精品解析：江苏省通州高级中学2024-2025学年高一上学期第三次阶段性测试数学试卷

江苏省通州高级中学2024-2025学年度 第一学期高一第三次阶段性测试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：∀x＞0，x2+x＞0，则它的否定是（　　） A. ∃x＞0，x2+x＞0 B. ∃x＞0，x2+x≤0 C. ∀x＞0，x2+x≤0 D. ∃x＞0，x2+x＜0 3. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. ,则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 18 5. 若一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 二、多选题 9. 设的三个内角分别为，则下列各组数中有意义且均为正值的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（     ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 的最小正周期为 11. 已知实数x､y､z满足.则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数，则的最小正周期为________． 13. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 14. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知，且是第二象限角. （1）求，的值； （2）求的值. 16. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2024-2025学年度 第一学期高一第三次阶段性测试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义知. 故选：D. 2. 已知命题p：∀x＞0，x2+x＞0，则它的否定是（　　） A. ∃x＞0，x2+x＞0 B. ∃x＞0，x2+x≤0 C. ∀x＞0，x2+x≤0 D. ∃x＞0，x2+x＜0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p：∀x＞0，x2+x＞0，则它的否定是：∃x＞0，x2+x≤0． 故选：B． 3. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，，，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为，，所以，， 所以 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C 4. ,则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】对数转化为指数形式，再利用同底数的幂和幂的乘方运算求得结果 【详解】， 故选：C 【点睛】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键，属于基础题． 5. 若一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的值域为，由，求得，再由，求解. 【详解】因为函数的值域为， 所以， 即， 即， 解得， 又，， 所以的值域为，只要即可， 而这样的D有无数个， 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数的定义域，根据函数的奇偶性排除部分选项，再求出函数的值域，根据值域即可确定正确选项. 【详解】设，则的定义域为，且，即是奇函数，排除D； 又，由可得 ， ，从而， 因此，即的值域为，故选C. 故选：C 7. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则，再结合对数的真数大于0，则得到，解出即可. 【详解】为减函数， 又在区间内为增函数，则， 且当时，恒成立，所以，解得， 则， 故选：B. 8. 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案. 【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则．，弓形的周长为． 故选：A 二、多选题 9. 设的三个内角分别为，则下列各组数中有意义且均为正值的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】举出反例即可判断AB；根据角的范围判断出角的三角函数值的符号即可判断CD. 【详解】对于A，当时，无意义，故A不满足； 对于B，当为钝角时，，故B不满足； 对于C，因为，所以， 所以，故C满足； 对于D，因为，所以， 所以，故D满足. 故选：CD. 10. 定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（     ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 的最小正周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性判断A和B；由的对应关系判断C；由周期判断D. 【详解】选项A中，对于函数，有， 所以不恒成立， 则函数不是奇函数，所以A不正确； 选项B中，对于函数，若为整数，则也是整数， 则， 若不为整数，则也不为整数，则有， 综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确； 选项C中，若为整数，则，不为整数，则， 综上，是整数，则，所以C正确； 选项D中，若为整数，则也是整数， 若不为整数，则也不是整数， 总之有，所以函数的周期为1； 若也是函数周期，则和可能是一个整数，也可能不是整数， 则有，所以函数的最小正周期为1，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知实数x､y､z满足.则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对等式进行变形，构造函数，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】设，，则，，，画出函数图象，如图所示：当时，；当时，；当时，； 故选：ABC 三、填空题 12. 已知函数，则的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 13. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 14. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【详解】由于函数在上的减函数，则，即， 所以，函数在区间上的值域为. 对于函数，内层函数为，外层函数为. 令，得. 由题意可知，函数在区间上的值域包含. 函数的图象开口向上，对称轴为直线. （i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即， 此时，函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得，此时，； （ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即， 此时，函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得或，此时； （iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题. 四、解答题 15. 已知，且是第二象限角. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系计算即可； （2）先将分式变形为关于弦的二次齐次式，然后通过分子分母同时除以转化为用表示的式子，然后代入的值计算即可. 【小问1详解】 ，且是第二象限角， ∴， ∴； 【小问2详解】 . 16. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，先设，，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，，列出不等式求解，得出和的值，即可得出结果； （2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，根据题中条件求出，根据弧长的计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，与都是的整数倍， 不妨设，， 则，， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，， 即，； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒， 则，即，解得， 所以红蚂蚁爬过的角度为， 因为圆的半径为， 所以红蚂蚁爬过的路程为. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到与都是的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解. 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 18. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，利用特值法可得值域问题，再验证即可； （2）先根据条件求出，利用换元法及基本不等式求解. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 则且，，解得，即， 证明：， 故是定义在R上的奇函数， . 【小问2详解】 整理得， 代入得， 即恒成立，， 而， ， 当且仅当，即时等号成立， 即实数的最大值为. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【小问1详解】 解：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $