5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程． 2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式． 3． 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的 变换的常用方法． 4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。 教学过程 一、探索新知 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系 不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知， 与重合，从而， 所以AP＝ 根据两点间的距离公式，得 +=+， 化简得: =+ 当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有 =+ （Ｃ（α－β）） 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β). 【设计意图】通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 二、小用新知 例１ 利用公式证明： （１）= ; （２）= ． 例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值． 【设计意图】通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 三、深入新知 由公式 出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 为基础来推导其他公式 ． 例如 ， 比较 与 ，并注意到 α ＋ β 与 之间的联系 ：＝则由公式 ， 有=＝+= 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ． =． 问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： ＝ ，（ S（α ＋ β ） ） ＝ ; （ S（α － β ） ） 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示 ， 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： T(α + β ) T(α β ) 和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ． 类似地 ， Ｓ(α－β ) ， Ｃ(α－β ) ， Ｔ(α－β )都叫做 差角公式 ． 【设计意图】通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 例3. 已知，，求的值 ． 例4. 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ： （1）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ; （2） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （3） ; 【设计意图】通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【设计意图】通过倍角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【设计意图】通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 四、课堂小结 1、知识清单：(1)公式的推导；(2)给角求值、给值求值、给值求角；(3)公式的正用、逆用、变形用 2、方法归纳：构造法、转化法 3、常见误区：求角时忽视角的范围 【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 学科网（北京）股份有限公司 $$