第28章锐角三角函数预习检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的值是（   ） A． B． C． D． 2．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，点B在y轴上，点且，于C，连接，若与y轴正半轴所夹的角为ɑ，当取最大值时，对应的值为（      ） A． B． C．3 D． 5．如图，是半径为的圆外的一点，，是的切线，是切点，弦，连接，则阴影部分的面积等于(  ) A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点，则线段的长为（   ） A．10 B． C．20 D．2 7．如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A．m B．m C．m D．m 8．如图，是的直径，平分，且，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D．6 二、填空题 9． ． 10．2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，若该正六边形的边长为，则它的边心距为 ． 11．定义：在中，，我们把的对边与的对边的比，叫做的邻弦，记作．解决问题：在中，，，，则 ． 12．鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        13．在中，、均为锐角，且，则 度． 14．在和中，，点D在上，且，若，则的值为 ． 三、解答题 15．计算： 16．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当．时，求的值． 17．如图，在等边中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点，在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 18．图是一盏台灯的照片，图是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 19．如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离． 20．如图，在中，，，．点P是上的一点，连结，作点A关于的对称点D，连结、． (1)线段的长为　　　； (2)当点D落在内部时，求线段的取值范围； (3)当边把的面积分为的两部分时，求的面积； (4)当垂直于的一边时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第28章锐角三角函数预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A B A B C 1．B 【分析】本题考查了特殊角的正弦值，根据特殊角的正弦值即可求解，熟记特殊角的三角函数值值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 3．D 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4．A 【分析】过点A作轴于点D，作轴于点E，设，则，证明，得到，利用正弦三角函数的定义，二次函数的最值，解答即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，作轴于点E， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点， ∴，， ∵点且， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值，此时取得最小值， 根据勾股定理，得， 故当取得最小值时，也取得最小值， ∵， ∴取得最小值时，取最大值， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标的分解化线段长，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正弦函数的应用，二次函数的最值，熟练掌握三角形相似的判定，正弦函数的定义，二次函数的最值是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；连接，，根据切线的性质可得，解得出，，根据，得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，， 是圆的切线， ， 在中，，， ， ∴， ， ， ． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查菱形性质，利用正弦值求边长等．根据题意可得，继而利用三角函数正弦值可得本题答案． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，即，解得：， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴， 故选：B． 8．C 【分析】先确定点P的位置，可知的周长最小，即等于，再连接，然后根据圆周角定理及角平分线的定义求出，进而得出，再作，接下来得出特殊角的三角函数求出，即可得出，进而得出答案． 【详解】作点D关于的对称点E，连接交于点P，则点P就是所求作的点，，此时，最小，则的周长最小，即等于． 连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点O作于点D， ∴． 在中，， ∴， ∴的最小值为． ∵， ∴的周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题，圆周角定理，垂径定理，特殊角的三角函数，根据轴对称确定点P的位置是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式运算等知识，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 10． 【分析】本题考查的是正多边形与圆、特殊角的三角函数值．根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，，过O作于G， ∵此多边形是正六边形， ∴是等边三角形， ， ∴边心距， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据新定义得出，如图所示，过点作于点，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 如图所示，过点作于点，设，则 ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：． 12．或23 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：把实际问题归结为直角三角形中边角关系问题加以解决是解题的关键． 在和中，根据三角函数解答即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在中，米， 在中，，即， 解得：米，或米， ∴米或23米， 故答案为：或23． 13． 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 在中，均为锐角， ， ， 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查相似三角形和三角函数，解题的关键是利用相似三角形的相似比的平方等于面积比即可得结论． 根据和中，，得到 ，可得，则，所以设，则，故，可得，即可得结论． 【详解】解：∵在和中，，， ， ， ， 设，则， ， ， ． 故答案为：8． 15． 【分析】题目主要考查绝对值，零次幂及负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解题关键． 先化简绝对值，零次幂及负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可． 【详解】解： 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线和交于点O， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． 17．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出， ，由，推出，结合三角形的内角和定理，，代入得出答案即可； （2）连接，过点作，交于点，交于点，得出，根据等边三角形的性质，得出，，推出，利用证明，得出，根据轴对称的性质，得出，，，，解直角三角形，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，推出，即可得出． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 18．约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 19．(1)，两地的距离为339.4米 (2)，两地的距离为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质， （1）作，根据三角形的外角的性质得，根据直角三角形的性质可得，即可得，，再根据特殊角的三角函数值求出，进而得出答案； （2）作，根据特殊角的三角函数求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，， ∴，， ∴，， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为339.4米． （2）解：如图，过点作于点，则． 由（1）知米． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴（米）． 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为米． 20．(1)10 (2) (3) (4)，， 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案． （2）分情况讨论落在和上，分别用三角形相似和勾股定理即可求出两种情况下的长度，即可求出的取值范围． （3）首先通过边角边证明三角形全等求得，再利用面积法可得，设，则，在中根据勾股定理构建方程，即可求出值，从而求出长度，再根据等面积法求出，即可求解． （4）分情况讨论垂直三边情况，根据图形，利用对称，余弦和正弦，面积法即可分别求出各自的长度． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：10． （2）解：①如图，当点落在上时，则， ， ， ， ， ， ②如图中，当点落在上时，则， 过点作于点，则， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 观察图象可知，． （3）解：如图2中，延长交于点，过点作于点于点，过点作于点，设交于点． 由对称可知，， ∴为角平分线， ， ， ， ， ， 边把的面积分为的两部分， ， ， ， ， ， ∵点到和的距离相等， ， ， ， ∵在中，， ∴在中，． 设，则， ∴在中，， ， 解得，， ， ，即， 解得：， ． （4）解：①如图中，当时，延长交于点． ∵是关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． ∴， ∵在中，， ∴在中，， ②如图中，当时， ， ， ， 和是关于对称， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． ． ③如图中，当时，过点作于点． 和是关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， ， ， 综上，的长为，，． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的相似，正弦和余弦的求解，翻折的性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识点．解题的关键是学会用分类要论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$