1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用空间向量研究空间角问题 册 别：选择性必修1 学 科：数学（人民教育出版社） 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 复习 一、用向量求两异面直线的夹角 解：①化为向量问题 ②进行向量运算 ③回到图形问题 一、用向量求两异面直线的夹角 另解：①基向量的确定 一、用向量求异面直线所成的角 则 思考：以上我们用向量解决了异面直线 AM 和 CN 所成角的问题，你能用向量方法求直线 AB 和平面 BCD 所成的角吗？ 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角 二、用向量求直线与平面角 三、用向量求两个平面的夹角 三、用向量求两个平面的夹角 解：①化为向量问题 ②进行向量运算 ③回到图形问题 一、用向量求异面直线所成的角 二、用向量求直线与平面角 三、用向量求两个平面的夹角 向量方法解决几何问题的基本步骤：几何问题→向量问题→向量运算→几何解释 应用：在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)PA，O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为________。 解析　以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝eq \f(\r(14),2)a，eq \o(OD,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)a，0，\f(\r(14),4)a))，可求得平面PBC的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\r(\f(1,7))))，所以cos〈eq \o(OD,\s\up15(→))，n〉＝eq \f(\o(OD,\s\up15(→))·n,|\o(OD,\s\up15(→))||n|)＝eq \f(\r(210),30)，设eq \o(OD,\s\up15(→))与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝eq \f(\r(210),30)。 $$