第27章相似预习检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级下册

第27章相似预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若（均不为零），则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（   ） A． B．与周长比为 C． D． 4．如图，在中，，. 若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 5．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，那么 ． 8．《周髀算经》中记载的方法“偃矩以望高”，是指将“矩”（两条边呈直角的曲尺，图中）的一边仰着放平，以此测量物体的高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 9．如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点分线段近似于黄金分割（），已知，的长约为 ．（结果精确到） 10．已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 11．如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为 ． 12．如图，，分别是边，上的点，，连接，，若，，则的长为 13．如图，点，分别在菱形的边，上，，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形的面积为，则四边形的面积为 ． 14．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为 ． 三、解答题 15．如图，在中，，点是上的点，且是等边三角形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点都在网格点上（网格线的交点）． (1)在上找出一点，连接，使得； (2)求证：． 17．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 18．如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 19．如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点．    (1)求的度数； (2)如图2，连接、，当时，求此时的值． 20．（1）【基础巩固】如图1，在中，，分别在，上，连结，若，求证：． （2）【尝试应用】如图2，在中，在上取一点，以为一边构造平行四边形，使点，恰好落在，上，连结，若，，，求的长． （3）【拓展提高】如图3，在中，在上取一点，以为一边构造平行四边形，使点恰好落在上，连结，，若，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第27章相似预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D C C A 1．D 【分析】此题主要考查的知识点是比例的性质，解题的关键是准确掌握其性质进行运算．首先设，得出，，，然后代入，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，，则，，与周长比为，，即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴，，与周长比为， ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故选：C ． 5．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的性质得到，，进而得到以及，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与位似， ，， ，， 又的面积是面积的9倍， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7．/ 【分析】此题考查了比例的性质，逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由，可得，再根据即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了黄金分割的含义，点为线段的黄金分割点，可得，可得，计算后可得答案，掌握“若点C是线段的黄金分割点，可得”是解题的关键． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵是、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．过点作轴于点，由，，可得，，根据位似图形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ，， ，， 以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．4.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 本题需要先证明，求出和，然后再根据等腰三角形等角对等边，即可求得的长为． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】连接，过点作于，设，则，，根据菱形的性质得，则，进而得，，，证四边形为平行四边形得，，再证得，则，同理，则四边形为平行四边形，继而可得，再根据，，得，则，，再由，得，同理，然后根据可得出答案． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 设， ， ， ， 四边形为菱形， ，，， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ：：， 即：：， ， 同理 四边形为平行四边形， ， ， ， 菱形的面积为， ， ， ， ：：：， 的边和边上的高相同， ， ， 同理：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，理解菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 14．秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质结合第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ，，． ． ． （2）解：是等边三角形， ． ， ，即． ，， ，即（负值舍去）． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）由勾股定理且结合，得相似比为，即可作答； （2）根据题意可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）根据题意，得，． 由勾股定理，得． ，． ． 又， ． 17．14米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是14米． 18．(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 19．(1) (2) 【分析】（1）设直线的解析式为，把和代入解析式，确定解析式后，计算点C，点D的坐标，解答即可． （2）过点Q作轴于点M， 利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线解析式为， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． （2）解：过点Q作轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    ∵和， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，函数于坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两点间距离公式，勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长、交于点，同（2），可得，再证明，即可求出的长． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴； （3）延长、交于点，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得：， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$