6.2向心力 讲义【教材详解：思维导图+3知识点+7题型+课后巩固：分层练】-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

6.2向心力 目录 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：向心力 2 知识点2：实验：探究向心力与质量、角速度和半径的关系 3 知识点3：变速运动和一般的曲线运动 5 【经典题型】 7 题型01 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 7 题型02 向心力的理解 9 题型03 判断向心力的来源 10 题型04 有关向心力的简单计算 11 题型05 利用牛顿第二定律求解向心力 12 题型06 连接体的圆周运动 13 题型07 圆周圆周运动的临界问题 14 【课后巩固】 16 【基础练·强化巩固】 16 【拓展练·培优拔高】 19 课堂目标 关键词 1. 知道向心力是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源。 2. 通过实验探究，理解影响向心力大小的因素。 3. 掌握向心力的表达式，并能应用向心力公式解决相关问题。 4. 知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法。 ①向心力方向 ②向心力大小 ③向心力来源 ④变速圆周运动 知识点1：向心力 【问题情景】如图所示，用细绳牵引小球在空中做匀速圆周运动时，感觉细绳对小球有拉力，这个指向圆心的拉力就是向心力。 1. 向心力的定义 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。如上图中的力F。 2. 向心力的方向 向心力的方向总是沿半径指向圆心(与速度方向时刻垂直)，向心力的方向时刻在改变。 3. 向心力的效果 向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小 4. 向心力的来源 向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是重力、弹力、摩擦力等不同性质的力，也可能是它们的合力，还可能是某个力的分力。 （1）重力或万有引力(下章学习)提供向心力：如下图甲所示，卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由天体间的引力提供。 (2)弹力提供向心力：如图乙所示，物块相对圆筒静止，在竖直圆筒内随圆筒做匀速圆周运动，圆筒对物块的弹力提供向 心力。 (3)静摩擦力提供向心力： 如图丙所示，木块随水平圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供。 (4)某个力的分力提供向心力：如图丁所示，小球在细线拉力作用下，在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，其向心力由细线拉力在水平方向的分力提供。 (5)合力提供向心力：上述几种情况的向心力均是由合力提供的，只不过物体所受的合力的大小等于其中某个力或某个力的分力而已。 特别提示 向心力是效果力，向心力可能是某个力，也可能是几个力的合力，不管何种情形，向心力的方向一定指向圆心，不能认为向心力是某种性质的力。 知识点2：实验：探究向心力与质量、角速度和半径的关系 1． 实验目的 （1）学会使用向心力演示器； （2）通过实验探究向心力与半径、角速度、质量的关系。 2．实验仪器 向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。 3. 实验原理 如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 4． 实验步骤 （1）调整标尺，使两根标尺起点和套筒上口处于同一水平面上，皮带放在第一挡，转速为1∶1的皮带盘处，质量相同的两钢球分别放在两个槽上半径相等的横臂挡板内侧，然后摇动手柄，观察到标尺读数始终相等。 （2）将长槽上钢球由第一挡板内侧移至第二挡板内侧，此时两个质量相同的钢球转动半径之比为2∶1，转动手柄，观察到标尺格数之比为2∶1。 （3）将长槽上的钢球换成铝球，并移至第一挡板内侧，两个金属球质量比为1∶2，转动手柄，观察到标尺格数之比为1∶2。 （4）把皮带放在第二挡，转速之比为2∶1，将长槽上铝球换成钢球，转动手柄，两球角速度之比为2∶1，观察到标尺格数之比为4∶1。 （5）将皮带放在第三挡，转速之比为3∶1，转动手柄，两球角速度之比为3∶1，观察到标尺格数之比为9∶1。 5．实验结论 由步骤(1)及其结果可知，半径、角速度、质量相同时，向心力大小相同； 由步骤(2)及其结果可知，角速度、质量相同时，向心力与半径成正比； 由步骤(3)及其结果可知，半径、角速度相同时，向心力与质量成正比； 由步骤(4)(5)及其结果可知，半径、质量相同时，向心力与角速度的平方成正比。 由以上可推知：Fn＝mω2r。 9.实验拓展 由v＝ωr可知，Fn＝m，故也可以探究Fn与v、m、r的关系，实验方法和思路不变。 注意事项 （1） 将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故，皮带与塔轮之间要拉紧。 （2） 摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个弹簧测力套筒的格数。达到预定格数时，要保持转速恒定。 （3） 实验时，不宜使标尺露出格数太多，以免由于球沿滑槽外移引起较大的误差。 拓展提升：几种常见的匀速圆周运动的向心力 图形 受力情况 力的分解与合成 满足的方程 或，即： 或，即： 或，即： 或，即： ， 知识点3：变速运动和一般的曲线运动 1. 变速圆周运动 (1)定义： 物体沿着圆周运动，它的线速度大小不断改变，这种运动叫作变速圆周运动。 (2)受力特点：变速圆周运动中的物体所受合力并不始终指向圆心。这个力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力和指向圆心方向的分力。 (3)两个分力的作用效果：向心力 F的方向与速度方向垂直改变速度的方向；切向分力的方向与物体的速度方向在一条直线上，改变速度的大小。 【点拨】 当合力F与速度v的夹角小于90°，即切向力和速度v的方向相同时，圆周运动物体的速度增大，如图甲所示；当合力F与速度v的夹角大于90°，即切向力和速度的方向相反时，圆周运动物体的速度减小，如图乙所示。 (4)处理方法： 变速圆周运动中，某一点的向心力可用、等表达式分析，所求是合力指向圆心方向的分力，v、w都是该点的瞬时值。 2. 一般的曲线运动 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动。车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的。 (2) 处理方法： ①将曲线分割成许多很短的小段，每一小段曲线可以看成一小段圆弧，物体在每一小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的。我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度。 ②将物体所受的合力沿切线方向和指向圆心方向分解，沿切线方向的分力改变速度的大小，指向圆心方向的分力改变速度的方向，提供物体做圆周运动所需的向心力，此时可用、等表达式分析解答。 【归纳总结】 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动或一般的曲线运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力特点 合力方向一定指向圆心，提供向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心分力，指向圆心的分力提供向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动(变加速曲线运动) 公式 都适用，但要注意一般曲线运动的瞬时性 题型01 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）(1)用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，用到的实验方法是 。 A．理想实验 B．等效替代法 C．微元法 D．控制变量法 (2)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球分别放在A、C位置，A 、C到塔轮中心的距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右露出的刻度，此时可研究向心力的大小与 的关系。 A．质量m B．角速度ω C．半径r (3)在（2）的实验中， 其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则下列符合实验实际的是 A．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值变小 B．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值不变 C．左右两标尺的示数将变小，两标尺示数的比值变小 D．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值变大 【变式1-1】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮1和变速塔轮2匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的弹力提供向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。标尺上红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值，图示为装置实物图和结构简图。 (1)下列实验的实验方法与探究向心力的大小与质量、角速度和半径的关系实验相同的是（　　） A．探究平抛运动的特点 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 (2)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时可以得到的结果是 。 A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比 B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比 C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比 D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比 (3)如下图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①、②分别放在A盘和B盘的边缘， A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，则a轮与b轮的角速度大小之比为 ，钢球①、②受到的向心力之比为 。 【变式1-2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）某实验小组为探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与物体质量、轨道半径及转速的关系，采用了如图甲所示的实验装置。带孔的滑块套在水平细杆上。通过细杆与固定在转轴上的拉力传感器相连。滑块上固定有转速传感器。细杆可绕转轴做匀速圆周运动。 (1)下列实验用到的物理方法与本实验相同的是___________。 A．伽利略对自由落体的研究 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 (2)若拉力传感器的示数为F，转速传感器的示数为n，保证小滑块的质量、圆周运动的半径不变，实验小组通过改变转速测量出多组数据，作出了图乙所示的图像，该图像是一条直线，则图像横坐标x代表的可能是___________。 A．n B． C． D． (3)经检查分析，实验仪器、操作和读数均没有问题，实验作出的图线不过原点的主要原因可能是 。 题型02 向心力的理解 【典例2】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供，它是根据力的作用效果命名的 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 【变式2-1】下列关于向心力的叙述中，不正确的是（　　） A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力 B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用 C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小 D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供 【变式2-2】下面关于向心力的论述中不正确的是（　　） A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力 B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定要受到一个向心力的作用 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某一个力，也可以是这些力中某几个力的合力 D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢 题型03 判断向心力的来源 【典例3】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力（    ） A．由重力和支持力的合力提供 B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供 C．只由重力提供 D．只由支持力提供 【变式3-1】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（    ） A．物体所受弹力增大，摩擦力增大 B．物体所受弹力不变，摩擦力减小 C．物体所受弹力减小，摩擦力不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 【变式3-2】在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图所示。下列判断正确的是(　　) A．A球的速率小于B球的速率 B．A球的角速度大于B球的角速度 C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力 D．A球的转动周期大于B球的转动周期 题型04 有关向心力的简单计算 【典例4】过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　） A．0 B． C． D． 【变式-1】第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在中国北京和张家口举行。如图所示为简化后的雪道示意图，运动员一定的初速度从半径R=10m的圆弧轨道AB末端水平飞出，落在倾角为的斜坡上，已知运动员到B点时对轨道的压力是其重力的5倍，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）运动员到B点时的速度； （2）运动员在斜坡上的落点距B点的距离。 【变式4-2】在光滑的水平面上相距40cm的两个钉子A和B，如图所示，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动。若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是（ ） A．0.9πs B．0.8πs C．1.2πs D．1.6πs 题型05 利用牛顿第二定律求解向心力 【典例5】（22-23高一上·上海金山·期末）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 【变式5-1】如图，一半径为R＝4m的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶（可视为质点），在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道BC，水平滑道BC右端C点与圆盘的圆心O在同一竖直线上，高度差为h＝5m；AB为一竖直平面内的光滑圆弧轨道，半径为r＝1m，且与水平滑道BC相切于B点。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从A点以一定的初速度释放，当滑块经过B点时的速度大小为5m/s，最终滑块由C点水平抛出，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度绕通过圆心的竖直轴匀速转动，滑块恰好落入圆盘边缘E点的小桶内。已知滑块与水平滑道BC间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小为。求： （1）滑块到达B点时对切面的压力大小； （2）水平滑道BC的长度； （3）圆盘转动的角速度应满足的条件。 【变式5-2】如图所示，轻线一端系一质量为的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为、角速度为的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高为的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求： （1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力大小； （2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少。 题型06 连接体的圆周运动 【典例6】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，矩形框MNQP竖直放置，其中MP、PQ足够长，且MP杆粗糙、MN杆光滑，轻弹簧一端连接一个穿过MN杆、质量为m的小球a，另一端连接另一个穿过MP杆、质量也为m的小球b。已知框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球b在MP杆的位置不变，且ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（　　） A．小球a的高度更低 B．弹簧弹力的大小相等 C．小球b所受杆的摩擦力更大 D．小球b所受合外力更大 【变式6-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小可能发生了变化 B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化 C．若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大 D．小球所受合力的大小一定发生了变化 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如图所示，一上表面距地面高为、半径为的水平圆盘上放置质量分别为、的A和B两个物体，用长为的轻绳连接，A物体在转轴位置上，B在圆盘边缘。当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，、两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看做质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B．轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为 C．B物体落到水平地面的位置到竖直轴的距离为 D．B物体落地时的速度大小为 题型07 圆周圆周运动的临界问题 【典例7】（多选）（24-25高三上·山西长治·阶段练习）如图，两质量相等的小物块P和Q放在水平转盘上，它们与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍。P与竖直转轴的距离为d，连接P、Q的细线长也为d，且P、Q与转盘中心三者共线，初始时，细线恰好伸直但无张力。现让该装置开始绕轴转动，在圆盘的角速度缓慢增大的过程中，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　） A．当时，绳子一定无弹力 B．当时，P、Q相对于转盘会滑动 C．当时，P受到的摩擦力随的增大而变大 D．当时，Q受到的摩擦力随的增大而变大 【变式7-1】（多选）（24-25高三上·四川广安·期中）如图所示，水平转台上有一个质量为m的小物块，用长为L的轻细绳将物块连接在通过转台中心的转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为θ，系统静止时细绳绷直但张力为零。物块与转台间动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。物块随转台由静止开始缓慢加速转动，在物块离开转台前（　　） A．物块对转台的压力大小等于物块的重力 B．物块受转台的静摩擦力方向始终指向转轴 C．绳中刚出现拉力时，转台的角速度为 D．物块能在转台上随转台一起转动的最大角速度为 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，竖直杆在、两点通过光滑铰链连接两等长轻杆和，和与竖直方向的夹角均为，轻杆长均为，在处固定一质量为的小球，重力加速度为，在装置绕竖直杆转动的角速度从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是（　　） A．当时，杆和杆对球的作用力都表现为拉力 B．杆对球的作用力先增大后减小 C．一定时间后，杆与杆上的力的大小之差恒定 D．当时，杆对球的作用力不为0 【基础练·强化巩固】 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）如图所示是用来“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”的向心力演示仪。图中两个相同的钢球到各自转轴的距离相等，由此可推测出是在研究向心力的大小F与下列哪个物理量的关系（　　） A．质量m B．半径r C．角速度ω D．向心加速度a 2．旋转篮球是每个篮球爱好者都会努力提升的一种技能。如图，半径约为13cm的篮球在某同学的手指上旋转，测得篮球上的一个小泥点在1min内随篮球旋转的圈数为60，由此可估算的物理量是（　　） A．小泥点的线速度大小 B．篮球旋转的角速度大小 C．小泥点的向心加速度大小 D．小泥点做圆周运动的向心力大小 3．如图所示，圆盘在水平面内绕竖直中心轴匀速转动，圆盘上P点有一小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止。下列说法正确的是（　　） A．小物体仅受重力作用 B．小物体仅受重力、支持力作用 C．小物体受重力、支持力和向心力作用 D．小物体受重力、支持力和静摩擦力作用 4．下课后，小丽在运动场上荡秋千，如右图所示。已知每根系秋千的绳子长为4m，小丽的质量为40kg，当秋干板摆到最低点时，速度为3m/s。问此时每根绳子的拉力是多少？（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（　　） A．490N B．245N C．400N D．310N 5．一箱土豆在水平转盘上随转盘以角速度做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m，它到转轴的距离为R，重力加速度为g，则其他土豆对该土豆的作用力为（　　） A．mg B． C． D． 6．（23-24高一下·四川德阳·期末）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，2023年5月29日8时25分，C919大型客机平稳降落成都天府国际机场，开启常态化商业运行.C919是中国航空工业取得的重大历史突破，也是中国创新驱动战略的重大时代成果.如图所示，C919正在空中沿半径为r的水平圆周做匀速盘旋，飞行速率为，重力加速度大小为g，则飞机受到的升力为自身重力的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7．如图所示，在绕中心轴转动的圆筒内壁上，有两物体A、B靠在一起随圆筒转动，在圆筒的角速度均匀增大的过程中，两物体相对圆筒始终保持静止，下列说法中正确的是（　　） A．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对B的摩擦力逐渐增大 B．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A的弹力逐渐减小 C．在此过程中，A、B之间可能存在弹力 D．在此过程中，圆筒对A一定有竖直向上的摩擦力 8．甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示，已知两人的质量m甲＞m乙，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．甲、乙的角速度大小相等 C．甲、乙的轨迹半径相等 D．甲受到的向心力比较大 9．（17-18高一·河北邢台·课后作业）在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为0.4 kg，小球开始以2 m／s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4 N，则从开始运动到绳拉断历时为（    ） A．2.4π s B．1.4π s C．1.2π s D．0.9π s 【拓展练·培优拔高】 10．如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的线速度为 B．该盒子做匀速圆周运动的周期为 C．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为2mg D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg 11．如图所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两个小球用原长为l0的轻弹簧连接在一起，再用长为l1的细线拴在轴O上，使m1和m2都以相同的角速度ω绕轴O做匀速圆周运动，并保证m1、m2、O点三者始终在同一条直线上。若m1、m2两球之间的距离为l2，则下列说法正确的是（　　） A．m1的向心力由细线拉力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供 B．弹簧的劲度系数为 C．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为 D．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为 12．如图所示，放于水平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球收到3个力的作用，则ω可能为（　　） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·浙江温州·期末）某学习小组利用如图所示的装置“探究向心力大小的表达式”实验，所用向心力演示器如图（a）所示，待选小球是质量均为2m的球1、球2和质量为m的球3，标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小。图（b）是演示器部分原理示意图，其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.6倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮⑤的半径是轮④的0.8倍，轮⑥的半径是轮④的0.5倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。 (1)在探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径之间的关系时我们主要用到了物理学中的（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．演绎法 (2)若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1:4，则塔轮1和塔轮2转动的角速度之比为 。 (3)利用此装置探究向心力与角速度之间的关系，某同学测出数据后作图，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是（　　） A． B． C． D． (4)若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连则是在研究向心力的大小F与 的关系。 A．转动半径r B．质量m C．角速度ω D．线速度v (5)若将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄时标尺1和标尺2示数的比值为1:4，则可判断与皮带连接的变速塔轮为（　　） A．①和④ B．②和⑤ C．③和⑥ D．③和④ 14．质量的小球被细线拴住，此时线长，当拉力为时细线就会被拉断。小球从图示位置由静止释放，达到最低位置时速度。在最低位置时小球距离水平地面的高度，求：（重力加速度g取，cos 37°=0.8，sin 37°=0.6） （1）当时，求小球运动到最低点时细线上的拉力； （2）改变角的大小和细线的长度，使小球恰好在最低点时，细线断裂，小球落地点到地面上P点的距离最大时，求细线的长度L。（P点在悬点的正下方） 15．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l1的细线与A球相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端栓在竖直轴上，如图所示．当球A、B均以角速度ω绕OO'做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2． (1)此时弹簧伸长量多大？细线拉力多大？ (2)将细线突然烧断瞬间两球加速度各多大？ 16．如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的A．B，球A距轴O的距离为L.现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动.当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，求： （1）此时球B对轻杆的作用力； （2）此时A．B两球的速度大小. 17．如图所示，“┏”形框架的水平细杆OM和竖直细杆ON均光滑，质量分别为m、3m金属环a、b用长为l的轻质细线连接，分别套在水平细杆和竖直细杆上，水平细杆离地高度为2.5l，a环在水平外力作用下，静止在水平杆末端M处，且θ=37°，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求线上的张力T； （2）若撤去a环上的水平拉力，让整个装置绕ON匀速转动，使细线与水平杆间夹角仍为37°，求此时装置转动的角速度； （3）在第2问的情景下，突然线断开，求当a环落地时，a、b环之间的距离s（两环落地后不反弹）。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2向心力 目录 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：向心力 2 知识点2：实验：探究向心力与质量、角速度和半径的关系 3 知识点3：变速运动和一般的曲线运动 5 【经典题型】 7 题型01 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 7 题型02 向心力的理解 11 题型03 判断向心力的来源 12 题型04 有关向心力的简单计算 15 题型05 利用牛顿第二定律求解向心力 18 题型06 连接体的圆周运动 22 题型07 圆周圆周运动的临界问题 25 【课后巩固】 27 【基础练·强化巩固】 28 【拓展练·培优拔高】 33 课堂目标 关键词 1. 知道向心力是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源。 2. 通过实验探究，理解影响向心力大小的因素。 3. 掌握向心力的表达式，并能应用向心力公式解决相关问题。 4. 知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法。 ①向心力方向 ②向心力大小 ③向心力来源 ④变速圆周运动 知识点1：向心力 【问题情景】如图所示，用细绳牵引小球在空中做匀速圆周运动时，感觉细绳对小球有拉力，这个指向圆心的拉力就是向心力。 1. 向心力的定义 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。如上图中的力F。 2. 向心力的方向 向心力的方向总是沿半径指向圆心(与速度方向时刻垂直)，向心力的方向时刻在改变。 3. 向心力的效果 向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小 4. 向心力的来源 向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是重力、弹力、摩擦力等不同性质的力，也可能是它们的合力，还可能是某个力的分力。 （1）重力或万有引力(下章学习)提供向心力：如下图甲所示，卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由天体间的引力提供。 (2)弹力提供向心力：如图乙所示，物块相对圆筒静止，在竖直圆筒内随圆筒做匀速圆周运动，圆筒对物块的弹力提供向 心力。 (3)静摩擦力提供向心力： 如图丙所示，木块随水平圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供。 (4)某个力的分力提供向心力：如图丁所示，小球在细线拉力作用下，在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，其向心力由细线拉力在水平方向的分力提供。 (5)合力提供向心力：上述几种情况的向心力均是由合力提供的，只不过物体所受的合力的大小等于其中某个力或某个力的分力而已。 特别提示 向心力是效果力，向心力可能是某个力，也可能是几个力的合力，不管何种情形，向心力的方向一定指向圆心，不能认为向心力是某种性质的力。 知识点2：实验：探究向心力与质量、角速度和半径的关系 1． 实验目的 （1）学会使用向心力演示器； （2）通过实验探究向心力与半径、角速度、质量的关系。 2．实验仪器 向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。 3. 实验原理 如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 4． 实验步骤 （1）调整标尺，使两根标尺起点和套筒上口处于同一水平面上，皮带放在第一挡，转速为1∶1的皮带盘处，质量相同的两钢球分别放在两个槽上半径相等的横臂挡板内侧，然后摇动手柄，观察到标尺读数始终相等。 （2）将长槽上钢球由第一挡板内侧移至第二挡板内侧，此时两个质量相同的钢球转动半径之比为2∶1，转动手柄，观察到标尺格数之比为2∶1。 （3）将长槽上的钢球换成铝球，并移至第一挡板内侧，两个金属球质量比为1∶2，转动手柄，观察到标尺格数之比为1∶2。 （4）把皮带放在第二挡，转速之比为2∶1，将长槽上铝球换成钢球，转动手柄，两球角速度之比为2∶1，观察到标尺格数之比为4∶1。 （5）将皮带放在第三挡，转速之比为3∶1，转动手柄，两球角速度之比为3∶1，观察到标尺格数之比为9∶1。 5．实验结论 由步骤(1)及其结果可知，半径、角速度、质量相同时，向心力大小相同； 由步骤(2)及其结果可知，角速度、质量相同时，向心力与半径成正比； 由步骤(3)及其结果可知，半径、角速度相同时，向心力与质量成正比； 由步骤(4)(5)及其结果可知，半径、质量相同时，向心力与角速度的平方成正比。 由以上可推知：Fn＝mω2r。 9.实验拓展 由v＝ωr可知，Fn＝m，故也可以探究Fn与v、m、r的关系，实验方法和思路不变。 注意事项 （1） 将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故，皮带与塔轮之间要拉紧。 （2） 摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个弹簧测力套筒的格数。达到预定格数时，要保持转速恒定。 （3） 实验时，不宜使标尺露出格数太多，以免由于球沿滑槽外移引起较大的误差。 拓展提升：几种常见的匀速圆周运动的向心力 图形 受力情况 力的分解与合成 满足的方程 或，即： 或，即： 或，即： 或，即： ， 知识点3：变速运动和一般的曲线运动 1. 变速圆周运动 (1)定义： 物体沿着圆周运动，它的线速度大小不断改变，这种运动叫作变速圆周运动。 (2)受力特点：变速圆周运动中的物体所受合力并不始终指向圆心。这个力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力和指向圆心方向的分力。 (3)两个分力的作用效果：向心力 F的方向与速度方向垂直改变速度的方向；切向分力的方向与物体的速度方向在一条直线上，改变速度的大小。 【点拨】 当合力F与速度v的夹角小于90°，即切向力和速度v的方向相同时，圆周运动物体的速度增大，如图甲所示；当合力F与速度v的夹角大于90°，即切向力和速度的方向相反时，圆周运动物体的速度减小，如图乙所示。 (4)处理方法： 变速圆周运动中，某一点的向心力可用、等表达式分析，所求是合力指向圆心方向的分力，v、w都是该点的瞬时值。 2. 一般的曲线运动 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动。车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的。 (2) 处理方法： ①将曲线分割成许多很短的小段，每一小段曲线可以看成一小段圆弧，物体在每一小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的。我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度。 ②将物体所受的合力沿切线方向和指向圆心方向分解，沿切线方向的分力改变速度的大小，指向圆心方向的分力改变速度的方向，提供物体做圆周运动所需的向心力，此时可用、等表达式分析解答。 【归纳总结】 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动或一般的曲线运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力特点 合力方向一定指向圆心，提供向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心分力，指向圆心的分力提供向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动(变加速曲线运动) 公式 都适用，但要注意一般曲线运动的瞬时性 题型01 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）(1)用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，用到的实验方法是 。 A．理想实验 B．等效替代法 C．微元法 D．控制变量法 (2)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球分别放在A、C位置，A 、C到塔轮中心的距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右露出的刻度，此时可研究向心力的大小与 的关系。 A．质量m B．角速度ω C．半径r (3)在（2）的实验中， 其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则下列符合实验实际的是 A．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值变小 B．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值不变 C．左右两标尺的示数将变小，两标尺示数的比值变小 D．左右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值变大 【答案】(1)D (2)B (3)B 【详解】（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系时，保持质量m和角速度不变，探究向心力的大小F与半径r；保持质量m和半径r不变，探究向心力的大小F与角速度；保持半径r和角速度不变，探究向心力的大小F与质量m，是采用了控制变量法。 故选D。 （2）图中小球的质量m相同、转动半径r也相同，可知是探究向心力的大小F与角速度的关系。 故选B。 （3）其他条件不变，若增大手柄转动速度，则有两钢球所需的向心力都增大，左右两标尺的示数将变大；可是增大转速前后的角速度之比不变，所以向心力之比不变，即两标尺示数的比值不变。 故选B 【变式1-1】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮1和变速塔轮2匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的弹力提供向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。标尺上红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值，图示为装置实物图和结构简图。 (1)下列实验的实验方法与探究向心力的大小与质量、角速度和半径的关系实验相同的是（　　） A．探究平抛运动的特点 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 (2)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时可以得到的结果是 。 A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比 B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比 C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比 D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比 (3)如下图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①、②分别放在A盘和B盘的边缘， A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，则a轮与b轮的角速度大小之比为 ，钢球①、②受到的向心力之比为 。 【答案】(1)B (2)C (3) 【详解】（1）探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间关系，采用的实验方向是控制变量法。 A．探究平抛运动的特点，采用的是等效思想，故A错误； B．探究加速度与力、质量的关系采用的实验方法是控制变量法，故B正确； C．探究两个互成角度的力的合成规律采用的实验方法是等效替代法，故C错误。 故选B。 （2）根据 AB．可知在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比，向心力的大小与线速度的大小的平方成正比，故AB错误； C．在半径和角速度一定的情况下，心力的大小与质量成正比，故C正确； D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比，故D错误。 故选C。 （3）[1]当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，a、b两轮边缘处的线速度大小相等，根据 可得a轮与b轮的角速度大小之比为 [2]根据 可知钢球①、②受到的向心力之比为 【变式1-2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）某实验小组为探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与物体质量、轨道半径及转速的关系，采用了如图甲所示的实验装置。带孔的滑块套在水平细杆上。通过细杆与固定在转轴上的拉力传感器相连。滑块上固定有转速传感器。细杆可绕转轴做匀速圆周运动。 (1)下列实验用到的物理方法与本实验相同的是___________。 A．伽利略对自由落体的研究 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 (2)若拉力传感器的示数为F，转速传感器的示数为n，保证小滑块的质量、圆周运动的半径不变，实验小组通过改变转速测量出多组数据，作出了图乙所示的图像，该图像是一条直线，则图像横坐标x代表的可能是___________。 A．n B． C． D． (3)经检查分析，实验仪器、操作和读数均没有问题，实验作出的图线不过原点的主要原因可能是 。 【答案】(1)B (2)D (3)滑块受到摩擦力 【详解】（1）实验探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系的实验方法是控制变量法。 A．伽利略对自由落体的研究的实验方法是实验推理法，故A错误； B．探究加速度与力、质量的关系的实验方法是控制变量法，故B正确； C．探究两个互成角度的力的合成规律的实验方法是等效替代法，故C错误。 故选B。 （2）根据向心力与转速的关系有 又 联立解得 可知小明选取的横坐标可能是，故选D。 （3）图像是一条不过原点的直线，图线不过坐标原点的原因是滑块受到摩擦力提供向心力，当转速达到一定时，细杆才出现拉力。 题型02 向心力的理解 【典例2】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供，它是根据力的作用效果命名的 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 【答案】AD 【详解】AB．向心力是由指向圆心方向的合外力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，故A正确，B错误； C．物体做圆周运动就需要向心力，向心力是根据力的作用效果命名的，需由外界提供，而不是物体受到了向心力，故C错误； D．向心力的方向与速度方向垂直，因此不改变速度的大小，只改变速度的方向，故D正确。 故选AD。 【变式2-1】下列关于向心力的叙述中，不正确的是（　　） A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力 B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用 C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小 D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供 【答案】B 【详解】A．向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以是一个变力，故A正确，不符合题意； BD．向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，符合题意，D正确，不符合题意； C．向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确，不符合题意。 故选B。 【变式2-2】下面关于向心力的论述中不正确的是（　　） A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力 B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定要受到一个向心力的作用 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某一个力，也可以是这些力中某几个力的合力 D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢 【答案】B 【详解】A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，方向时刻都在变化，所以是一个变力，故A正确； B．做匀速圆周运动的物体，受到别的物体对它的作用力，这个作用力提供向心力，在受力分析时不能认为物体同时受作用力和向心力，故B错误； C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某一个力，也可以是这些力中某几个力的合力，故C正确； D．向心力方向始终垂直于线速度方向，所以只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢，故D正确。 故选B。 题型03 判断向心力的来源 【典例3】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力（    ） A．由重力和支持力的合力提供 B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供 C．只由重力提供 D．只由支持力提供 【答案】A 【详解】圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。 故选A。 【变式3-1】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（    ） A．物体所受弹力增大，摩擦力增大 B．物体所受弹力不变，摩擦力减小 C．物体所受弹力减小，摩擦力不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 【答案】C 【详解】物体所受弹力提供向心力，当圆筒的转速减小以后，物体所需向心力减小，则弹力减小，但在竖直方向上物体合力为零，所受摩擦力与重力大小始终相等，所以摩擦力不变。 故选C。 【变式3-2】在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图所示。下列判断正确的是(　　) A．A球的速率小于B球的速率 B．A球的角速度大于B球的角速度 C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力 D．A球的转动周期大于B球的转动周期 【答案】D 【分析】小球受到重力和支持力，靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据： 列式分析线速度，角速度，周期的大小。 【详解】先对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力，如图所示， 对A球根据牛顿第二定律： ① ② 对B球根据牛顿第二定律： ③ ④ A．由②④可知，两球所受向心力相等： 因为： 所以： 故A项错误。 B．由于： 因为： 所以： 故B项错误； C．由①③可知，又因为由两球质量相等可得： 由牛顿第三定律知，故C项错误； D．由于： 因为： 所以： 故D项正确。 故选D。 【点睛】 本题解题的关键是知道向心力的来源，灵活运用牛顿第二定律进行求解，灵活选择向心力的公式的形式。 题型04 有关向心力的简单计算 【典例4】过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】过山车恰好经过半径为轨道的最高点，由牛顿第二定律得 解得 以同样速度通过半径为轨道的最高点时 由于，解得 故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式-1】第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在中国北京和张家口举行。如图所示为简化后的雪道示意图，运动员一定的初速度从半径R=10m的圆弧轨道AB末端水平飞出，落在倾角为的斜坡上，已知运动员到B点时对轨道的压力是其重力的5倍，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）运动员到B点时的速度； （2）运动员在斜坡上的落点距B点的距离。 【答案】（1）20m/s；（2）75m 【详解】（1）运动员在B点，有 解得 20m/s （2）根据平抛知识，有 解得 3s 运动员落到斜坡处距B点的距离 【变式4-2】在光滑的水平面上相距40cm的两个钉子A和B，如图所示，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动。若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是（ ） A．0.9πs B．0.8πs C．1.2πs D．1.6πs 【答案】B 【详解】设小球做圆周运动的半径为r时细绳恰好断开，则根据牛顿第二定律有 解得 小球运动的第一个半周的半径为 此后小球每运动半周后，其运动半径减小0.4m，即第二个半周的半径为 第三个半周的半径为 所以小球在运动至第三个半周开始时细绳断开，根据圆周运动规律可知小球运动的第一个半周所经历的时间为 小球运动的第二个半周所经历的时间为 解得从开始到细绳断开所经历的时间是 故选B。 题型05 利用牛顿第二定律求解向心力 【典例5】（22-23高一上·上海金山·期末）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 【答案】（1）；（2）6N；（3）7.5N 【详解】（1）设细绳长为L，由图b可知，在0~6s时间内细绳拉力大小不变，可知 6~10s时间内细绳拉力大小不变，则有 因为 可得 即两钉子间的距离为绳长的。 （2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6s，则有 小球在第二个半圈经历时间为 在时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6N。 （3）小球转第三个半圈的时间 在时，小球转动的半径为 解得细绳的拉力大小为 【变式5-1】如图，一半径为R＝4m的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶（可视为质点），在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道BC，水平滑道BC右端C点与圆盘的圆心O在同一竖直线上，高度差为h＝5m；AB为一竖直平面内的光滑圆弧轨道，半径为r＝1m，且与水平滑道BC相切于B点。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从A点以一定的初速度释放，当滑块经过B点时的速度大小为5m/s，最终滑块由C点水平抛出，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度绕通过圆心的竖直轴匀速转动，滑块恰好落入圆盘边缘E点的小桶内。已知滑块与水平滑道BC间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小为。求： （1）滑块到达B点时对切面的压力大小； （2）水平滑道BC的长度； （3）圆盘转动的角速度应满足的条件。 【答案】（1）7N；（2）2.25m；（3） 【详解】（1）设滑块到达B点时所受切面的支持力大小为FN，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知滑块到达B点时对切面的压力大小为7N。 （2）从C点到E点，滑块做平抛运动的时间为 滑块从C点抛出时的速度大小为 从B点到C点，滑块做匀减速直线运动，加速度大小为 设水平滑道BC的长度为x，根据运动学规律有 解得 x＝2.25m （3）由匀速圆周运动的周期性可得 解得 【变式5-2】如图所示，轻线一端系一质量为的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为、角速度为的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高为的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求： （1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力大小； （2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少。 【答案】（1）；（2）匀速直线运动， 【详解】（1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力提供向心力，大小为 （2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球所受合外力为零，做匀速直线运动；小球沿轨迹切线飞出时的速度大小为 飞出后当小球到圆心的距离变为h+a时细绳被图钉B套住，根据几何关系可知小球的位移大小为 所以从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住所用的时间为 题型06 连接体的圆周运动 【典例6】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，矩形框MNQP竖直放置，其中MP、PQ足够长，且MP杆粗糙、MN杆光滑，轻弹簧一端连接一个穿过MN杆、质量为m的小球a，另一端连接另一个穿过MP杆、质量也为m的小球b。已知框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球b在MP杆的位置不变，且ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（　　） A．小球a的高度更低 B．弹簧弹力的大小相等 C．小球b所受杆的摩擦力更大 D．小球b所受合外力更大 【答案】BD 【详解】AB．对小球a受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，小球在竖直方向有 而 可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球a的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确； CD．以ω匀速转动时，根据题意无法判断小球b所受摩擦力的方向，所以无法判断摩擦力的变化，对小球b，有 r不变，角速度变大，则合外力变大，C错误，D正确。 故选BD。 【变式6-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小可能发生了变化 B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化 C．若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大 D．小球所受合力的大小一定发生了变化 【答案】D 【详解】A．由于小球相对于杆的位置不变，故弹簧的形变量不变，根据胡克定律可知弹簧的弹力大小不变，故A错误； B．小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如图所示，当角速度较小时，此时杆对小球的弹力向外，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度较大时，此时杆对小球的弹力向里，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度合适时，杆对小球弹力的大小相同，故B错误； C．若金属框的角速度较小，杆对小球的弹力方向垂直于杆向外，如图所示，在水平方向上，由牛顿第二定律得 Fsinα-FN=mω2r 则得 FN=Fsinα-mω2rω变大，其它量不变，则FN变小，由牛顿第三定律知小球对杆压力的大小变小，故C错误； D．小球所受合外力的大小 F合=Fn=mω2rω变化时，其它量不变，则F合一定发生变化，故D正确。 故选D。 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如图所示，一上表面距地面高为、半径为的水平圆盘上放置质量分别为、的A和B两个物体，用长为的轻绳连接，A物体在转轴位置上，B在圆盘边缘。当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，、两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看做质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B．轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为 C．B物体落到水平地面的位置到竖直轴的距离为 D．B物体落地时的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，由牛顿第二定律得 将，、、代入以上两式可得 轻绳拉力大小 故A错误，B正确； C．轻绳突然断裂，B物体做平抛运动，有 所以B物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为 故C正确； D．B物体落地时的速度大小为 故D错误。 故选BC。 题型07 圆周圆周运动的临界问题 【典例7】（多选）（24-25高三上·山西长治·阶段练习）如图，两质量相等的小物块P和Q放在水平转盘上，它们与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍。P与竖直转轴的距离为d，连接P、Q的细线长也为d，且P、Q与转盘中心三者共线，初始时，细线恰好伸直但无张力。现让该装置开始绕轴转动，在圆盘的角速度缓慢增大的过程中，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　） A．当时，绳子一定无弹力 B．当时，P、Q相对于转盘会滑动 C．当时，P受到的摩擦力随的增大而变大 D．当时，Q受到的摩擦力随的增大而变大 【答案】AC 【详解】A．开始转动时圆盘的角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，因为两木块角速度、质量都相同，根据向心力公式可知，Q先达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律得，，解得，因此当时，绳子一定无弹力，A正确； B．角速度继续增大，绳子出现拉力，Q受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，P的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，P、Q相对于转盘开始滑动，根据牛顿第二定律，对P有 对Q有 联立解得 因此当时，P、Q相对于转盘会发生滑动，B错误； C．当时，P相对转盘是静止的，受到的摩擦力为静摩擦力，根据牛顿第二定律有 ，当增大时,静摩擦力也增大，C正确； D．当时，绳子出现拉力，Q所受静摩擦力达到最大值且保持不变，D错误。 故选AC。 【变式7-1】（多选）（24-25高三上·四川广安·期中）如图所示，水平转台上有一个质量为m的小物块，用长为L的轻细绳将物块连接在通过转台中心的转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为θ，系统静止时细绳绷直但张力为零。物块与转台间动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。物块随转台由静止开始缓慢加速转动，在物块离开转台前（　　） A．物块对转台的压力大小等于物块的重力 B．物块受转台的静摩擦力方向始终指向转轴 C．绳中刚出现拉力时，转台的角速度为 D．物块能在转台上随转台一起转动的最大角速度为 【答案】CD 【详解】A．物块受重力、支持力、摩擦力、绳的拉力，静止时，物块对转台的压力大小等于物块的重力，随着缓慢加速转动，绳的拉力增加，物块受到的支持力减小，则物块对转台的压力小于物块的重力，故A错误； B．由题可知，物体做加速圆周运动，所以开始时物体受到的摩擦力必定有一部分的分力沿轨迹的切线方向，故B错误； C．当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时，则，解得，故C正确； D．随速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，则，解得，故D正确。 故选CD。 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，竖直杆在、两点通过光滑铰链连接两等长轻杆和，和与竖直方向的夹角均为，轻杆长均为，在处固定一质量为的小球，重力加速度为，在装置绕竖直杆转动的角速度从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是（　　） A．当时，杆和杆对球的作用力都表现为拉力 B．杆对球的作用力先增大后减小 C．一定时间后，杆与杆上的力的大小之差恒定 D．当时，杆对球的作用力不为0 【答案】C 【详解】A．当时，由于小球在水平方向受力平衡，因此杆对小球的作用力表现为拉力，杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，选项A错误； BD．当逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大，杆对小球的支持力逐渐减小，当杆的作用力为0时，有 解得 当继续增大时，杆对小球的拉力继续增大，杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，选项BD错误； C．一定时间后，杆和杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即，则 因此杆与杆上的力的大小之差恒定，选项C正确。 故选C。 【基础练·强化巩固】 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）如图所示是用来“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”的向心力演示仪。图中两个相同的钢球到各自转轴的距离相等，由此可推测出是在研究向心力的大小F与下列哪个物理量的关系（　　） A．质量m B．半径r C．角速度ω D．向心加速度a 【答案】C 【详解】根据题意可知两个小球的质量相等 ，且到各自转轴的距离相等，根据可知是研究向心力的大小F与角速度ω的关系。 故选C。 2．旋转篮球是每个篮球爱好者都会努力提升的一种技能。如图，半径约为13cm的篮球在某同学的手指上旋转，测得篮球上的一个小泥点在1min内随篮球旋转的圈数为60，由此可估算的物理量是（　　） A．小泥点的线速度大小 B．篮球旋转的角速度大小 C．小泥点的向心加速度大小 D．小泥点做圆周运动的向心力大小 【答案】B 【详解】B．篮球旋转的角速度为 所以B正确； ACD．小泥点随篮球旋转，其圆周运动的轨道半径等于泥点到转轴的距离，由于题目中没有该数据，所以小泥点的线速度大小、向心加速度大小和向心力大小均无法估算，ACD错误。 故选B。 3．如图所示，圆盘在水平面内绕竖直中心轴匀速转动，圆盘上P点有一小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止。下列说法正确的是（　　） A．小物体仅受重力作用 B．小物体仅受重力、支持力作用 C．小物体受重力、支持力和向心力作用 D．小物体受重力、支持力和静摩擦力作用 【答案】D 【详解】小物体随水平面内圆盘一起转动且相对圆盘静止，可知小物体在竖直方向受力平衡，即受到重力和圆盘对小物体的支持力；在水平方向，由小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止可知，小物体受圆盘的静摩擦力作用，此力提供小物体随圆盘一起转动的向心力，因此小物体受重力、支持力和静摩擦力作用，ABC错误，D正确。 故选D。 4．下课后，小丽在运动场上荡秋千，如右图所示。已知每根系秋千的绳子长为4m，小丽的质量为40kg，当秋干板摆到最低点时，速度为3m/s。问此时每根绳子的拉力是多少？（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（　　） A．490N B．245N C．400N D．310N 【答案】B 【详解】以秋千板在最低点时进行受力分析，设每根绳子的拉力为T，则 代入数据解得T=245N，故B正确。 故选B。 5．一箱土豆在水平转盘上随转盘以角速度做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m，它到转轴的距离为R，重力加速度为g，则其他土豆对该土豆的作用力为（　　） A．mg B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，土豆随着水平转盘做匀速圆周运动，土豆所受合力提供向心力，即 对土豆受力分析可知，除受本身重力之外。还受其他土豆的作用力，根据平行四边形法则可得 故ABD错误C正确。 故选C。 6．（23-24高一下·四川德阳·期末）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，2023年5月29日8时25分，C919大型客机平稳降落成都天府国际机场，开启常态化商业运行.C919是中国航空工业取得的重大历史突破，也是中国创新驱动战略的重大时代成果.如图所示，C919正在空中沿半径为r的水平圆周做匀速盘旋，飞行速率为，重力加速度大小为g，则飞机受到的升力为自身重力的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】飞机受力分析如图所示： 合外力作为向心力 由勾股定理可知飞机受到的升力为 故选C。 7．如图所示，在绕中心轴转动的圆筒内壁上，有两物体A、B靠在一起随圆筒转动，在圆筒的角速度均匀增大的过程中，两物体相对圆筒始终保持静止，下列说法中正确的是（　　） A．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对B的摩擦力逐渐增大 B．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A的弹力逐渐减小 C．在此过程中，A、B之间可能存在弹力 D．在此过程中，圆筒对A一定有竖直向上的摩擦力 【答案】C 【详解】A．在圆筒的角速度逐渐增大的过程中，物体的水平方向受到切向摩擦力使物体做加速运动，因圆筒角速度是均匀增大，则切向加速度大小不变，故摩擦力在切线方向的分力大小不变，在竖直方向上摩擦力的分力与重力大小相等，方向相反，所以沿竖直方向的分力不变，所以圆筒对B的摩擦力不变，故A错误； B．在圆筒的角速度逐渐增大的过程中，由向心力公式知，角速度增大，则圆筒对A的弹力逐渐增大，故B错误； C．A、B组成的整体受重力、圆筒内壁的弹力和静摩擦力，指向圆心的合力提供向心力，可知弹力提供向心力。在竖直方向整体受到的摩擦力与二者的重力大小相等，方向相反，A与B之间可能存在弹力，也可能没有弹力，故C正确； D．在竖直方向上，物体没有加速度，则静摩擦力与重力平衡，该摩擦力的方向竖直向上，还有切向摩擦力，所以物体所受摩擦力方向不沿竖直方向，故D错误。 故选C。 8．甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示，已知两人的质量m甲＞m乙，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．甲、乙的角速度大小相等 C．甲、乙的轨迹半径相等 D．甲受到的向心力比较大 【答案】B 【详解】A．甲、乙两名溜冰运动员角速度相同，根据公式v=ωr，由于转动半径不同，故线速度不相等，故A错误； B．甲、乙两名溜冰运动员做匀速圆周运动，是共轴转动，角速度相同，故B正确； CD．弹簧测力计对甲、乙两名运动员的拉力提供向心力，则向心力相等，根据牛顿第二定律得 m甲R甲ω2=m乙R乙ω2 解得 已知m甲＞m乙，所以乙做圆周运动的半径较大，故CD错误。 故选B。 9．（17-18高一·河北邢台·课后作业）在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为0.4 kg，小球开始以2 m／s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4 N，则从开始运动到绳拉断历时为（    ） A．2.4π s B．1.4π s C．1.2π s D．0.9π s 【答案】C 【详解】小球做匀速圆周运动时，由绳子的拉力充当向心力，当绳断裂时，有 Fn＝＝4N 即 r=0.4m 小球每转半圈，长度减小d=20cm，所以小球转的半圈的圈数是 第一个半圆所用时间为 第二个半圆所用时间为 第三个半圆所用时间为 故所用时间为 t=t1+t2+t3=1.2π s ABD错误，C正确。 故选C。 【拓展练·培优拔高】 10．如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的线速度为 B．该盒子做匀速圆周运动的周期为 C．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为2mg D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg 【答案】CD 【详解】A．盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力，此时对球，重力提供向心力，有 则该盒子做匀速圆周运动的线速度为 所以A错误； B．盒子做匀速圆周运动的周期为 所以B错误； C．盒子经过最低点C时，对球，支持力与重力的合力提供向心力，有 解得 所以C正确； D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，球受到盒子左壁的水平向右的压力Fx提供向心力，有 根据牛顿第三定律，小球对盒子左壁的压力大小为 所以D正确。 故选CD。 11．如图所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两个小球用原长为l0的轻弹簧连接在一起，再用长为l1的细线拴在轴O上，使m1和m2都以相同的角速度ω绕轴O做匀速圆周运动，并保证m1、m2、O点三者始终在同一条直线上。若m1、m2两球之间的距离为l2，则下列说法正确的是（　　） A．m1的向心力由细线拉力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供 B．弹簧的劲度系数为 C．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为 D．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．m1的向心力由细线拉力和弹簧弹力的合力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供，故A错误； B．设弹簧的劲度系数为k，对m2根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； CD．烧断细线的瞬间，细线对m1的拉力突变为0，而弹簧对m1的弹力不发生突变，所以根据牛顿第二定律可得m1的加速度为 故C错误，D正确。 故选BD。 12．如图所示，放于水平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球收到3个力的作用，则ω可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为圆环光滑，所以小球受到重力mg、环对球的弹力N、绳子的拉力T，因此绳处于伸直状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动 根据几何关系 因此当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，当时角速度最小 解得 当绳子拉力达到时，此时角速度最大 解得 故选BC。 【名师点睛】本题主要考查了圆周运动向心力公式的应用以及同学们受力分析的能力，要求同学们能找出临界状态并结合几何关系解题，难度适中。 13．（23-24高一下·浙江温州·期末）某学习小组利用如图所示的装置“探究向心力大小的表达式”实验，所用向心力演示器如图（a）所示，待选小球是质量均为2m的球1、球2和质量为m的球3，标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小。图（b）是演示器部分原理示意图，其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.6倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮⑤的半径是轮④的0.8倍，轮⑥的半径是轮④的0.5倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。 (1)在探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径之间的关系时我们主要用到了物理学中的（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．演绎法 (2)若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1:4，则塔轮1和塔轮2转动的角速度之比为 。 (3)利用此装置探究向心力与角速度之间的关系，某同学测出数据后作图，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是（　　） A． B． C． D． (4)若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连则是在研究向心力的大小F与 的关系。 A．转动半径r B．质量m C．角速度ω D．线速度v (5)若将球1、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄时标尺1和标尺2示数的比值为1:4，则可判断与皮带连接的变速塔轮为（　　） A．①和④ B．②和⑤ C．③和⑥ D．③和④ 【答案】(1)C (2)1:2 (3)D (4)A (5)C 【详解】（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中的控制变量法，即研究向心力的大小F与质量m的关系时，需要保证角速度ω和半径r不变。 故选C。 （2）若两个钢球的质量和运动半径相等，图中标尺上黑白相间的等分格显示出A、C位置两钢球所受向心力的比值为1:4，即 则塔轮1和塔轮2转动的角速度之比为 （3）根据 可知，为了能简单明了地观察出向心力与角速度的关系，最适合做的图像是F-ω2。 故选D。 （4）若将球1、2分别放在挡板B、C位置，将皮带与轮①和轮④相连，两个小球的质量相等，角速度相等，是在研究向心力的大小F与转动半径r的关系。 故选A。 （5）若将球1、3分别放在挡板B、C位置，可知转动半径之比为2:1，质量之比为2:1，标尺1和标尺2的比值即向心力大小为1:4，根据 可知转动的角速度之比为1:4，根据可知与皮带连接的变速塔轮③和⑥。 故选C。 14．质量的小球被细线拴住，此时线长，当拉力为时细线就会被拉断。小球从图示位置由静止释放，达到最低位置时速度。在最低位置时小球距离水平地面的高度，求：（重力加速度g取，cos 37°=0.8，sin 37°=0.6） （1）当时，求小球运动到最低点时细线上的拉力； （2）改变角的大小和细线的长度，使小球恰好在最低点时，细线断裂，小球落地点到地面上P点的距离最大时，求细线的长度L。（P点在悬点的正下方） 【答案】（1）14N；（2）2.75m 【详解】（1）设β=37°时，小球运动到最低点时细线上的拉力大小为F1，由牛顿第二定律得    ① 由题意并代入数据解得    ② （2）根据（1）题分析可知，当小球质量一定时，小球运动到最低点时对细线的拉力大小只与β有关，设当β=β1时细线恰好断裂，则有 ③    ④ 细线断裂后小球做平抛运动，设经时间t小球落地，则小球的水平位移大小为    ⑤ 竖直位移大小为    ⑥ 联立③④⑤⑥可得 ⑦ 根据数学知识可知当时x有最大值。 15．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l1的细线与A球相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端栓在竖直轴上，如图所示．当球A、B均以角速度ω绕OO'做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2． (1)此时弹簧伸长量多大？细线拉力多大？ (2)将细线突然烧断瞬间两球加速度各多大？ 【答案】（1）（2）； 【详解】(1)B球只受弹簧弹力，设弹伸长，满足 则弹簧伸长量 A球受细线拉力和弹簧弹力F，做匀速圆周运动，满足 细线拉力 (2)细线烧断瞬间， A球加速度 B球加速度 ． 【名师点睛】B球绕OO′做匀速圆周运动，靠弹簧的弹力提供向心力，求出弹簧的弹力，根据胡克定律即可得出弹簧的伸长量．A球在水平方向上受绳子的拉力和弹簧的弹力，两个力合力提供A球做圆周运动的向心力，从而求出绳子的拉力．绳子突然烧断的瞬间，绳子拉力立即消失，弹簧的弹力来不及发生变化，根据牛顿第二定律分别求出两球的合力，从而得出两球的加速度 16．如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的A．B，球A距轴O的距离为L.现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动.当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，求： （1）此时球B对轻杆的作用力； （2）此时A．B两球的速度大小. 【答案】（1）3mg；（2）； 【详解】（1）球B运动到最高点时，设转动的角速度为ω，则 对A球 TA-mg=mω2L 对球B TB+mg=mω22L 由题意可知 TA=TB 则可得 TB=3mg        （2）由牛顿第三定律得 TB’=TB=3mg 方向竖直向上 此时A球的速度大小为 此时B球的速度大小为 17．如图所示，“┏”形框架的水平细杆OM和竖直细杆ON均光滑，质量分别为m、3m金属环a、b用长为l的轻质细线连接，分别套在水平细杆和竖直细杆上，水平细杆离地高度为2.5l，a环在水平外力作用下，静止在水平杆末端M处，且θ=37°，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求线上的张力T； （2）若撤去a环上的水平拉力，让整个装置绕ON匀速转动，使细线与水平杆间夹角仍为37°，求此时装置转动的角速度； （3）在第2问的情景下，突然线断开，求当a环落地时，a、b环之间的距离s（两环落地后不反弹）。 【答案】（1）5mg；（2）；（3） 【详解】（1）对b环根据平衡条件可得 解得 （2）使细线与水平杆间夹角仍为37°，说明此时线上张力不变，对a根据牛顿第二定律有 解得 （3）在（2）情境下，a环的线速度大小为 线断开后，a环沿线速度方向飞出做平抛运动，下落时间为 水平位移大小为 当a环落地时，a、b环之间的距离为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$