圆锥曲线与方程 专题训练-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（   ） A． B． C．3 D．2 8．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 二、多选题 9．已知椭圆的左右焦点分别为，（异于左右顶点）为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为定值 B．的面积的最大值为 C．为锐角 D．直线与圆相交 10．过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，为右焦点，连接，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 11．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．直线的斜率满足 D． 三、填空题 12．已知椭圆的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 . 13．已知双曲线的右焦点为，斜率大于的直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同的两点，，若，则直线的斜率为 ． 14．如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 15．已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 16．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 17．在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 18．已知抛物线的焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点.抛物线在点处的切线为直线，过点作平行于直线的直线交抛物线于点.设点. (1)求证：成等差数列； (2)求的面积的最小值. 19．双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆.    (1)求椭圆的方程； (2)且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点.证明：，，三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆锥曲线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B A A C ABC ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 2．D 【分析】由双曲线的定义得，去绝对值求解即可. 【详解】由双曲线的定义及标准方程可知：，即， 解得或（舍去）. 故选：D. 3．A 【分析】易知当为短轴端点时取得最大值，即此时，分情况讨论当椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解. 【详解】 由已知当点运动到短轴的端点时，取最大值，此时， 当时，椭圆的长轴在轴上，如图1所示， 令，， 由，可知， 则，则，即； 当时，椭圆的长轴在轴上， 如图2所示，令，， 由，可知， 则，则，即； 综上所述，， 故选：A． 4．B 【分析】根据，结合抛物线定义可得点的坐标，进而确定直线斜率. 【详解】由题意可知焦点，准线为直线， 设点， 由，即，得， 所以直线的斜率， 故选：B. 5．B 【分析】由椭圆的性质求出焦距，再由三角形的面积公式求出，进而由斜率的定义求出点坐标，然后由两点间距离公式求出得到，最后由离心率的定义求出即可； 【详解】是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点， ，则，，， 的面积为，即 所以． 又直线的斜率为．解得， 所以点， 则，， 所以，即， 所以． 故选：B． 6．A 【分析】联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案. 【详解】将直线代入双曲线有，则， 由题设，易知，故，则渐近线为. 故选：A 7．A 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，    设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为， 在中，由余弦定理得：， 由椭圆和双曲线定义可得：，，， 令， 当时，    ，即 由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为. 故选：A. 8．C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 9．ABC 【分析】根据题意得定义易判断A项；结合图形判断点的纵坐标最大值即可判断B项；利用余弦定理和基本不等式求得的范围即可判断C项；对于D项，利用圆心到直线的距离公式，结合椭圆上的点的横坐标的范围即可判断直线与圆的位置关系即得. 【详解】 对于A，如图，由题意的定义可得：，， 则的周长为：是定值，故A正确； 对于B，因点为椭圆上的动点，故点的纵坐标最大值为， 则的面积为， 即的面积的最大值为，故B正确； 对于C，不妨设，,则， 由余弦定理，， 因，当且仅当时，等号成立， 故得，又，故得，故C正确； 对于D，因圆的圆心到直线的距离（*）， 而，即得，代入（*），可得：， 因，故得，即直线与圆相切或相离，故D错误. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 不妨设点在第一象限，分别为，的中点， 则为的中位线，即,即，故B正确； 由双曲线的定义得，则，故C错误； ，故A正确； ，故D正确； 故选：ABD 11．BCD 【分析】根据已知条件设出直线方程，直曲联立结合韦达定理得：，将选项涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判断即可. 【详解】设抛物线方程为，焦点为， 过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为， 设直线方程为，直线与抛物线联立有：， 整理有：，根据韦达定理有：， 所以， 所以； 因为，根据焦点弦的性质可知，， 所以A错误，B正确； 因为，，所以， 所以，所以C正确； 因为，， 所以，所以D正确. 故选：BCD 12． 【分析】根据椭圆通径、焦距及等边三角形的性质结合离心率的定义计算即可. 【详解】不妨设，则，, 又为等边三角形，则， 即， 解之得，负根舍去. 故答案为：. 13． 【分析】设直线方程，联立直线与双曲线，根据，结合根与系数关系可得解. 【详解】由双曲线的渐近线为， 可得直线，直线斜率为， 将直线代入双曲线的方程中得到， 令，， 由， 且，， 则， 又，， 可得，解得， 即直线的斜率为， 故答案为：. 14． 【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，可得，再利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率. 【详解】由题可知关于原点对称，所以， 又在双曲线上，所以， 则， 所以， 即， ∴由，① 连接，可得， 可得，② 由①②联立可得，即，所以离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，从而得到. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. 【详解】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点点距离即可求解， （2）联立直线与抛物线方程，可得点的坐标，根据向量垂直的坐标关系即可求解垂直，进而可求解. 【详解】（1）由题意知， 由轴，知，， 由，知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立得， 解得，. 设，， 由，在抛物线上知，. 又，， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆. 17．(1) (2) 【分析】（1）设点，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）设点， 因为直线的斜率之积是， ，化简得：， 即动点的轨迹方程为：. （2）设， 线段的中点为， ，则， 由题可得，， 两式求差化简得：，即， 直线的方程为， 联立，消去得， ，且， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，再利用弦长公式求解. 18．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到,即可证明； （2）结合（1）得，表达出，利用基本不等式求出最小值，从而得到面积最小值. 【详解】（1）    如图所示，由题意得，准线方程为，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 因为，即，则，直线的斜率为， 设过点作平行于直线的直线为，则直线的方程为， 即，联立，得， 因为直线与抛物线交于，根据韦达定理可得，故成等差数列. （2）不妨设，过向直线作平行于轴的直线交直线于， 由 可得，故, 根据直线的方程， 当时，， 故， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故的面积最小值为16. 19．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，写出直线和的方程，再相乘得，结合点在双曲线上即可得到椭圆方程； （2）设，直线的斜率为，写出相关直线方程，再联立椭圆方程，解出，计算相关斜率得，再利用点差法得，则，即证明三点共线. 【详解】（1），设， 设为曲线上任意一点，则，， 则直线的方程：① 直线的方程：② 由①②得， 在双曲线上，， ， 椭圆的方程为. （2）设，直线的斜率为， 则直线，直线， 联立，得，其中， ，同理， ， ， 设， ，两式作差得， ，， 三点共线. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过设点法，得到相关直线方程，再联立椭圆方程得到相关点横坐标，再计算证明得即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$