1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用空间向量研究距离问题 册 别：选择性必修1 学 科：高中数学（人教版A版） 前面我们研究了直线、平面的平行、垂直关系 距离问题 方向向量 法向量 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 两点间的距离 向量的模 点 直线 面 l u Q P 设=，直线l的单位方向向量为， 则=(),由勾股定理，得 PQ= A 追问1：问题中的几何要素，如何用向量来表示？ 探究1：已知一条直线l和直线lP求点P到直线l的距离. 追问2：如何将这些条件与线段PQ联系起来？ l2 A u Q P 类比点到直线的距离的求法，求两条平行直线之间的距离？ l1 设=，则=(),由勾股定理，得 PQ= 在l1上取定一点P，l2上取一点A 找l1或l2的方向向量 P A Q 追问1：类比一个点和一个方向确定一条直线，确定一个平面的条件是什么？ 追问2：类比求点到直线的距离，如何利用向量投影求点到平面的距离？ 探究2：类比点到直线的距离，可以推导点到平面的距离公式吗？ P A PQ= = Q 第一步：确定平面的法向量 第二步：选择“参考向量”； 第三步：确定“参考向量”向法向量的投影向量; 第四步：求投影向量的模长，得到 探究2：类比点到直线的距离，大家可以推导点到平面的距离公式吗？ 1、点到线的距离 2、点到面的距离 PQ= PQ= = l A u Q P P A Q 追问：点到平面的距离公式与点到直线的距离公式区别在哪里？ 为什么会有这样的区别？ 类比点到平面的距离的求法，请探究如何求直线与平面的距离，以及两个平行平面的距离？ P A Q 过P作平面𝛼的垂线l，交平面𝛼于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面𝛼的距离就是直线l上的投影向量为长度.因此， PQ= = 在上取定一点P，上取一点A，找的法向量 l 例6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线FC到平面AEC1的距离. C z D A B D1 A1 C1 x y B1 F E 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离. 解：以D1为原点，D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1), B(1,1,1), C(0,1,1), C1(0,1,0)，E(1,,0), F(1,,1)所以 （1）取= ， =则=1, = .所以，点B到直线的距离为 (0,1,0)， (-1,1,-1)，(0,,0)， (-1,,0)， ， (0,,0)， = C z D A B D1 A1 C1 x y B1 F E C z D A B D1 A1 C1 x y B1 F E （2）因为//(-1,,0) ，所以// ，所以//平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 取=1，则=1,=2, 所以， . 设平面的法向量为，则， 所以, 化简， C z D A B D1 A1 C1 x y B1 F E 又因为 (0,,0)，所以点F到平面的距离为 = 即直线FC到平面的距离为 追问：结合例6，回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结出用向量法解决立体几何问题的基本步骤吗？ 三 步 曲 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 课堂小结： 回顾这节课的学习，回答如下问题： （1）在推导点到直线、点到平面的距离公式的过程中，最关键的步骤是什么？对此你有什么体会？ （2）用向量方法解决几何问题的基本步骤是怎样的？ $$