-6，-1），（2，3）代入y=k1x+b得 ，解得， 则一次函数解析式为：； ∴k2＞b＞k1＞0；所以A选项的结论正确； 当y=0时，x+2=0，解得x=-4，则A（-4，0）， 当x=0时，y=x+2=2，则B（0，2）， ∴S△AOB=×2×4=4，所以，B选项的结论正确； 当-6＜x＜0或x＞2时，有，所以C选项的结论错误； 直线y=k1x+b与反比例函数的图象的交点坐标为（-6，-1），（2，3），所以D选项的结论正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 5．D 【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，然后再利用一次函数y=kx+b(k≠0)中，k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限可得答案． 【详解】∵反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小， ∴k＞0， ∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 6．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质图像，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系即可判断． 【详解】解：一次函数， 直线经过点，A、D错误； B、由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，反比例函数的图象在二、四象限可知，不正确， C、由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，正确， 故选∶C． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，平行四边形的性质和中点坐标，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据一次函数的解析式，设点D坐标为，然后根据中点坐标公式得点B坐标，然后根据平行四边形的性质得出点C坐标，运用待定系数法代入反比例函数即可解答． 【详解】解：∵直线的函数表达式为， 设点D坐标为， ∵D为的中点，点A的坐标为， ∴点B坐标为， 在平行四边形中，， ∴，， ∴点C坐标为， ∵反比例函数经过点C，D， ∴ 解得：． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 9．0 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：0． 10．且 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式，先联立方程组，再整理为关于x的一元二次方程，根据列不等式求解即可． 【详解】解：联立方程组，整理得， ∵函数的图象与一次函数的图象有公共点， ∴方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 11． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 13．8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据题意求出，及的面积即可解决问题． 【详解】解：由方程得， ，， 将代入得，． 将代入得，， 所以点D的坐标为，点C的坐标为． 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 所以点A的坐标为， 则， ， ， 所以． 故答案为：8． 14． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线与反比例函数的图象都关于原点对称，可得两点也关于原点对称，则有，，再代入整理得，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【详解】解：直线的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于两点， ，， 又， ， 整理得：， 在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据题意以及两个函数图象，找到区域内恰有5个整点的临界情况，然后结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在函数中，当时，由得， 当时，由得， 由图象可知，当时，区域内恰有5个整点， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，设，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律，根据发现的规律即可求出的坐标． 【详解】解：联立，解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交y轴于H，则为等腰直角三角形，同理得到， 设，则， ∴， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 用同样方法可得到， 因此可得到，即 ∴，即：． 故答案为：． 17．(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y (2)8 (3)x＜﹣3或0＜x＜1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可； （3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y； （2）解：如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8； （3）解：观察函数图象知， 不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可． 18．(1)， (2) (3)或 【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标； （2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论； （3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 当时，有，解得：， 点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：，且、、、四点共线， 点是线段的中点， ，， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （3）解：由解得或， ， 观察图象，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比． 19．(1) (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由直角三角形的性质可求，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：如图， 当点在y轴上时，且， 又∵， ∴，， ∴点； 当点在y轴上，且， 又∵， ∴，， ∴， ∴点； 综上所述：点P的坐标为或． 20．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)或； (3)点的坐标或． 【分析】（）把代入得，可得反比例函数的解析式为，然后求出，最后把，代入求出解析式即可； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：设， 由得，当时，，当时，， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 学科网（北京）股份有限公司 $$