2025年中考数学一轮复习授课教案：等腰三角形

序号：______ 科 目 任教班级 授课时间 课 题 等腰三角形 课型 复习 学科素养目标 1.了解等腰三角形的概念； 2.理解并掌握等腰三角形的性质定理与判定定理； 3.理解并掌握等腰三角形的性质定理与判定定理； 4.理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理. 单元教学分析 重点：等腰三角形有关的概念、性质和判定。 难点：综合运用等腰三角形有关性质解决问题。 创新设计 利用数形结合的方法引导学生掌握等腰三角形的相关性质，并创设情境，选择与生活实际相联系的题目，引导学生发挥主体作用，逐步掌握解题方法。 教学活动过程 二次备课 热身小练 1．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交，于，两点，连接.若 ， ，则的度数为________. 【答案】 2．[2022·宿迁]若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是____________________________. 【答案】 或 3．[2023·重庆]如图，在中，，是边的中线.若，，则的长度为____. 第4题图 【答案】4 考点梳理 考点1 线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点并且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 判定 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 考点2 等腰三角形 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）; （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合（简称为“三线合一”） 判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”） 考点3 等边三角形 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形 性质 （1）等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形的每一个角都等于  ； （3）“三线合一” 判定 （1）各边或角都相等的三角形是等边三角形; （2）有一个角等于  的等腰三角形是等边三角形 面积 典型例题例1【方法提炼】特别要注意的是先有等腰三角形再有“三线合一”. 【例1】如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，. （1） 求的长； （2） 求证：为等腰三角形. 【答案】 （1） 解：是边 上的中线， . ，为 的中位线， ； （2） 证明：，，. ，， . ，， 为等腰三角形. 【变式1】 如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点. （1） 若 ，求的度数； （2） 求证：. 【答案】例2【方法提炼】等边三角形的特性如下：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法.一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想办法获取一个 的角判定. （1） 解：，. ， . ， ， ， ， ； （2） 证明：平分， . ，， ，. 【例2】 如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，. （1） 试判定的形状，并说明理由； （2） 若，求的周长. 【答案】 （1） 解：是等边三角形.理由如下： 是等边三角形， . ，， ， ， 为等边三角形； （2） 平分，， ，， ，. 同理可证， 的周长. 【变式2】 如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点. （1） 求的度数； （2） 若，求，的长. 【答案】 （1） 解：是等边三角形， . ， . ， ， ； （2） ， ， 是等边三角形， . ， ， ，. 【例3】 [2023·岳阳]如图1，在中，，点，分别为边，的中点，连接． 图1 图2 初步尝试： （1） 与的数量关系是______________，与的位置关系是____________． 特例研讨： （2） 如图2，若 ，，先将绕点顺时针旋转 为锐角，得到，当点，，在同一直线上时，与相交于点，连接． ① 求的度数； ② 求的长． 【答案】（1），点，分别为边，的中点， 是 的中位线，，.故答案为：，. （2） ① 解：如图，连接，. 是 的中位线， ， . 将 绕点 顺时针旋转 为锐角，得到， ，， . 点，，在同一直线上， . 在 中，是斜边 的中点， ， ， 是等边三角形， ，即旋转角 ， ，， 是等边三角形. 又，， ， ， ， ； ② 如图，连接. ， ,， ， . ， ， ， . 设，则. 在 中， ，, ，. 在 中，， ， 解得,（舍去）， ． 【变式3】 [2024·浙江]如图，，分别是边，的中点，连接，.若,，则的长为____. 【答案】4 ※【例4】 如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速运动，动点的速度是，动点的速度是，当动点到达点时，，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： （1） 当为何值时，是直角三角形？ （2） 是否存在某一时刻，使线段把分成两部分的面积比为？如果存在，求出相应的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】 （1） 解： 等边 的边长为， , ． 动点,同时从,两点出发，分别沿,方向匀速运动，动点 的速度是，动点 的速度是， 时，,， ． 当 是直角三角形时，有两种情况： ①当 时， 如图: , ， ， 即，解得； ②当 时， 如图： ，， 即，解得. 综上所述,当 或 时，是直角三角形； （2） 存在.理由如下：由（1）及已知可得 时，，， ． 以 从 至 用时， P以 从 至 用时， ，即当 到达点 时，始终在 边上． 如图,作 于点． ， , ， . 等边 边长为， ． 当线段 把 分成两部分的面积比为 时， 分两种情况： ①当 时， ， 整理，得， 解得（舍）或; ②当 时， ， 整理，得. ， 方程无解． 综上所述,存在某一时刻 使线段 把 分成两部分的面积比为，此时． 链接中考 1．[2024·赤峰]等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 【答案】C 2．[2024·自贡]如图，等边钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， ,则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3．[2023·遂宁]如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点.若，，，则的长为____. 【答案】5 4．[2024·山东]如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与,相交于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线.分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，.若， ，则点到的距离为______. 第4题图 【答案】 5．[2024·江西]追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）. （1） 如图1，在中，平分，交于点，过点作的平行线，交于点，请判断的形状，并说明理由. 图1 方法应用： （2） 如图2，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点. 图2 ① 图中一定是等腰三角形的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ② 已知，，求的长. 【答案】 （1） 解：是等腰三角形.理由如下： 平分，. ，， ，， 是等腰三角形. （2） ① B ② 在 中，，， ，. 由①得 是等腰三角形， ，. 板书设计 第二十二课时 等腰三角形 知识网络 等腰三角形的性质及判定 等边三角形的性质及判定 作业设计与布置 教学评价与反思 学科网（北京）股份有限公司 $$