2025年九年级中考数学一轮专题复习 二次函数 课件

二次函数 一轮中考数学复习 知识框架 试着判断下列函数中，哪些是二次函数？并把剩下的分类！ 你能将上面是二次函数的式子化成一般式吗？ 将一般式化成顶点式吗？ 二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=0 直线x=0 （0,c） 当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. （0,c） 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 抛物线 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 开口方向 向上(a>0) 向下(a<0) 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 (h,k) (h,k) 增减性 x<h时，y随x的增大而减小； x>h时，y随x的增大而增大。 x<h时，y随x的增大而增大； x>h时，y随x的增大而减小。 最值 当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k 开口大小 |a|越大，开口越小 |a|越大，开口越大 函数 y=ax2+bx+c（a≠0） a>0 a<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 x< 时，y随x的增大而减小； x> 时，y随x的增大而增大。 x< 时，y随x的增大而增大； x> 时，y随x的增大而减小。 最值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 二次函数y=ax2+bx+c的函数图像 向上 向下 若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 已知k是常数，抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点。 （1）求k的值 （2）若点p在抛物线上，且p到y轴的距离是2，求点p的坐标。 知识点1：二次函数的定义 定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠ 0）的函数叫做 x 的二次函数. 提示： （1）关于 x 的代数式一定是整式，a，b，c 为常数，且a≠0. （2）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 练习1：下列函数中，哪些是二次函数？ 练习2：若y=(2-m) 是二次函数,则m等于________. 知识框架 知识点2：二次函数的图象与性质 （一）抛物线 y = ax²(a≠0) 的图象特点 y = ax²(a≠0) y = ax²+k (a≠0) 上下移动 上加下减 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 a>0 (对称轴)左减右增 a<0 (对称轴)左增右减 （二）抛物线 y = ax²+k (a≠0) 的图象特点 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 a>0 (对称轴)左减右增 a<0 (对称轴)左增右减 y = ax²(a≠0) y = a(x-h)²(a≠0) 左右移动 左加右减 （三）抛物线 y = a(x-h)²( a≠0 )的图象特点 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 a>0 (对称轴)左减右增 a<0 (对称轴)左增右减 （四）抛物线 y = a(x-h)² +k (a≠0) 的图象特点 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 a>0 (对称轴)左减右增 a<0 (对称轴)左增右减 （五）二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 的图象和性质 （六）抛物线的平移 1.平移关系 2.变化规律 上加下减 左加右减 左右变，x加减 上下变，整体加减 知识框架 知识点3：二次函数解析式的三种表示方式 知识点4.二次函数的实际应用 1.最大利润问题 例1 某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元.旅行社对超过30 人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低 10 元.你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 2.最大高度问题 3. 最大面积问题 例3 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15 m，如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大？ 例4 如图小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为 1 米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）.花圃的宽 AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 例5 如图，一位运动员在距篮筐下 4 m 处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是 2.5 m 时，球达到最大高度 3.5 m，已知篮筐中心到地面的距离 3.05 m，问球出手时离地面多高时才能投中. 4.建立坐标系 知识点5. 二次函数与一元二次方程 1.与x轴交点 2.与y=m 交点 典例解析 【例1】已知抛物线y=x2-4x+3 （1）抛物线开口向_____，化为顶点式为____________. （2）抛物线的对称轴为直线__________. （3）抛物线的顶点坐标为_________. （4）该二次函数有最_____值，为______. （5）抛物线与y轴的交点坐标为___________，与x轴的交点坐标为__________________. （6）将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后解析式为_____________. （7）当-2≤x≤5时，y的最大值为______，最小值为_____________. 上 y=(x-2)2-1 x=2 (2，-1) 小 -1 (0，3) (3，0)或(1，0) y=(x+1)2+1 15 -1 a=1＞0 y=x2-4x+3 =x2-4x +3 +4 -4 令y=0 y=(x-2 )2-1 +3 +2 【例2】已知抛物线顶点为(3，2)，经过点(2，-1). 求抛物线的解析式； 解：∵抛物线顶点为(3，2)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+2. 将点(2，-1)代入y=a(x-3)2+2， 解得a=-3， ∴抛物线解析式为y=-3(x-3)2+2. 典例解析 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (1)a＜0，b＞0，c＞0. (3)2a+b＜0. (2)b2-4ac＞0. (4)a+b+c=n. (5)a+2b+4c＞0. (6)对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立. (7)关于x的方程：ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根. 典例解析 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (1)a＜0，b＞0，c＞0. √ 开口向下 方法凝练：对称轴左同右异 典例解析 (0,c) 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (2)b2-4ac＞0. 图象与x轴有两个交点 √ 方法凝练： 图象与x轴有两个交点 b2-4ac > 0 图象与x轴有一个交点 b2-4ac =0 图象与x轴没有交点 b2-4ac ＜0 典例解析 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (3)2a+b＜0. 方法凝练：对于只有两个字母a,b的式子，要看对称轴 × 典例解析 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (4)a+b+c=n. (5)a+2b+4c＞0. 令x=1，则y=a+b+c=n. 方法凝练：对于有三个字母的式子，要看特殊点 √ √ 典例解析 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (6)对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立. (7)关于x的方程：ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根. +c +c 令x=1，则ymax=a+b+c=n. 令x=m，则y=am2+bm+c. y=n-1 √ √ 方法凝练：比较式子的大小，要看最值和增减性 典例解析 a+b+c≥am2+bm+c. 【例4】如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的一边为xm， 则平行于墙的一边为(60-2x)m. ∴S=x(60-2x)=-2x2+60x 60-2x ∵0＜60-2x≤32 ∴14≤x＜32 ∵a=-2＜0，∴S有最大值 当x= =15时，Smax=450m2. 答：当长为30m，宽为15m时，面积最大，为450m2. 典例解析 【例5】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，涨价多少元才能使利润最大？ 涨价销售 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 典例解析 【例5】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，涨价多少元才能使利润最大？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. ∵a=-10＜0，∴y有最大值. 典例解析 总结归纳 二次函数的定义 二次函数的图象与性质 二次函数的应用 二次函数与一元二次方程的关系 最大面积 最大利润 y=ax²+bx+c (a≠ 0) 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 求最值方法： ①配方法； ②公式法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 自主尝试 1.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标为( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3) 2.已知点A(1，y1),B(2，y2)在抛物线 y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是( ) A.2＞y1＞y2 B.2＞y2＞y1 C.y1＞y2 ＞2 D.y2＞y1＞2 3.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点，则n的值为( ). A.-2 B.-4 C.2 D.4 4.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,其图象如图所示,现有下列结论: ①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0, ④a+b>n(an+b)(n≠1),⑤2c<3b.正确的是(　　) A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 自主尝试 6.有长为24m的篱笆,一边利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成如图所示的矩形花圃ABCD,设花圃边AB=xm,面积为Sm2. (1)写出S与x之间的关系式,并指出x的取值范围; (2)当AB,BC分别为多少米时,花圃面积最大?最大面积为多少? 自主尝试 自主尝试 答案： 1-5. AABBD 6. 再 见 课后作业 基础作业： 课堂精练《复习学案》（除加强案） 提高作业： 课堂精练《复习学案》加强案 $$