6.3向心加速度 讲义【教材详解：思维导图+2知识点+5题型+课后巩固：分层练】-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

6.3 向心加速度 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材全解】 2 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 2 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 3 【经典题型】 4 题型01 向心加速度的概念及理解 4 题型02 向心加速度与角速度、周期的关系 4 题型03 向心角速度的大小比较 6 题型04 向心力与向心加速度的关系 7 题型05 加速度的突变问题 8 【课后巩固】 9 【基础练·强化巩固】 9 【拓展练·培优拔高】 14 课堂目标 关键词 1. 知道匀速圆周适动的向心加速度表达式，理解向心加速度与半径的关系，并能灵活应用相关表达式分析和解答问题； 2. 理解匀速圆周运动中速度变化量与极限思想； 3. 能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式求解有关问题。 ①速度变化 ②迷度变化量的方向 ③向心加速度 ④向心力与向心加速度 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 【问题情景】如图所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，速度大小虽然不变，但方向时刻变化，加速度不为零，如何看待加速度的方向? 1. 向心加速度的方向 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与它所受合力的方向相同，因此，物体做匀速圆周运动时的加速度方向总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 【点拨】圆周运动中向心加速度的方向 如下图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为△v。当物体由A运动到B的时间时，的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2. 向心加速度的理解 方向 总是指向圆心 特点 与速度的方向总是垂直；向心加速度总是在变化 作用 向心加速度之改变速度的方向，不改变速度的大小 意义 描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小 性质 匀速圆周运动是加速度时刻变化的变加速运动 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 1. 圆周运动向心力的表达式的推导 由： 2. 变速圆周运动的加速度 3. 对向心加速度的理解 （1）向心加速度的表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 （2）在变速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心，物体的实际加速度也不指向圆心，沿半径指向圆心方向的分加速度为向心加速度a。 （3）在匀速圆周运动中，向心加速度、运动物体的质量、合力三者的关系符合牛顿第二定律。 题型01 向心加速度的概念及理解 【典例1】（23-24高一下·河南·阶段练习）做圆周运动的物体会有向心加速度，关于向心加速度，下列说法正确的是（    ） A．向心加速度的方向可能与速度方向成任意角度 B．向心加速度可能改变速度的大小 C．做圆周运动的物体角速度恒定时，向心加速度恒定 D．向心加速度是用来描述物体速度方向变化快慢的 【变式1-1】（23-24高一下·上海黄浦·期末）下列关于向心加速度的说法，正确的是（　　） A．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 B．向心加速度的方向保持不变 C．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 【变式1-2】（23-24高一下·北京怀柔·期中）在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（    ） A．向心加速度 B．线速度 C．角速度 D．作用在物体上的合外力 题型02 向心加速度与角速度、周期的关系 【典例2】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）如图所示是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中（　　） A．B、C的向心加速度满足 B．B、C的角速度关系满足 C．B、C的角速度关系满足 D．B、C的线速度关系满足 【变式2-1】（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，如图所示，在蛋糕边缘每隔4s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为2πr/min B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的向心加速度约为 【变式2-2】（23-24高一下·安徽淮北·期末）如图所示为一皮带传动装置的示意图，大轮半径为，小轮半径为，是小轮边缘上的点，是大轮边缘上的点，是大轮上到中心转轴距离为的点，则传动装置匀速转动且不打滑时，下列关于、、三点的运动情况说法正确的（　　） A．向心加速度大小关系为 B．线速度大小关系为 C．周期关系为 D．角速度大小关系为 题型03 向心角速度的大小比较 【典例3】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时（　　） A．两点的角速度 B．两点的线速度 C．两点的周期 D．两点的向心加速度 【变式3-1】（23-24高一下·四川泸州·期末）中国积木原创品牌“布鲁可”有一种变速轮积木，通过齿轮传动变速，如图所示。当驱动轮做大小不变的匀速转动时，可以改变从动轮半径的大小来实现变速。下列能正确表示从动轮边缘某质点的向心加速度a的大小随从动轮半径r变化的图像（其中C图为反比例图线、D图为抛物线）的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图所示，A、B两车正在水平圆形赛道上做速度大小相等的匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．A车的向心加速度小于B车的向心加速度 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．A车所受合外力一定大于B车所受合外力 D．两车所受合力方向不一定指向圆心 题型04 向心力与向心加速度的关系 【典例4】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图所示，西安欢乐谷摩天轮高达131.4m，外观极具未来感和科幻感，在蓝天的映衬下璀璨夺目。已知当该摩天轮以某一周期做匀速圆周运动时，乘坐该摩天轮的某同学的向心力大小为F，若在其他情况不变的情况下，仅将该摩天轮做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的两倍，则此时该同学的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·山西·期中）如图，将地球看成圆球，地球赤道上某点有一物体A，北纬45°线上某点有一物体B，在地球自转过程中，A、B两物体均相对于地面静止且看作质点，下列说法正确的是（    ） A．A、B两物体线速度大小之比为 B．A、B两物体角速度之比为2∶1 C．A、B两物体向心加速度大小之比为2∶1 D．A、B两物体向心力大小之比为 【变式4-2】在地球表面上，除了两极以外，任何物体都要随地球的自转而做匀速圆周运动，当同一物体先后位于a和b两地时，下列表述正确的是（　　） A．该物体在a、b两地所受向心力都指向地心 B．该物体在a、b两地时角速度一样大 C．该物体在a地时线速度较大 D．该物体在地时的向心加速度较小 题型05 加速度的突变问题 【典例5】如图所示，长为的悬线固定在点，在正下方处有一钉子，把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球到最低点悬线碰到钉子的瞬间，则小球的（　　） A．向心加速度突然增大 B．角速度突然变小 C．线速度突然变小 D．向心力突然减小 【变式5-1】如图所示，长为的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球摆动到B时与竖直方向的夹角为，不计一切阻力。求： （1）小球摆动到最低点A的速度？ （2）摆动到B点的速度？ 【变式5-2】如图所示，将半径为R的内表面光滑的半圆形碗固定，一质量为m的小球在离碗底高为h的水平面内，以角速度做匀速圆周运动，重力加速度为g，则（　　） A．小球受重力、支持力和向心力的作用 B．小球运动过程中线速度不变，向心加速度也不变 C．如果小球突然减速，它将做离心运动 D．小球的各物理量关系满足 【基础练·强化巩固】 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）如图甲所示是隆阳城区九龙环岛的俯视图。A、B两车（同种型号可认为质量相等）正在绕环岛做线速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。已知A、B两车做匀速圆周运动的半径之比满足，下列说法正确的是（   ） A．A车的角速度与B车的角速度之比 B．A车的角速度与B车的角速度之比 C．A、B两车所受的合力大小之比 D．A、B两车所需的向心力大小之比 2．（24-25高一下·全国·课后作业）某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为，若甲轮匀速转动的角速度大小为，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在“天宫课堂”上，航天员叶光富用绳子一端系住装有水油混合液体的瓶子，做如图所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层，密度较大的水集中于小瓶的底部。在水油分离后做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．瓶子整体不受重力 B．水的角速度大于油的角速度 C．在最高点水对油有向下的作用力 D．油的向心加速度比水的向心加速度大 4．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为，A轮的半径与C轮相同，它与B轮紧靠在一起。当轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也会随之无滑动地转动。分别为三个转轮A、B、C边缘上的三个点，在运动过程中，三点的（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．转速之比为 D．向心加速度大小之比为 5．（23-24高一下·广东韶关·期末）明代宋应星的《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，记载了我国古代劳动人民的智慧，如图甲是劳动者正在利用米春加工稻米的场景，图乙是春米的示意图，用脚踏动春米杆端点A，整根杆会以O为轴心转动，A、B、C为杆的三个点,其中C是OB的中点,|OA|=|OC|=|CB|,则用脚踏动春米杆端点A的过程中（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西榆林·期末）游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图所示，一小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0m，小孩旋转5周用时1min，则小孩做匀速圆周运动时（　　） A．周期为0.2s B．角速度为 C．线速度为 D．向心加速度为 7．（23-24高一下·甘肃白银·期末）如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径都不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，且半径、，正常骑行自行车时，三个轮边缘点A、B、C的向心加速度的大小之比等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·河南新乡·期末）某物体做匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，则该物体的角速度—半径（ω-r）、角速度的平方—半径 线速度—半径（v-r）、周期的平方—半径 图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）运球转身是篮球运动中重要的技术动作。如图甲所示为运动员运球转身的瞬间，此时运动员和篮球保持相对静止绕OO′轴转动，手臂上的A点与篮球边缘的B点到转轴的距离之比，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点角速度大小之比 B．A、B两点的线速度大小之比 C．A、B两点的周期之比 D．A、B两点的向心加速度大小之比 10．（24-25高一下·全国·随堂练习）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全，小车速率最大为4m/s，在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的加速度最大为1m/s2。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为（　　） A．，l＝8m B．，l＝5m C．，l＝5.5m D．，l＝5.5m 【拓展练·培优拔高】 11．（23-24高一下·新疆伊犁·期中）如图是《天工开物》中的牛力齿轮水车的插图，记录了我国古代劳动人民的智慧。在牛力的作用下，通过A齿轮带动B齿轮，B、C齿轮装在同一根轴上，A、B边缘轮齿大小间距相同，齿轮A、B、C半径的大小关系为RA：RB：RC=5：3：1，下列说法正确的是（　　） A．齿轮A、B、C的周期之比为5：5：3 B．齿轮A、B、C的角速度之比为3：5：5 C．齿轮A、B、C边缘的线速度大小之比为3∶2∶1 D．齿轮A、B、C边缘的向心加速度大小之比为9：15：5 12．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图所示，A、B两小球分别固定在大、小轮的边缘上，小球C固定在大轮半径的中点，大轮的半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上不打滑。三个小球的质量相同且均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球的线速度大小之比为 B．B、C两小球的角速度大小之比为 C．A、B两小球的周期之比为 D．A、C两小球的向心力大小之比为 13．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B分别是前轮和后轮边缘上的点，若拖拉机行进时车轮没有打滑，则（　　） A．前轮和后轮转动的周期之比为1∶1 B．前轮和后轮转动的转速之比为2∶1 C．A点和B点的线速度大小之比为1∶2 D．A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1 14．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端质量为m的小球拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子的瞬间（　　） A．小球的线速度大小不变 B．小球的角速度突然减小 C．悬线的拉力突然减小 D．小球的向心力突然增大 15．（23-24高一下·江西·期中）某同学用如图甲所示装置做“探究向心力与速度的关系”的实验。半径均为R的半圆轨道AB固定在竖直面内，在圆弧轨道的最低点下面安装一个力传感器，在最低点两侧面安装一个光电门，从A点正上方某点处由静止释放一个质量为m、半径为r（r远小于R）的小球，小球沿圆弧轨道通过最低点时，与光电门相连的数字计时器记录小球的遮光时间，力传感器记录小球对轨道的压力，重力加速度大小为g。 (1)某次实验，数字计时器记录小球经过最低点时的遮光时间为t0，则小球经过最低点时的线速度大小为v= ，加速度大小为a= 。 (2)多次改变小球在A点正上方由静止释放的位置，测出多组力传感器的示数F及数字计时器记录的小球遮光时间t，为了反映向心力与速度的关系，作图像，作出的图像如图乙所示，为了直观地反映向心力与速度的直观关系，应尝试作F- （选填“”“”“”或“”）图像。 (3)如果作出的图像是一条倾斜直线，在误差允许的范围内，图像与纵轴的截距等于 （用题中所给物理量符号表示），图像的斜率等于 （用题中所给物理量符号表示），则表明：在质量、半径一定时，向心力与 成正比。 16．（23-24高一下·全国·单元测试）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为、，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。    17．（23-24高一下·全国·课堂例题）活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？ 活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？ 活动3：前面学习了向心力，通过比较甲和乙，那我们能不能根据向心力和牛顿第二定律推导出向心加速度的表达式呢？ 18．（23-24高三上·北京丰台·期中）等效是物理学中常用的思维方法之一，合成与分解是在等效思想的指导下物理学研究复杂问题的一种重要方法。运用合成与分解，我们可以通过一些已知运动的规律来研究复杂的运动。已知地球表面的重力加速度g，研究以下问题。 （1）如图甲所示，小球在距离地面 h处的水平桌面上向右运动，以初速度v0离开桌面后做平抛运动，求小球落地点到桌缘的水平距离x1； （2）如图乙所示，将桌子和小球移到以加速度（）竖直向下运动的电梯中，小球离开桌面时水平方向速度仍为v0，求小球在电梯中的落地点到桌缘的水平距离 （小球下落时未与电梯侧壁发生碰撞）； （3）如图丙所示，洲际导弹飞行很远，研究其射程时不能将地面看成平面。考虑地面是球面，可以将洲际导弹的运动近似地看成是绕地球中心的匀速圆周运动与垂直地球表面的上抛运动的叠加，此过程中地球对导弹引力的大小近似保持不变。假设导弹从地面发射时的速度大小为v，仰角为θ，地球半径为R。请利用运动的合成与分解求解洲际导弹的射程s（导弹的发射点到落地点沿地表方向的距离）。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 向心加速度 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材全解】 2 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 2 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 3 【经典题型】 4 题型01 向心加速度的概念及理解 4 题型02 向心加速度与角速度、周期的关系 5 题型03 向心角速度的大小比较 8 题型04 向心力与向心加速度的关系 10 题型05 加速度的突变问题 12 【课后巩固】 15 【基础练·强化巩固】 15 【拓展练·培优拔高】 25 课堂目标 关键词 1. 知道匀速圆周适动的向心加速度表达式，理解向心加速度与半径的关系，并能灵活应用相关表达式分析和解答问题； 2. 理解匀速圆周运动中速度变化量与极限思想； 3. 能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式求解有关问题。 ①速度变化 ②迷度变化量的方向 ③向心加速度 ④向心力与向心加速度 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 【问题情景】如图所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，速度大小虽然不变，但方向时刻变化，加速度不为零，如何看待加速度的方向? 1. 向心加速度的方向 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与它所受合力的方向相同，因此，物体做匀速圆周运动时的加速度方向总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 【点拨】圆周运动中向心加速度的方向 如下图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为△v。当物体由A运动到B的时间时，的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2. 向心加速度的理解 方向 总是指向圆心 特点 与速度的方向总是垂直；向心加速度总是在变化 作用 向心加速度之改变速度的方向，不改变速度的大小 意义 描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小 性质 匀速圆周运动是加速度时刻变化的变加速运动 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 1. 圆周运动向心力的表达式的推导 由： 2. 变速圆周运动的加速度 3. 对向心加速度的理解 （1）向心加速度的表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 （2）在变速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心，物体的实际加速度也不指向圆心，沿半径指向圆心方向的分加速度为向心加速度a。 （3）在匀速圆周运动中，向心加速度、运动物体的质量、合力三者的关系符合牛顿第二定律。 题型01 向心加速度的概念及理解 【典例1】（23-24高一下·河南·阶段练习）做圆周运动的物体会有向心加速度，关于向心加速度，下列说法正确的是（    ） A．向心加速度的方向可能与速度方向成任意角度 B．向心加速度可能改变速度的大小 C．做圆周运动的物体角速度恒定时，向心加速度恒定 D．向心加速度是用来描述物体速度方向变化快慢的 【答案】D 【详解】A．向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，A错误； BD．向心加速度只能改变速度的方向，并不改变速度的大小，用来描述物体速度方向变化的快慢，B错误，D正确； C．做圆周运动物体的角速度恒定时，由知半径改变，则向心加速度大小改变，且向心加速度方向一直改变，C错误。 故选D。 【变式1-1】（23-24高一下·上海黄浦·期末）下列关于向心加速度的说法，正确的是（　　） A．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 B．向心加速度的方向保持不变 C．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 【答案】C 【详解】ABD．在匀速圆周运动中，向心加速度大小不变，方向总是指向圆心，方向不断变化，故ABD错误； C．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，故C正确。 故选C。 【变式1-2】（23-24高一下·北京怀柔·期中）在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（    ） A．向心加速度 B．线速度 C．角速度 D．作用在物体上的合外力 【答案】C 【详解】在匀速圆周运动中，向心加速度、线速度和作用在物体上的合外力均大小不变，方向时刻发生变化；角速度保持不变。 故选C。 题型02 向心加速度与角速度、周期的关系 【典例2】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）如图所示是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中（　　） A．B、C的向心加速度满足 B．B、C的角速度关系满足 C．B、C的角速度关系满足 D．B、C的线速度关系满足 【答案】A 【详解】BC．B、C同轴转动，角速度关系满足 故BC错误； A．根据 由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足 故A正确； D．根据 由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足 故D错误。 故选A。 【变式2-1】（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，如图所示，在蛋糕边缘每隔4s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为2πr/min B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的向心加速度约为 【答案】D 【详解】A．圆盘每转一圈的时间 T=15×4s=60s 故转速为1 r/min，故A错误； B．由角速度与周期的关系可得圆盘转动的角速度大小为 故B错误； C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 故C错误； D．蛋糕边缘的向心加速度约为 故D正确。 故选D。 【变式2-2】（23-24高一下·安徽淮北·期末）如图所示为一皮带传动装置的示意图，大轮半径为，小轮半径为，是小轮边缘上的点，是大轮边缘上的点，是大轮上到中心转轴距离为的点，则传动装置匀速转动且不打滑时，下列关于、、三点的运动情况说法正确的（　　） A．向心加速度大小关系为 B．线速度大小关系为 C．周期关系为 D．角速度大小关系为 【答案】D 【详解】BD．由题可知，a、b、c三点的运动半径关系为 同轴转动的角速度大小相同，可知 皮带上各点的线速度大小相同，可知 根据线速度与角速度关系式，可知三点的线速度与角速度的关系为 故B错误、D正确； A．向心加速度，可知三点的向心加速度大小关系为 故A错误； C．周期与角速度的关系为，可知三点的周期关系为 故C错误。 故选D。 题型03 向心角速度的大小比较 【典例3】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时（　　） A．两点的角速度 B．两点的线速度 C．两点的周期 D．两点的向心加速度 【答案】B 【详解】a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，所以a、b两点的角速度相等，周期相等；根据 ， 由于，则有 ， 故选B。 【变式3-1】（23-24高一下·四川泸州·期末）中国积木原创品牌“布鲁可”有一种变速轮积木，通过齿轮传动变速，如图所示。当驱动轮做大小不变的匀速转动时，可以改变从动轮半径的大小来实现变速。下列能正确表示从动轮边缘某质点的向心加速度a的大小随从动轮半径r变化的图像（其中C图为反比例图线、D图为抛物线）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】驱动轮做大小不变的匀速转动时，驱动轮与从动轮边缘点的线速度大小相等，向心加速度a的大小 可得从动轮边缘某质点的向心加速度a的大小与r成反比； 故选C。 【变式3-2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图所示，A、B两车正在水平圆形赛道上做速度大小相等的匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．A车的向心加速度小于B车的向心加速度 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．A车所受合外力一定大于B车所受合外力 D．两车所受合力方向不一定指向圆心 【答案】B 【详解】A．根据 因，可知A车的向心加速度大于B车的向心加速度，选项A错误； B．根据 因，可知A车的角速度比B车的角速度大，选项B正确； C．根据 因两车质量关系不确定，可知不能比较两车所受合外力的大小，选项C错误； D．两车都做匀速圆周运动，可知所受合力方向都一定指向圆心，选项D错误。 故选B。 题型04 向心力与向心加速度的关系 【典例4】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图所示，西安欢乐谷摩天轮高达131.4m，外观极具未来感和科幻感，在蓝天的映衬下璀璨夺目。已知当该摩天轮以某一周期做匀速圆周运动时，乘坐该摩天轮的某同学的向心力大小为F，若在其他情况不变的情况下，仅将该摩天轮做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的两倍，则此时该同学的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向心力的计算公式 若做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的两倍，则 故选D。 【变式4-1】（23-24高一下·山西·期中）如图，将地球看成圆球，地球赤道上某点有一物体A，北纬45°线上某点有一物体B，在地球自转过程中，A、B两物体均相对于地面静止且看作质点，下列说法正确的是（    ） A．A、B两物体线速度大小之比为 B．A、B两物体角速度之比为2∶1 C．A、B两物体向心加速度大小之比为2∶1 D．A、B两物体向心力大小之比为 【答案】A 【详解】地球自转时，各点角速度大小相等，有 设地球半径为r，由几何关系知 A．由线速度与角速度、半径的关系得 故A正确； B．地球自转时，各点角速度大小相等，故B错误； C．由知，又角速度相等，故向心加速度之比等于半径之比，应为√2：1，故C错误； D．由知，因不知A、B两物体质量关系，故无法求解向心力之比，故D错误。 故选A。 【变式4-2】在地球表面上，除了两极以外，任何物体都要随地球的自转而做匀速圆周运动，当同一物体先后位于a和b两地时，下列表述正确的是（　　） A．该物体在a、b两地所受向心力都指向地心 B．该物体在a、b两地时角速度一样大 C．该物体在a地时线速度较大 D．该物体在地时的向心加速度较小 【答案】B 【详解】A．物体在a、b两地绕地轴转动，向心力的方向指向地轴，故A错误； BCD．根据题意可知，该物体在a、b两地时角速度一样大，由图可知，地半径大于地半径，由公式可得，则该物体在地时线速度较大，由公式可知，该物体在地时的向心加速度较大，故CD错误，B正确； 故选B。 题型05 加速度的突变问题 【典例5】如图所示，长为的悬线固定在点，在正下方处有一钉子，把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球到最低点悬线碰到钉子的瞬间，则小球的（　　） A．向心加速度突然增大 B．角速度突然变小 C．线速度突然变小 D．向心力突然减小 【答案】A 【详解】C．绳碰到钉子前后的瞬间，根据能量守恒，线速度不变，故C错误； B．根据可知，半径减小，由于线速度不变，所以角速度增大，故B错误： A．小球的向心加速度由于半径减小，所以加速度增大，故A正确； D．向心力为由上可知加速度突然增大，所以向心力突然增大，故D错误。 故选A。 【变式5-1】如图所示，长为的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球摆动到B时与竖直方向的夹角为，不计一切阻力。求： （1）小球摆动到最低点A的速度？ （2）摆动到B点的速度？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球从水平位置到最低点的过程，由机械能守恒得 解得 （2）细绳被钉子挡住后小球的速度不变，则从最低点到B点，由机械能守恒 解得 【变式5-2】如图所示，将半径为R的内表面光滑的半圆形碗固定，一质量为m的小球在离碗底高为h的水平面内，以角速度做匀速圆周运动，重力加速度为g，则（　　） A．小球受重力、支持力和向心力的作用 B．小球运动过程中线速度不变，向心加速度也不变 C．如果小球突然减速，它将做离心运动 D．小球的各物理量关系满足 【答案】D 【详解】A．小球受重力、支持力，向心力是效果力，是由重力和支持力的合力提供的，故A错误； B．小球运动过程中线速度大小不变，方向时刻变化，向心加速度也是大小不变，方向时刻变化，故B错误； C．如果小球突然减速，它将向下滑动，轨道半径变小，做近心运动，故C错误； D．设小球与O点连线与竖直方向夹角为θ，根据几何关系可知 小球做圆周运动的半径为 联立解得 故D正确。 故选D。 【基础练·强化巩固】 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）如图甲所示是隆阳城区九龙环岛的俯视图。A、B两车（同种型号可认为质量相等）正在绕环岛做线速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。已知A、B两车做匀速圆周运动的半径之比满足，下列说法正确的是（   ） A．A车的角速度与B车的角速度之比 B．A车的角速度与B车的角速度之比 C．A、B两车所受的合力大小之比 D．A、B两车所需的向心力大小之比 【答案】A 【详解】AB． A、B两车（同种型号可认为质量相等）正在绕环岛做线速度大小相等的匀速圆周运动，根据 可得A车的角速度与B车的角速度之比为 故A正确，B错误； CD．由合力提供向心力，可知 可知A、B两车所受的合力大小之比为 A、B两车所需的向心力大小之比为 故CD错误。 故选A。 2．（24-25高一下·全国·课后作业）某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为，若甲轮匀速转动的角速度大小为，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三轮相互不打滑，则三轮边缘上各点线速度大小相同，设为v，由甲轮可知，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小 故选B。 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在“天宫课堂”上，航天员叶光富用绳子一端系住装有水油混合液体的瓶子，做如图所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层，密度较大的水集中于小瓶的底部。在水油分离后做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．瓶子整体不受重力 B．水的角速度大于油的角速度 C．在最高点水对油有向下的作用力 D．油的向心加速度比水的向心加速度大 【答案】C 【详解】A．根据 可知瓶子受重力作用，故A错误； B．油和水绕圆心转动的角速度相等，故B错误； C．在最高点，油做圆周运动的向心力由水提供，故水对油有指向圆心的作用力，故C正确； D．根据 可知，水的向心加速度大小大于油的向心加速度大小，故D错误。 故选C。 4．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为，A轮的半径与C轮相同，它与B轮紧靠在一起。当轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也会随之无滑动地转动。分别为三个转轮A、B、C边缘上的三个点，在运动过程中，三点的（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．转速之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A轮、B轮靠摩擦传动，则两轮边缘点的线速度大小相等，故 根据可得 根据可得 根据可得 B轮、C轮共轴转动，角速度相等，故 根据可得 根据可得 根据可得 综上可得 故选D。 5．（23-24高一下·广东韶关·期末）明代宋应星的《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，记载了我国古代劳动人民的智慧，如图甲是劳动者正在利用米春加工稻米的场景，图乙是春米的示意图，用脚踏动春米杆端点A，整根杆会以O为轴心转动，A、B、C为杆的三个点,其中C是OB的中点,|OA|=|OC|=|CB|,则用脚踏动春米杆端点A的过程中（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．ABC三点都是同轴转动，则角速度相等，即 选项A正确，B错误； C．因2|OA|=|OB|，根据 v=ωr 可得 选项C错误；     D．根据 a=ω2r 可知 选项D错误。 故选A。 6．（23-24高一下·陕西榆林·期末）游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图所示，一小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0m，小孩旋转5周用时1min，则小孩做匀速圆周运动时（　　） A．周期为0.2s B．角速度为 C．线速度为 D．向心加速度为 【答案】D 【详解】A．小孩做匀速圆周运动的周期为 故A错误； B．小孩做匀速圆周运动的角速度为 故B错误； C．小孩做匀速圆周运动的线速度为 故C错误； D．小孩做匀速圆周运动的向心加速度为 故D正确。 故选D。 7．（23-24高一下·甘肃白银·期末）如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径都不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，且半径、，正常骑行自行车时，三个轮边缘点A、B、C的向心加速度的大小之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、B两点处的线速度大小相等，且 根据 知 B、C两点处的角速度大小相等，且 根据 知 所以 故选A。 8．（23-24高一下·河南新乡·期末）某物体做匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，则该物体的角速度—半径（ω-r）、角速度的平方—半径 线速度—半径（v-r）、周期的平方—半径 图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．根据 可得 ω-r不是直线；根据 可得图像也不是直线，选项AB错误； C．根据 可得 则v-r图像不是直线，选项C错误； D．根据 可知 则图像是过原点的直线，选项D正确。 故选D。 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）运球转身是篮球运动中重要的技术动作。如图甲所示为运动员运球转身的瞬间，此时运动员和篮球保持相对静止绕OO′轴转动，手臂上的A点与篮球边缘的B点到转轴的距离之比，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点角速度大小之比 B．A、B两点的线速度大小之比 C．A、B两点的周期之比 D．A、B两点的向心加速度大小之比 【答案】D 【详解】A．两点属于同轴转动，角速度相等 故A错误； B．由 可得 故B错误； C．周期 周期相等，所以比值为1：1，故C错误； D．由 A、B两点的向心加速度大小之比为1：3，故D正确。 故选D。 10．（24-25高一下·全国·随堂练习）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全，小车速率最大为4m/s，在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的加速度最大为1m/s2。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为（　　） A．，l＝8m B．，l＝5m C．，l＝5.5m D．，l＝5.5m 【答案】B 【详解】根据在BC段的最大加速度，可知 可解得 同理可求出在CD段的最大速度为 又因 所以在BCD段运动的速度为 所以时间为 在AB段减速过程中，则有 位移为 所以匀速运动的位移为 所以匀速运动的时间为 所以总时间为 故选B。 【拓展练·培优拔高】 11．（23-24高一下·新疆伊犁·期中）如图是《天工开物》中的牛力齿轮水车的插图，记录了我国古代劳动人民的智慧。在牛力的作用下，通过A齿轮带动B齿轮，B、C齿轮装在同一根轴上，A、B边缘轮齿大小间距相同，齿轮A、B、C半径的大小关系为RA：RB：RC=5：3：1，下列说法正确的是（　　） A．齿轮A、B、C的周期之比为5：5：3 B．齿轮A、B、C的角速度之比为3：5：5 C．齿轮A、B、C边缘的线速度大小之比为3∶2∶1 D．齿轮A、B、C边缘的向心加速度大小之比为9：15：5 【答案】BD 【详解】A．齿轮A、B边缘的线速度相等，根据 可知A、B的周期之比为 TA：TB=5：3 BC是同轴转动，则周期相等，则齿轮A、B、C的周期之比为5：3：3，选项A错误； B．根据 可知，齿轮A、B、C的角速度之比为3：5：5，选项B正确； C．根据 v=ωR 可知，齿轮A、B、C边缘的线速度大小之比为3∶3∶1，选项C错误； D．根据 a=ωv 可知，齿轮A、B、C边缘的向心加速度大小之比为9：15：5，选项D正确。 故选BD。 12．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图所示，A、B两小球分别固定在大、小轮的边缘上，小球C固定在大轮半径的中点，大轮的半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上不打滑。三个小球的质量相同且均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球的线速度大小之比为 B．B、C两小球的角速度大小之比为 C．A、B两小球的周期之比为 D．A、C两小球的向心力大小之比为 【答案】AD 【详解】A．由题意可知，大、小轮的边缘靠摩擦传动，因此边缘各点的线速度大小相等，则有 A正确； B．由于B、C两小球是同轴转动，则有相同的角速度，即为 B错误； C．A、B两小球的线速度大小相等，由线速度与角速度的关系式可得 则有 C错误； D．由于 由可得 由向心力公式可得 D正确。 故选AD。 13．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B分别是前轮和后轮边缘上的点，若拖拉机行进时车轮没有打滑，则（　　） A．前轮和后轮转动的周期之比为1∶1 B．前轮和后轮转动的转速之比为2∶1 C．A点和B点的线速度大小之比为1∶2 D．A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1 【答案】BD 【详解】ABC．根据 而 可知A、B两点的角速度之比、转速之比都与半径成反比，都为2：1； 据 可得前轮与后轮的角速度之比2：1，求得两轮的转动周期为1：2，故AC错误，B正确； D． 由 可知向心加速度与半径成反比，则A与B点的向心加速度之比为2：1，故D正确。 故选BD。 14．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端质量为m的小球拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子的瞬间（　　） A．小球的线速度大小不变 B．小球的角速度突然减小 C．悬线的拉力突然减小 D．小球的向心力突然增大 【答案】AD 【详解】A．悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，故A正确； B．当半径减小时，由公式 可知，圆周运动的半径为原来的一半，则角速度是原来的2倍，故B错误； CD．根据牛顿第二定律可得 由于碰到钉子后半径变为原来的一半，则向心力增大，绳拉力增大，故C错误，D正确。 故选AD。 15．（23-24高一下·江西·期中）某同学用如图甲所示装置做“探究向心力与速度的关系”的实验。半径均为R的半圆轨道AB固定在竖直面内，在圆弧轨道的最低点下面安装一个力传感器，在最低点两侧面安装一个光电门，从A点正上方某点处由静止释放一个质量为m、半径为r（r远小于R）的小球，小球沿圆弧轨道通过最低点时，与光电门相连的数字计时器记录小球的遮光时间，力传感器记录小球对轨道的压力，重力加速度大小为g。 (1)某次实验，数字计时器记录小球经过最低点时的遮光时间为t0，则小球经过最低点时的线速度大小为v= ，加速度大小为a= 。 (2)多次改变小球在A点正上方由静止释放的位置，测出多组力传感器的示数F及数字计时器记录的小球遮光时间t，为了反映向心力与速度的关系，作图像，作出的图像如图乙所示，为了直观地反映向心力与速度的直观关系，应尝试作F- （选填“”“”“”或“”）图像。 (3)如果作出的图像是一条倾斜直线，在误差允许的范围内，图像与纵轴的截距等于 （用题中所给物理量符号表示），图像的斜率等于 （用题中所给物理量符号表示），则表明：在质量、半径一定时，向心力与 成正比。 【答案】(1) (2) (3) mg 速度平方 【详解】（1）[1]小球经过最低点时的线速度大小为 [2]加速度为 （2）根据图像猜测图乙是抛物线，因此应尝试作图像。 （3）[1][2][3]由 得到 因此如果图像与纵轴的截距等于mg，图像的斜率为，则表明在质量、半径一定时，向心力与速度的平方成正比。 16．（23-24高一下·全国·单元测试）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为、，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。    【答案】见解析 【详解】匀速圆周运动的向心加速度为 则 运动时间 则 则 由此可知，甲先出弯道。 17．（23-24高一下·全国·课堂例题）活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？ 活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？ 活动3：前面学习了向心力，通过比较甲和乙，那我们能不能根据向心力和牛顿第二定律推导出向心加速度的表达式呢？ 【答案】见解析 【详解】活动1：根据牛顿第二定律有 解得物块的加速度 活动2：根据几何关系可得小球做匀速圆周运动的向心力大小 方向指向圆心。 活动3：根据牛顿第二定律有 根据向心力有 合力提供向心力有 解得向心加速度 18．（23-24高三上·北京丰台·期中）等效是物理学中常用的思维方法之一，合成与分解是在等效思想的指导下物理学研究复杂问题的一种重要方法。运用合成与分解，我们可以通过一些已知运动的规律来研究复杂的运动。已知地球表面的重力加速度g，研究以下问题。 （1）如图甲所示，小球在距离地面 h处的水平桌面上向右运动，以初速度v0离开桌面后做平抛运动，求小球落地点到桌缘的水平距离x1； （2）如图乙所示，将桌子和小球移到以加速度（）竖直向下运动的电梯中，小球离开桌面时水平方向速度仍为v0，求小球在电梯中的落地点到桌缘的水平距离 （小球下落时未与电梯侧壁发生碰撞）； （3）如图丙所示，洲际导弹飞行很远，研究其射程时不能将地面看成平面。考虑地面是球面，可以将洲际导弹的运动近似地看成是绕地球中心的匀速圆周运动与垂直地球表面的上抛运动的叠加，此过程中地球对导弹引力的大小近似保持不变。假设导弹从地面发射时的速度大小为v，仰角为θ，地球半径为R。请利用运动的合成与分解求解洲际导弹的射程s（导弹的发射点到落地点沿地表方向的距离）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）竖直方向做自由落体运动，则有 解得 水平方向做匀速直线运动，则有 解得 （2）竖直方向上有 解得 则有 （3）导弹沿切线方向的速度为，法向方向的速度为；沿切线方向做匀速圆周运动，对应的向心加速度为 故沿法向上抛满足 又 联立解得 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$