5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 正弦函数、余弦函数的图像 教学目标 1． 了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2． 会求正、余弦型函数、，（其中为常数，且）的周期. 3． 掌握、的奇偶性，会判断简单正、余弦型函数的奇偶性. 4． 体会数形结合的思想和建模的过程，感受数学规律之美. 教学重点: 正、余弦函数主要性质（周期性、奇偶性）；研究函数图象与性质的一般思路与方法. 教学难点: 周期函数、（最小正）周期的意义. 教学过程 一、问题引入 【问题一】类比之前所学指数函数、对数函数，本节课我们可以研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 定义域、值域、单调性、最值、奇偶性 二、新知探究 （一）探究一：周期性 【问题二 】回忆下我们是如何作正弦函数的图象的？ 每隔2𝑘𝜋(k∈Z)，周而复始重复出现！ 【问题三 】如何用代数描述以上“周而复始”的现象？ 诱导公式： 当时， 当时， 当时， 当时， …… 【问题四】请阅读教科书回答下列问题：书上是如何用数学的语言来描述“周而复始”的现象的？ 数学上，我们用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律！ 一般地，设函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，如果存在一个非零常数𝑇,使得对每一个𝑥∈𝐷都有𝑥+𝑇∈𝐷，且𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)，那么函数𝑓(𝑥)就叫做周期函数.非零常数𝑇叫做这个函数的周期. 思考： 那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？ 当时，. 【问题五】正弦函数𝑦=sin𝑥的周期是多少？ 周期：𝑇=2𝐾𝜋, (𝑘∈𝒁) 思考：k取不同的值，周期T也发生变化， 都是它的周期吗？，满足，是正弦函数的周期. ，满足，是正弦函数的周期. ，满足，是正弦函数的周期. 都是它的周期！ 【问题六】对任意的周期函数，如果是周期，那么是否还是它的周期呢？ 周期 ∴ ∴ ∴ . 一个函数的周期不唯一，可以是正数，也可以是负数. 【问题七】在正弦函数的周期不唯一，是否存在一个最小的正数？ 正弦函数的周期是2𝑘π(𝑘∈Z且𝑘≠0)，当𝑘=1时得到最小的正数为2π. 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 【问题八】余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小正周期. 余弦函数也是周期函数，2𝑘𝜋(𝑘∈𝐙且𝑘≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 探究二：正弦函数、余弦函数的其他性质 【问题九】知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 正弦函数 余弦函数 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域为R ∴ 为奇函数 定义域为R ∴ 为偶函数. 正弦函数 余弦函数 对称轴 对称中心 【问题十】观察正弦函数图象，找出在内的对称轴和对称中心. 对称轴,对称中心 【问题十】观察正弦函数图象，找出在内的单调区间. 单调 单调 三、巩固应用 例1 求下列函数的最小正周期： （1） （2） 例2 求函数的最小正周期与单调区间. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$