第十七章勾股定理 勾股定理实际应用专题训练 2024-2025学年人教版数学八年级下册

勾股定理实际应用题专题训练（2025年1月20日） 一．解答题（共20小题） 1．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米，CE＝25 米． （1）求四边形ABCE的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度． 2．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 3．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 4．如图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，AB＝20m，CB＝15m． （1）求小路AC的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点C开始以2m/s的速度在小路上沿C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，小狗跑了多少秒时与琪琪距离最近？ 5．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 6．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 7．如图，我方侦察员在距离东西公路1200m处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距1500m的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距1300m的D处． （1）求敌方汽车的速度； （2）侦察站A到东西公路只有一条长为2000m的小路AC，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路AC进行拦截，若我方队员车速为24m/s，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 8．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 9．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？ 10．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 11．如图，A、B、C、D是几个城市，AB、BC、AC、AD、CD是几条即将修建的公路，经测量：∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，CD∥AB，AD＝AC，AB长为20公里． （1）求∠ADC的度数； （2）甲施工队沿A﹣C﹣D方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿AD方向施工，H为线段AD的中点，H处附近因条件限制只能以H为圆心、HE为半径修半圆形公路，AE、DG每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求HE的长（π≈3.14）． 12．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 13．如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F． （1）若BE∥CD，求证：BE＝BC； （2）已知∠E＝32°，求∠D的度数； （3）若BE∥CD，BD＝4，BF＝3，求线段CD的长． 14．燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度CE； （2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 15．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 16．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BC的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米； ③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米． （1）求风筝的垂直高度AD； （2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 18．第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（BC）方向以15km/h的速度向D移动，A地在距离B地130km的正北方，已知A地到BC的距离AD＝50km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心45km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 19．如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立A、B、C、D四个点，并给出以下信息：点A在点B的西北方向上，点D在点B的北偏西15°方向上，点D在点A的东北方向上，∠BCD＝90°，CD＝30米，AD＝25米． （1）求BC的长； （2）若小明和小亮从点B同时出发，分别沿B→A→D和B→C→D到达点D，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：1.73，1.41） 20．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 勾股定理实际应用题专题训练及解答（2025年1月20日） 一．解答题（共20小题） 1．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米，CE＝25 米． （1）求四边形ABCE的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝12米，BC＝16米， ∴AC20（米）， ∴四边形ABCE的面积＝△ABC的面积+△ACE的面积AB•BCAC•AE12×1620×15＝246（平方米）， 答：四边形ABCE的面积为246平方米； （2）∵CD（米）， 根据题意得，CD+DE＝AC+AE， ∴DE＝20+15， 解得DE＝6， 故线段DE的长度为6米． 2．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9 BC2＝9 ∴CH2+BH2＝BC2 ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路 （2）设AC＝x 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得x＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 3．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3）， ∴PQ3； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F， ∵OB与x轴正半轴的夹角是45°， ∴∠FOB＝∠OBF＝45°， ∵OB， ∴OF＝BF＝1， ∴B（1，﹣1）； ②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1）， ∴OA，AB2， ∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10， ∴AB2+OB2＝OA2， ∴△ABO是直角三角形． 4．如图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，AB＝20m，CB＝15m． （1）求小路AC的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点C开始以2m/s的速度在小路上沿C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，小狗跑了多少秒时与琪琪距离最近？ 【解答】解：（1）∵∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m， ∴AC25（m）， 答：小路AC的长为25m； （2）∵AB＝20m，CB＝15m， ∴AB2+BC2＝202+152＝252＝AC2， ∴∠B＝90°， 过B作BH⊥AC于H， 当小狗从点C开始以2m/s的速度在小路上沿C→A的方向奔跑，跑到点H时与琪琪距离最近， ∵S△ABCAB•BCAC•BH， ∴BH12（m）， ∴CH9（m）， ∴4.5（s）， 答：小狗跑了9秒时与琪琪距离最近． 5．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 6．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【解答】解：（1）A城受到这次台风的影响， 理由：由A点向BC作垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600km，则AM＝300km， 因为300＜500，所以A城要受台风影响； （2）设BC上点D，DA＝500千米，则还有一点G，有 AG＝500千米． 因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形， 因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD＝GM， 在Rt△ADM中，DA＝500千米，AM＝300千米， 由勾股定理得，MD400（千米）， 则DG＝2DM＝800千米， 遭受台风影响的时间是：t＝800÷200＝4（小时）， 答：A城遭受这次台风影响时间为4小时． 7．如图，我方侦察员在距离东西公路1200m处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距1500m的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距1300m的D处． （1）求敌方汽车的速度； （2）侦察站A到东西公路只有一条长为2000m的小路AC，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路AC进行拦截，若我方队员车速为24m/s，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠AEB＝∠AEC＝90°，AE＝1200m， 由题意可知，AB＝1500m，AD＝1300m， 由勾股定理得：BE900（m）， DE500（m）， ∴BD＝BE﹣DE＝900﹣500＝400（m）， ∴400÷16＝25（m/s）， 答：敌方汽车的速度为25m/s； （2）能成功在C点拦截敌方汽车，说明如下： 由题意可知，AC＝2000m， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE1600（m）， 由（1）可知，DE＝500m， ∴CD＝DE+CE＝500+1600＝2100（m）， ∴敌方汽车的到达C点的时间为：2100÷25＝84（s）， ∵我方队员车速为24m/s， ∴我方队员到达C点的时间为：2000÷24＝83（s）， ∵8384， ∴能成功在C点拦截敌方汽车． 8．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 【解答】（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2． （2）解：当a＝3，b＝4时，c2＝a2+b2＝25， 由图可知，空白部分面积＝以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 9．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？ 【解答】解：（1）根据题意，AC+BC＝8m，AB＝4m， ∵BC2＝AC2+AB2， ∴（8﹣AC）2＝AC2+42， 解得AC＝3（m）， 故AC的长度为3米． （2）距离旗杆底部5.5米处有被砸伤的风险；理由如下： 根据（1）得AC＝3m，CD＝1m， ∴AD＝2m， ∴BD＝8﹣2＝6（m）， ∴AB4m， ∵5.5，， 且， ∴5.5， 故有危险． 10．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由： ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC•BC＝CD•AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240km， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口， ∵ED（km）， ∴EF＝2ED＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 11．如图，A、B、C、D是几个城市，AB、BC、AC、AD、CD是几条即将修建的公路，经测量：∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，CD∥AB，AD＝AC，AB长为20公里． （1）求∠ADC的度数； （2）甲施工队沿A﹣C﹣D方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿AD方向施工，H为线段AD的中点，H处附近因条件限制只能以H为圆心、HE为半径修半圆形公路，AE、DG每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求HE的长（π≈3.14）． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CBA＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC＝60°， ∵AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC＝60°； （2）∵AB＝20公理， ∴AC＝CD＝10公理， ∴甲工程队总造价为（10+10）×3000＝60000万元， 设HE＝x， ∵H为线段AD的中点， ∴AH＝DHAD＝5公理， 乙施工队的总造价为3500×2（5﹣x）万元， 根据题意可得：60000+230＝35000+8700x， 解得：x＝2.9， 答：HE的长为2.9米． 12．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 13．如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F． （1）若BE∥CD，求证：BE＝BC； （2）已知∠E＝32°，求∠D的度数； （3）若BE∥CD，BD＝4，BF＝3，求线段CD的长． 【解答】（1）证明：∵CE分别平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∵BE∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE． （2）解：∵BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD， ∴∠EBD∠ABD，∠DCE∠BCD， ∵∠ABD＝∠D+∠DCB， ∴∠EBD∠D∠DCB， ∵∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE， ∴∠E∠D∠DCB＝∠D∠BCD， ∴∠D＝2∠E＝64°． （3）解：如图，延长BF交DC于G，作BH⊥EC于H， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵BE∥CD， ∴∠ABE＝∠BCD，∠DBE＝∠D， ∴∠BCD＝∠D， ∴BC＝BD＝4， ∵∠EBD∠ABD，∠DBF∠DBC． ∴∠EBD+∠DBF（∠ABD+∠DBC）． ∴∠EBF90°． ∴EF5． ∵EF•BH＝BE•BF． ∴5BH＝4×3． ∴BH， ∴EH， ∴， ∴， ∴， ∵CG2＝BC2﹣BG2＝FC2﹣FG2， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度CE； （2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225， 所以，CD＝15（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米）， 答：风筝的高度CE为16.6米； （2）由题意得，CM＝9米， ∴DM＝6， ∴BM10（米）， ∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 15．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意知：∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD， 在Rt△ACD中， ACkm， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， ∴2AD2＝（）2， 解得AD＝20km（负值已舍）， ∴CD＝20km， 在Rt△BCD中， BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km）， 由勾股定理，得BC52（km）， 答：B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F， 则EF＝2DE， 在Rt△CDE中， 由勾股定理，得DE15（km）， ∴EF＝30km， 30÷20＝1.5（h）， 答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h． 16．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BC的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米； ③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米． （1）求风筝的垂直高度AD； （2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 【解答】解：（2）由题意可得， BC＝15米，AB＝17米，BC⊥AD，CD＝1.7， ∴AC8（米）， ∴AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7（米）， 即风筝的垂直高度AD的长为9.7米； （2）∵小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变， ∴上升后的CA＝8+12＝20（米），BC＝15米， ∴上升后的BA25（米）， ∵25﹣17＝8（米）， ∴他应该把线再放出8米． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【解答】解：（1）A城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝320千米， ∴ADAB＝160千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：25×（13﹣5）＝200（千米）， ∵160千米＜200千米， ∴A城市会受到这次台风的影响； （2）如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F， 则AE＝AF＝200千米， ∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝22240（千米）， ∴台风影响该市的持续时间t＝240÷20＝12（小时）， （3）∵AD＝160千米， ∴160÷25＝6.4（级）， ∴13﹣6.4＝6.6（级）， ∴该城市受到这次台风最大风力为6.6级． 18．第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（BC）方向以15km/h的速度向D移动，A地在距离B地130km的正北方，已知A地到BC的距离AD＝50km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心45km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理， 得BD120（km）， ∴120÷15＝8（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图， ∵距台风中心45km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE＝BD﹣DE＝120﹣45＝75（km）， ∴75÷15＝5（小时）， 答：正在D点休闲的游客在接到台风警报后的5小时内撤离才可脱离危险． 19．如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立A、B、C、D四个点，并给出以下信息：点A在点B的西北方向上，点D在点B的北偏西15°方向上，点D在点A的东北方向上，∠BCD＝90°，CD＝30米，AD＝25米． （1）求BC的长； （2）若小明和小亮从点B同时出发，分别沿B→A→D和B→C→D到达点D，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：1.73，1.41） 【解答】解：（1）由题意得：∠NAB＝45°，∠DBF＝15°，∠MAD＝45°，MN∥BF， ∴∠DAB＝90°，∠ABF＝∠NAB＝45°． ∴∠ABD＝∠ABF﹣∠DBF＝30°． ∵AD＝25米， ∴BD＝2AD＝50（米）． ∵∠BCD＝90°，CD＝30米， ∴BC40（米）． （2）∵∠DAB＝90°，AD＝25米，BD＝50米， ∴AB25（米）． ∴小明行走的总路程为：2525≈68.25（米）． 小亮行走的总路程为：30+40＝70（米）． ∵68.25＜70，两人速度相同， ∴小明先到达． 20．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【解答】解：（1）由题意可知，∠CDB＝90°，BD＝5米，BC＝13米，AB＝DE＝1.6米， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD12（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 答：风筝的垂直高度CE为13.6米； （2）如图， 由题意可知，CF＝7米， ∴DF＝CD﹣CF＝12﹣7＝5（米）， ∴BF5（米）， ∴BC﹣BF＝13﹣56（米）， 答：他应该往回收线约6米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/19 8:40:20；用户：屈南平；邮箱：rong89@xyh.com；学号：23699489 8 学科网（北京）股份有限公司 $$