5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 函数（三角函数第11课时） 教学目标 1. 了解函数的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模索养; 2. 掌握参数,,对函数图象的影响，理解参数,,在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养. 教学重点： 1.用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程； 2.参数,,对函数图象的影响，以及函数图象的变换过程. 教学难点： 1.建立简车运动模型，研究参数,,对函数图象的影响； 2.从正弦曲线经过图象变换得到函数的图象。 教学过程 1、 创设情景 提出问题 通过前面的学习，我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可以用三角函数加以刻画，对于一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型来刻画呢？我们先来看一个生活中的数学模型。 问题 筒车是我国发明的一种水利灌溉工具 ，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 2、 抽象简化 构建模型 因为盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。 思考 与盛水桶运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 如果将筒车抽象成一个圆，盛水桶抽象成这个圆上的点，设经过 s后，盛水桶从点运动到点。则盛水桶距离水面的高度由以下量所决定： 筒车转轮的中心O到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水桶的初始位置以及所经过的时间。以O为坐标原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系。设t=0时，盛水桶M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P（x,y）。 OP为终边的角为：，由三角函数的定义， 得： 盛水筒距离水面的相对高度H与时间t的关系是： 。 这就是我们要建立的函数模型，由于是常量，我们可以只研究函数的性质。 上面通过筒车运动的研究，我们得到了形如的函数，如果是匀速圆周运动，那么参数,,分别表示什么含义？所以我们不妨先研究,的情况。 3、 确定研究思路 前面我们从筒车运动这个实际问题出发，抽象转化出了一个数学问题，然后根据数学 问题的特点引入构建了一类形如的三角函数，体会了数学建模的过程。 类比前面我们研究指数函数、对数函数的过程，对于这类新函数，我们接下来该研究什么？显然，这类函数由参数,,所确定，只要了解这些参数的意义，就能把握这个函数的性质。 从解析式上看，函数就是函数在,, 时的特殊情形. （1） 能否借助我们熟悉的函数的图象与性质研究参数,,对函数的影响？ （2） 函数中含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 回顾初中对二次函数图象的研究过程.先令，取特 殊值，研究对函数图象的影响；再令取特殊值，研究对函数图象的影响;最后，类似地，研究对函数图象的影响. 我们可以采用控制变量法，先固定其中两个参数，让第三个参数变化，这样依次研究参 数,,对函数图象的影响，再进行归纳整合。 4、 探索参数对函数图象的影响 1.探索参数对函数图象的影响 不妨，取,,动点M在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动。 问题1:（1）取不同的值表示什么含义？请结合筒车说明； （2）如果动点M以为起点（此时），经过s后运动到点P，那么点P的纵坐标y是多少？以（x,y)为坐标的点F的轨迹对应的解析式是什么？ （3） 在单位圆上拖动起点,使点绕点旋转到，让动点M以为起点，以单位角速度按逆时针方向运动到点P，需要多长时间？对应函数图象上点G的坐标是多少？ （4） 上面我们找到了两个函数图象上任意两点的变化，那么如何从的图象得 到函数的图象？ 如果起点绕点旋转，对应的图象又该如何变换？ 追问：根据上面的研究，你能得到参数对函数图象影响的一般化结论吗？ 结论 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y=sin(x+φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到y=sin(x+φ)的图象. 2.探索参数对函数图象的影响 问题2:当参数变化时，对函数的图象有什么影响？类比参数的研究过程，你计划怎样进行研究？ （1）取不同的值表示什么含义？请结合筒车说明； （2）不妨设，当时，如果动点M以为起点，经过s后运动到点P，那 么当时，动点M运动到点P需要的时间是多少？对应函数图象上点K的坐标是多少？ （3） 上面我们找到了两个函数图象上任意两点的变化，那么如何从的图象得到函数的图象？ 总结 把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到了函数的图象.函数的周期为π，是 的周期的. 如果取，对应的函数图象又该如何变化？ 追问：根据上面的研究，你能得到参数对函数图象影响的一般化结论吗？ 结论 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的周期是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 3.探索参数对函数图象的影响 问题3:当参数变化时，对函数的图象有什么影响？类比参数与的研究过程，你计划怎样进行研究？ （1）取不同的值表示什么含义？请结合筒车说明； （2）不妨设，当时，如果动点M以为起点，经过s后运动到 点P，那么当时，动点M以为起点，经过s后运动到点T，对应函数图象上点N的坐标是多少？ （3） 上面我们找到了两个函数图象上任意两点的变化，那么如何从的图象得到函数的图象？ 说一说：如果取，对应的函数图象又该如何变换？ 追问：根据上面的研究，你能得到参数对函数图象影响的一般化结论吗？ 结论 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以看作是把 y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍（横坐标不变）而得到.函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是，最大值是A,最小值是-A. 五、学以致用 练习：已知函数y=3sin（x+π/5）的图象为C. (1)要得到C，只要把函数y=3sinx的图象上所有的点（ B ） （A）向右平行移动π/5个单位长度 （B）向左平行移动π/5个单位长度 （C）向右平行移动2π/5个单位长度 （D）向左平行移动2π/5个单位长度 （2）为了得到函数y=3sin（2x+π/5）的图象，只要把C 上所有的点（B ）. （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的1/2，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的1/2，横坐标不变 六、课堂小结 本节课我们研究了什么问题？ 研究路径是怎样的？ 学科网（北京）股份有限公司 $$