第十二章定义 命题 证明 习题课件2024-2025学年苏科版数学七年级下册

第12章　 定义 命题 证明 12.2　命题 基础过关全练 知识点1　命题 1.下列语句:①等角的补角相等;②过一点作已知直线的垂线; ③线段AB=5吗?④不许大声喧哗!其中命题有 (　    ) A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个 A 方法归纳　判断一个语句是不是命题,关键是看这个语句是 否对某件事情作出了肯定或否定的判断.命题通常是肯定句 或否定句,祈使句、疑问句都不是命题. 解析　①等角的补角相等,是命题;②没有作出判断,不是命 题;③是疑问句,不是命题;④是祈使句,未作判断,不是命题,故 选A. 2.下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?是命题的,请先将 它改写为“如果……,那么……”的形式,再指出命题的条件 和结论. (1)同号两数的和一定不是负数. (2)若x=2,则10-5x=0. (3)延长线段AB至点C,使B是AC的中点. (4)互为倒数的两个数的积为1. 解析    (1)是命题.改写为“如果两个数同号,那么这两个数 的和一定不是负数”.条件是两个数同号,结论是这两个数的 和一定不是负数. (2)是命题.改写为“如果x=2,那么10-5x=0”.条件是x=2,结论 是10-5x=0. (3)不是命题. (4)是命题.改写为“如果两个数互为倒数,那么这两个数的 积为1”.条件是两个数互为倒数,结论是这两个数的积为1. 知识点2　真命题和假命题 3.下列命题是真命题的是 (　    ) A.两直线平行,同旁内角相等 B.若方程3x+2ym-2=5是二元一次方程,则m=2 C.若 满足方程组 则a+b的值是0.5 D.如果a>b,那么a2>b2 C 解析　两直线平行,同旁内角互补,故A选项是假命题;若方程 3x+2ym-2=5是二元一次方程,则m-2=1,所以m=3,故B选项是假 命题;将 代入 得 ①+②得4a+4 b=2,所以a+b=0.5,故C选项是真命题;当a=0时,如果a>b,那么a 2<b2,故D选项是假命题.故选C. 4.(教材变式)下列命题的条件是什么?结论是什么?并判断命 题的真假. (1)如果∠A=∠B,∠B=∠C,那么∠A=∠C. (2)同角的余角相等. 解析    (1)如果∠A=∠B,∠B=∠C,那么∠A=∠C,条件是∠A= ∠B,∠B=∠C,结论是∠A=∠C,是真命题. (2)同角的余角相等,条件是两个角是同角的余角,结论是这 两个角相等,是真命题. 知识点3　原命题和逆命题 5.(教材变式)已知命题:如果a=b,那么|a|=|b|,该命题的逆命题 是 (　    ) A.如果a=b,那么|a|=|b| B.如果|a|=|b|,那么a=b C.如果a≠b,那么|a|≠|b| D.如果|a|≠|b|,那么a≠b B 解析　已知命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|,所以它的逆命题 中的题设是|a|=|b|,结论是a=b,故选B. 6.(2022上海中考改编)下列说法正确的是(　    ) A.命题一定有逆命题 B.真命题的逆命题一定是假命题 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 A 解析　命题一定有逆命题,故A选项说法正确.真命题的逆命 题不一定是假命题,也不一定是真命题,故B、C选项说法错 误.假命题的逆命题不一定是假命题,故D选项说法错误.故选A. 7.下列各命题的逆命题成立的是 (　    ) A.对顶角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是90°,那么这两个角相等 C 解析    A.逆命题为“相等的两个角是对顶角”,逆命题不成 立;B.逆命题为“如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相 等”,逆命题不成立;C.逆命题是“同位角相等,两直线平 行”,逆命题成立;D.逆命题为“如果两个角相等,那么这两 个角都是90°”,逆命题不成立.故选C. 8.下列句子是命题吗?若是,把它改写成“如果……,那么… …”的形式,并写出它的逆命题,同时判断原命题和逆命题的 真假. (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度? (2)垂线段最短,对吗? (3)等角的补角相等. (4)两条直线相交只有一个交点. (5)同旁内角互补. (6)邻补角的角平分线互相垂直. 解析　对一件事情作出判断的句子是命题,因为(1)(2)是问 句,所以(1)(2)中句子不是命题,其余4个都是命题. (3)如果两个角相等,那么它们的补角相等,该命题是真命题; 逆命题:如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,该命题 是真命题. (4)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,该命题是真 命题; 逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么这两条直线相交, 该命题是真命题. (5)如果两个角是同旁内角,那么它们互补,该命题是假命题; 逆命题:如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角,该命题 是假命题. (6)如果两条射线是一组邻补角的角平分线,那么它们互相垂 直,该命题是真命题; 逆命题:如果两条射线垂直,那么这两条射线是邻补角的角平 分线,该命题是假命题. 能力提升全练 9.(2024江苏南通通州期中,7,★★☆)ax+by=1(a,b是常数,且 ab≠0)是关于x,y的二元一次方程,若命题① 是方程ax+ by=1的解;②b>0;③a= b;④ 是方程ax+by=1的解中只 有一个假命题,则该假命题是 (　    ) A.①　　　    B.②　　　    C.③　　　    D.④ D 解析　若① 是方程ax+by=1的解;④ 是方程ax+by=1的解都是真命题,则 解得 此时b<0,a=- b, 所以②b>0;③a= b都是假命题,与四个命题中只有一个假命 题矛盾,所以①和④中有一个是假命题; 设①是假命题,则②③④是真命题,所以-2a-5b=1,a= b,所以b =- <0,与②b>0是真命题矛盾,所以④是假命题.故选D. 10.(2024江苏盐城射阳月考,20,★☆☆)写出下列命题的逆命 题,并判断此逆命题的真假. (1)如果a>0,b<0,那么ab<0. (2)两直线平行,同旁内角互补. 解析    (1)逆命题:如果ab<0,那么a>0,b<0,是假命题. (2)逆命题:同旁内角互补,两直线平行,是真命题. 素养探究全练 11.(推理能力)【阅读材料】如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题互为逆命题; 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否 定和结论的否定,那么这两个命题互为否命题;如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否 定,那么这两个命题互为逆否命题.例如:命题“若a>0且b>0, 则ab>0”的逆命题为“若ab>0,则a>0且b>0”,否命题为 “若a≤0或b≤0,则ab≤0”,逆否命题为“若ab≤0,则a≤0 或b≤0”. 根据以上材料解决下面的问题: 【尝试运用】写出命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的 逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 解析　逆命题:若a+b是偶数,则a,b都是奇数.该命题为假命 题. 否命题:若a,b不都是奇数,则a+b不是偶数.该命题为假命题. 逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.该命题为真命 题. 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$ 第12章　 定义 命题 证明 12.3　证明 基础过关全练 知识点1　推理说明的必要性 1.下列选项中用到推理的是 (　    ) A.根据a=10 cm,b=10 cm,得a=b B.观察得到了五边形有五个内角 C.老师告诉了我们关于古长城的许多故事 D.由公理知道过两个点有且只有一条直线 A 解析　推理是一种思维形式,通过已知的判断推导出新的结 论.A选项,由a=10 cm,b=10 cm,得到a=b,故A符合题意;B、C 选项只是叙述事实,不是推理,故B、C不符合题意;D没有推 理过程,故D不符合题意.故选A. 2.(教材变式)先观察,再验证: (1)图①中的条线是直的还是弯曲的? (2)图②中两条线a与b哪一条更长? (3)图③中的直线AB与直线CD平行吗?             解析　观察可能得出的结论:(1)题图①中的实线是弯曲的. (2)a更长一些.(3)AB与CD不平行.(答案不唯一) 用科学的方法验证可发现:(1)题图①中的实线是直的.(2)a与 b一样长.(3)AB与CD平行. 方法解读　俗话说“眼见为实”,在我们日常生活中,经常通 过眼睛去观察,但是单纯用眼睛去观察,容易受到客观条件的 制约,所以眼见不一定为实,还需要去检验. 知识点2　证明 3.(2024江苏南京期中)如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠3. (1)求证:AB∥CD. (2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3,求∠DEA的度数.   解析    (1)证明:∵∠1+∠2=180°,∴DE∥AC, ∴∠A=∠DEB, ∵∠A=∠3,∴∠3=∠DEB, ∴AB∥CD. (2)∵AB∥CD,∴∠BDC+∠B=180°, ∵∠B=78°,∠BDE=2∠3,∴2∠3+∠3+78°=180°, ∴∠3=34°, ∵AB∥CD,∴∠3+∠DEA=180°,∴∠DEA=146°. 4.图1、图2中两个大圆大小相同,图1中的大圆内有10个小 圆,图2中的大圆内有2个小圆,你认为图1中大圆内的10个小 圆的周长之和与图2中大圆内的2个小圆的周长之和哪一个 大?请你猜一猜,并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.        解析　一样大.理由如下: 设大圆的直径为d,则题图1中大圆内的10个小圆的直径均为  ,题图2中大圆内的2个小圆的直径均为 . 则题图1中大圆内的10个小圆的周长之和为10×π× =πd, 题图2中大圆内的2个小圆的周长之和为2×π× =πd, 所以题图1中大圆内的10个小圆的周长之和与题图2中大圆 内的2个小圆的周长之和一样大. 5.写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程. 命题:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平 行. 已知:如图,　　　　    . 求证:　　　　　　    . 证明:　　　　　　    . 解析　原命题改写为:在同一平面内,如果两条直线垂直于同 一条直线,那么这两条直线平行. 已知:如图,AB⊥EF,垂足为B,CD⊥EF,垂足为D. 求证:AB∥CD. 证明:∵AB⊥EF,CD⊥EF, ∴∠ABD=∠CDF=90°, ∴AB∥CD. 6.(教材变式)小力说:“对于代数式x2-4x+4.5,无论x取何值,该 代数式的值恒大于0.”小力的说法正确吗?为什么? 解析　正确.理由如下: x2-4x+4.5=x2-4x+4+0.5=(x-2)2+0.5, ∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+0.5≥0.5, ∴无论x取何值,x2-4x+4.5恒大于0, ∴小力的说法正确. 7.(新独家原创)证明:邻补角的角平分线互相垂直. 解析　已知:如图,AB,CD相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC, ∠AOD. 求证:OE⊥OF.   证明:∵OE,OF分别平分∠AOC,∠AOD,(已知) ∴∠AOE= ∠AOC,∠AOF= ∠AOD(角平分线的定义), ∴∠AOE+∠AOF= ∠AOC+ ∠AOD= (∠AOC+∠AOD)= 90°, ∴OE⊥OF(垂直的定义). 能力提升全练 8.(2022湖南长沙雨花调研,15,★★☆)甲:“我没有钱.”乙: “丙有钱.”丙:“丁有钱.”丁:“我没有钱.”若四个人里面 只有一个人说了真话且只有一个人有钱,则　　　    有钱. 甲 解析　他们4人中只有一人说了真话,由于丙与丁两人说的 话相互矛盾,所以丙与丁两个人必有一人说真话,一人说假 话.如果丙说的是真话,那么丁说的就是假话,则丁有钱,这样 甲说的就是真话,与题意不符;如果丁说的是真话,那么丙说 的就是假话,丁没有钱,甲和乙说的是假话,则甲有钱,故答案 为甲. 9.(2024江苏镇江丹徒期末,22,★★☆)如图,四边形ABCD中, 点E、F分别在CD、BC上,∠1=∠ABC,∠2+∠A=180°. (1)判断AD与BE的位置关系,并说明理由. (2)若∠1=80°,BE平分∠ABC,且BE⊥CD,求∠CEF的度数.   解析    (1)AD∥BE,理由如下: ∵∠1=∠ABC, ∴AB∥EF, ∴∠ABE=∠2, ∵∠2+∠A=180°, ∴∠ABE+∠A=180°, ∴AD∥BE. (2)∵∠ABC=∠1=80°,BE平分∠ABC, ∴∠ABE= ∠ABC=40°. ∵AB∥EF,∴∠2=∠ABE=40°, ∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°, ∴∠CEF=90°-40°=50°. 素养探究全练 10.(运算能力)【发现】 若一个整数的个位数字能被5整除,则这个整数就能被5整除. 【验证】 如:因为345=100×3+10×4+5, 100和10都能被5整除,5能被5整除, 所以100×3+10×4+5能被5整除, 即345能被5整除. (1)请你照着上面的例子验证343不能被5整除. (2)把一个千位是a、百位是b、十位是c、个位是d的四位数 记为 .请照例说明:只有d等于5或0时,四位数 才能被 5整除. 【迁移】 (3)设 是一个三位数,试说明:当a+b+c能被3整除时, 能 被3整除. 解析    (1)因为343=100×3+10×4+3, 100和10都能被5整除,3不能被5整除, 所以100×3+10×4+3不能被5整除, 即343不能被5整除. (2)因为 =1 000a+100b+10c+d, 1 000和100和10都能被5整除, 所以只有当d能被5整除时,1 000a+100b+10c+d能被5整除, 所以只有d等于5或0时,四位数 才能被5整除. (3)因为 =100a+10b+c, =(99+1)a+(9+1)b+c =(99a+9b)+(a+b+c) =3(33a+3b)+(a+b+c), 因为3(33a+3b)能被3整除, 所以当a+b+c能被3整除时, 能被3整除. 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$第12章 定义 命题 证明 12.4 定理 第1课时 三角形内角和定理及其推论 基础过关全练 知识点1 定理、推论 1.下列说法错误的是 ( ) A.命题不一定是定理,但定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理 C 解析 一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫 作定理,故C中说法错误,故选C. 2.同位角相等,两直线平行是 ( ) A.定义 B.题设 C.定理 D.假命题 C 知识点2 三角形内角和定理 3.(2024湖南长沙中考)如图,在 ABC中,∠BAC=60 ,∠B=50 , AD∥BC,则∠1的度数为 ( )   A.50 B.60 C.70 D.80 C 解析 ∵∠BAC=60 ,∠B=50 , ∴∠C=180 -∠BAC-∠B=180 -60 -50 =70 , ∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70 .故选C. 4.(2023四川遂宁中考)若三角形三个内角度数的比为1∶2∶ 3,则这个三角形是 三角形. 直角 解析 设这个三角形最小的内角度数是x,则另外两个内角 的度数分别为2x,3x. 根据题意,得x+2x+3x=180 ,解得x=30 . 所以3x=3 30 =90 , 所以这个三角形是直角三角形.故答案为直角. 知识点3 三角形内角和定理的推论 5.(2023山东日照中考)在数学活动课上,小明同学将含30 角 的直角三角尺的一个顶点按如图所示的方式放置在直尺上, 测得∠1=23 ,则∠2的度数是 ( )   A.23 B.53 C.60 D.67 B 解析 如图.   ∵AB∥CD,∴∠2=∠FHG. 又∵∠1+∠E=∠FHG, ∴∠2=∠1+∠E=23 +30 =53 .故选B. 6.(2024江苏盐城盐都二模)将一副三角尺按如图所示的方式 摆放,则∠1的度数为 . 105 解析 如图所示:   ∵∠2=∠3+∠4,∠3=45 ,∠4=30 , ∴∠2=75 , ∵∠1+∠2=180 , ∴∠1=105 . 7.(一题多变)如图,已知 ABC,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB. 求证:∠P=90 + ∠A.   解析 证明 在 ABC中,∠ABC+∠ACB=180 -∠A. ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180 -∠A)=90 -∠A, ∴∠P=180 -(∠PBC+∠PCB)=90 + ∠A. [变式1](内外型)如图,在 ABC中,BP平分∠ABC,CP平分 ABC的外角∠ACE.猜想∠P和∠A有何数量关系,并证明你的 结论.   解析 ∠P= ∠A. 证明:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACE, ∴∠PBC= ∠ABC,∠PCE= ∠ACE. ∵∠PCE是 BPC的外角,∴∠PCE=∠PBC+∠P, ∴ ∠ACE= ∠ABC+∠P, ∵∠ACE是 ABC的外角,∴∠ACE=∠ABC+∠A, ∴ ∠ACE= ∠ABC+ ∠A,∴∠P= ∠A. [变式2](外外型)如图,BP,CP分别平分 ABC的外角∠CBF, ∠BCE.猜想∠P和∠A有何数量关系,请证明你的结论.   解析 ∠P=90 - ∠A. 证明:∵BP平分∠CBF,CP平分∠BCE,∠P+∠PBC+∠PCB=180 , ∴∠P=180 -(∠PBC+∠PCB) =180 - (∠CBF+∠BCE) =180 - (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC) =180 - (∠A+180 ) =90 - ∠A. 能力提升全练 8.(2024天津中考,10, )如图,Rt ABC中,∠C=90 ,∠B= 40 ,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点 F,再分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧(所 在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP,与 BC相交于点D,则∠ADC的大小为 ( ) A.60 B.65 C.70 D.75 B 解析 ∵∠C=90 ,∠B=40 , ∴∠BAC=90 -∠B=90 -40 =50 , 由作图知,AP平分∠BAC, ∴∠BAD= ∠BAC=  50 =25 , ∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∴∠ADC=40 +25 =65 . 故选B. 9.(2024江苏南京期末,6, )如图,两面镜子AB,BC的夹角 为∠ ,当光线经过镜子后反射,∠1=∠2,∠3=∠4.若∠ =70 , 则∠ 的度数是 ( ) A.30 B.35 C.40 D.45 C 解析 如图, 由题意得∠5=180 -(∠1+∠2)=180 -2∠2, ∠6=180 -(∠3+∠4)=180 -2∠3, ∵∠ =70 ,∴∠2+∠3=180 -∠ =110 , ∵∠ =180 -(∠5+∠6), ∴∠ =180 -(180 -2∠2+180 -2∠3) =2(∠2+∠3)-180 =2 110 -180 =40 . 故选C. 10.(2023广东深圳中考,7, )如图所示的为商场某品牌 椅子及其侧面示意图,∠DEF=120 ,DE与地面平行,∠ABD=5 0 ,则∠ACB= ( )     A.70 B.65 C.60 D.50 A 解析 ∵DE∥AB,∠ABD=50 , ∴∠D=∠ABD=50 . ∵∠DEF=120 ,且∠DEF是 DCE的外角, ∴∠DCE=∠DEF-∠D=70 , ∴∠ACB=∠DCE=70 . 故选A. 11.(“燕尾”模型)(2024江苏盐城盐都月考,12, )在社会实践手工课上,小茗同学设计了如图所示的一个零件,如果∠A=52 ,∠B=25 ,∠C=30 ,∠D=35 ,∠E=72 ,那么∠F= . 70 解析 连接AD,连接AE并延长到点M,连接AF并延长到点N, 如图所示.   ∵∠BEM是 ABE的外角, ∴∠BEM=∠BAE+∠B. 同理可得∠DEM=∠DAE+∠ADE,∠DFN=∠DAF+∠ADF, ∠CFN=∠CAF+∠C, ∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C, 即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠EDF+∠C, ∴72 +∠CFD=52 +25 +35 +30 , ∴∠CFD=70 . 故答案为70. 方法解读 “燕尾”模型:如图所示,①根据三角形外角的性 质可得,∠BOC=∠B+∠A+∠C ,常运用此关系求角的度数或 推理;②根据三角形三边的关系,可得AB+AC>BO+CO,常运 用此关系比较线段的大小.   素养探究全练 12.(推理能力)(“8字”模型)(2024江苏南京期末) 【初步认识】 (1)如图①,线段AB,CD相交于点O,连接AD,BC. 求证:∠A+∠D=∠B+∠C. 【继续探索】 (2)如图②,∠A=m ,∠C=n ,∠ABC,∠ADC的平分线BP、DP 相交于点P. (i)若m=40,n=32,求∠P的度数; (ii)∠P的度数为 (用含m、n的式子表示). (3)如图③,∠ABC,∠ADC的平分线BP,DP相交于点P,∠DAB, ∠DCB的平分线AQ,CQ相交于点Q.若∠P=∠Q,判断AD与 BC的位置关系并说明理由.       解析 (1)证明:在 AOD中,∠A+∠D+∠AOD=180 , ∴∠A+∠D=180 -∠AOD. 在 BOC中,∠B+∠C+∠BOC=180 , ∴∠B+∠C=180 -∠BOC. ∵∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠B+∠C. (2)(i)由题意,结合(1)可得, ∠A+∠ADC=∠ABC+∠C, ∠A+∠ADP=∠P+∠ABP. ∵BP平分∠ABC,DP平分∠ADC, ∴∠ADP= ∠ADC,∠ABP= ∠ABC, ∴∠A+ ∠ADC=∠P+ ∠ABC, ∴2∠A+∠ADC=2∠P+∠ABC. 又∠A+∠ADC=∠ABC+∠C, ∴∠A=2∠P-∠C, ∴∠P= . 又∠A=40 ,∠C=32 , ∴∠P= =36 . (ii)由(i)知∠P= , 又∠A=m ,∠C=n ,∴∠P= . 故答案为 . (3)AD∥BC.理由如下: 根据(2)(i)可得∠P= , 同理可得∠Q= . 又∠P=∠Q, ∴ = , ∴∠DAB+∠DCB=∠ABC+∠ADC. 又∠DAB+∠ADC=∠DCB+∠ABC, ∴2∠DAB+∠DCB+∠ADC=2∠ABC+∠DCB+∠ADC, ∴∠DAB=∠ABC, ∴AD∥BC. 第12章 定义 命题 证明 12.4 定理 第2课时 多边形内角和定理和 多边形外角和定理 基础过关全练 知识点4 多边形内角和定理 1.(2024四川乐山中考)下列多边形中,内角和最小的是 ( )         A 解析 三角形的内角和为180 ,四边形的内角和为(4-2) 180 =360 ,五边形的内角和为(5-2) 180 =540 ,六边形的内角和为(6-2) 180 =720 , ∵180<360<540<720, ∴在三角形、四边形、五边形和六边形中,内角和最小的是 三角形.故选A. 2.(2024内蒙古包头中考)若一个n边形的内角和是900 ,则n= . 7 解析 由题意得(n-2) 180 =900 ,解得n=7. 3.(情境题 生命安全与健康)(新独家原创)如图,某一河边的警 示牌的牌面为正六边形,该正六边形的每个内角的度数是 . 120 解析 六边形的内角和为180 (6-2)=720 .因为正多边形每 个内角度数相等,所以该正六边形每个内角的度数是720 6 =120 .故答案为120 . 4.(教材变式)如图,在五边形ABCDE中,∠C、∠D、∠E的和 为360 ,试判断AE与BC的位置关系,并说明理由.   解析 AE∥BC.理由如下:因为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180 (5-2)=540 ,∠C、∠D、∠E的和为360 , 所以∠A+∠B=540 -360 =180 , 所以AE∥BC. 知识点5 多边形外角和定理 5.(2024四川资阳中考)已知一个多边形的每个外角都等于60 , 则该多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 C 解析 ∵任意多边形的外角和都是360 , 这个多边形的每个外角都等于60 , ∴该多边形的边数是360 60 =6.故选C. 6.(教材变式)在一个多边形中,小于108 的内角最多有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 解析 与小于108 的内角相邻的外角大于或等于72 , 360 72 =5,故小于108 的内角最多有4个. 故选C. 7.(2024江苏无锡锡山月考)若一个多边形的内角和与外角和 相等,则这个多边形的边数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 B 解析 设多边形的边数为n,根据题意,得(n-2) 180 =360 ,解 得n=4. 故选B. 8.已知一个多边形所有的内角与该多边形的一个外角的和 等于2 011 . (1)求这个外角的度数. (2)求这个多边形的边数. 解析 (1)因为一个多边形的所有内角与该多边形的一个外 角的和等于2 011 ,2 011 180 =11……31 ,所以这个多边形的外角的度数是31 . (2)由(1)知该多边形的内角和=2 011 -31 =1 980 ,设该多边 形的边数为n,则(n-2) 180 =1 980 ,解得n=13. 故该多边形的边数为13. 能力提升全练 9.(2024四川遂宁中考,6, )佩佩在“黄娥古镇”研学时 学习扎染技术,得到一个内角和为1080 的正多边形图案,这 个正多边形的每个外角为 ( ) A.36 B.40 C.45 D.60 C 解析 设这个正多边形的边数为n,由题意得(n-2) 180 =1 080 ,解得n=8,因为360 8=45 ,所以这个正多边形的每个外角为45 ,故选C. 10.(江苏特色 苏州博物馆)(2023江苏苏州期末,8, )图 ①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来的,呈现 出强烈的几何感.房屋的截面如图②所示,其中∠1=∠4=116 ,∠2=∠3=90 ,则下列判断中正确的是 ( ) A.∠5=42 B.∠5=52 C.∠5=62 D.∠5的度数无法确定 B 解析 五边形的内角和为(5-2) 180 =540 . 因为∠1=∠4=116 ,∠2=∠3=90 , 所以∠5=180 -(540 -116 -116 -90 -90 )=180 -128 =52 .故 选B. 11.(2024江苏常州期末,15, )我们知道:三角形的外角 等于与它不相邻的两个内角的和.若n边形的一个外角是x , 与它不相邻的所有内角之和是y ,则x、y与n之间的数量关系 是 . y-x=(n-3) 180 解析 n边形的内角和为(n-2) 180 , 由题意可得(n-2) 180 =y +(180 -x ), 即y-x=(n-3) 180. 12.(2024江苏苏州张家港期末,15, )如图,将正五边形 纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将 纸片折叠,使点B的对应点B'落在AM上,折痕为AF,则∠AFB'= 度. 45 解析 ∵五边形的内角和为(5-2) 180 =540 , ∴∠B=∠BAE= =108 , 由图形的折叠可知, ∠BAM=∠EAM= ∠BAE=54 ,∠BAF=∠B'AF= ∠BAM=27 ,∠AB'F=∠ABF=108 , ∴∠AFB'=180 -∠B'AF-∠AB'F=180 -27 -108 =45 .故答案为45. 13.(2024江苏连云港连云月考,20, ) (1)小明将一个多边形纸片剪去一个角后,得到的新多边形纸 片的内角和为2 160 ,求原多边形纸片的边数. (2)小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一 个内角,得到的结果为2 024 ,求这个多边形纸片的边数及少 算的内角的度数. 解析 (1)设新多边形纸片的边数为n, 由题意,得(n-2) 180 =2 160 , ∴n=14. 剪去一角后新多边形的边数变化情况如下:       故原多边形的边数为13或14或15. (2)设多边形的边数为a, ∵2 024 180≈11.2, ∴a-2=12,∴a=14, ∴少算的内角的度数为180 12-2 024 =136 , 故多边形的边数为14,少算的内角的度数为136 . 素养探究全练 14.(推理能力)【感知】如图1所示,已知四边形AEFC,EB、FD 分别是边AE、CF的延长线,我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角,若∠A+∠C=220 ,则∠BEF+∠DFE= . 【探究】如图2所示,已知四边形AECF中,EB、FD分别是边 AE、AF的延长线,我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF 的外角,试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关 系,并说明理由. 【应用】如图3所示,FM、EM分别是四边形AEFC的外角 ∠DFE、∠BEF的平分线,若∠A+∠C=200 ,则∠M的度数为 .      解析 【感知】因为四边形AEFC的内角和为(4-2) 180 =36 0 ,∠A+∠C=220 , 所以∠CFE+∠AEF=360 -220 =140 . 因为∠CFE+∠DFE=180 ,∠AEF+∠BEF=180 , 所以∠BEF+∠DFE=180 +180 -140 =220 . 故答案为220 . 【探究】∠A+∠C=∠BEC+∠DFC.理由如下: 因为∠A+∠AEC+∠C+∠AFC=360 , 所以∠A+∠C=360 -(∠AEC+∠AFC). 因为∠AEC+∠BEC=180 ,∠AFC+∠DFC=180 , 所以∠BEC+∠DFC=360 -(∠AEC+∠AFC), 所以∠A+∠C=∠BEC+∠DFC. 【应用】同【感知】可知∠BEF+∠DFE=∠A+∠C=200 , 因为FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的 平分线,所以∠MFE= ∠DFE,∠MEF= ∠BEF, 所以∠MFE+∠MEF= (∠BEF+∠DFE)=100 , 所以∠M=180 -100 =80 .故答案为80 . 第12章 定义 命题 证明 12.4 定理 第3课时 反证法 基础过关全练 知识点6 反证法 1.(2024江苏泰州期末)用反证法证明“在 ABC中,若∠A< ∠B,则a<b”时,应先假设 . a≥b 解析 用反证法证明一个命题时,第一步是假设命题的结论 不成立,所以应假设a≥b. 知识点7 平行线的性质定理 2.(2024四川巴中中考)如图,直线m∥n,一块含有30 的直角三 角尺按如图所示方式放置.若∠1=40 ,则∠2的大小为 ( )   A.70 B.60 C.50 D.40 A 解析 如图,过A作直线p∥直线n,   ∴∠3=∠1=40 . ∵m∥n,p∥n,∴m∥p,∴∠2=∠BAC=30 +∠3=30 +40 =70 . 故选A. 知识点8 反例 3.(新独家原创)能说明命题“对于任何有理数a,|a|=a”是假 命题的反例可以是 ( ) A.a=0 B.a=  C.a=2 025 D.a=-2 025 D 解析 当a=-2 025时,|a|≠a,∴a=-2 025能说明命题“对于任 何有理数a,|a|=a”是假命题.故选D. 4.能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是( )         A 解析 A.两个角都是30 ,这两个角相等,且这两个角不是对 顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,故选A. 5.(2023江苏南通通州期末)能作为反例说明命题“如果a>-3, 那么a2>9”是假命题的a的一个值可以为 . -2(答案不唯一) 解析 在-3<a<3范围内的任意一个值都可以说明这个命题 是假命题. 能力提升全练 6.(2024江苏无锡锡山期末,5, )用反证法证明命题“一 个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中  ( ) A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是直角 A 7.(2023湖北鄂州中考,5, )如图,直线AB∥CD,GE⊥EF 于点E.若∠BGE=60 ,则∠EFD的度数是 ( )   A.60 B.30 C.40 D.70 B 解析 如图,过点E作EM∥AB,   ∴∠GEM=∠BGE=60 , ∵GE⊥EF,∴∠GEF=90 , ∴∠FEM=∠GEF-∠GEM=30 , ∵AB∥CD,AB∥EM,∴CD∥EM, ∴∠EFD=∠FEM=30 .故选B. 8.(2023湖北荆州中考,7, )如图所示的“箭头”图形 中,AB∥CD,∠B=∠D=80 ,∠E=∠F =47 ,则图中∠G的度数 是 ( )   A.80 B.76 C.66 D.56 C 解析 如图,延长AB交EG于点M,延长CD交GF于点N,过点G 作AB的平行线GH. ∵∠E=∠F=47 ,∠EBA=∠FDC=80 , ∴∠EMA=∠EBA-∠E=33 ,∠FNC=∠FDC-∠F=33 . ∵AB∥CD,AB∥HG,∴HG∥CD∥AB, ∴∠MGH=∠EMA=33 ,∠NGH=∠FND=33 , ∴∠EGF=33 +33 =66 . 素养探究全练 9.(推理能力)用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和. 解析 已知:如图,∠1是 ABC的一个外角, 求证:∠1=∠A+∠B. 证明:假设∠1≠∠A+∠B, 在 ABC中,∠A+∠B+∠2=180 , ∴∠A+∠B=180 -∠2, ∵∠1+∠2=180 ,∴∠1=180 -∠2, ∴∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾, ∴假设不成立, ∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B. $$ 第12章　 定义 命题 证明 12.1　定义 基础过关全练 知识点　定义 1.(教材变式)下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是 (        )  　　　     　　　     　　　       C 解析　根据对顶角的定义知,选项C中∠1与∠2是对顶角.故 选C. 2.下列语句中,属于定义的是 (　    ) A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C作AB的垂线 C.规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴 D.同旁内角互补,两直线平行 C 解析    A选项是疑问句,不是定义;B选项是祈使句,不是定义; C选项对数轴概念作出明确规定,是定义;D选项不是定义.故 选C. 3.(2024甘肃中考)定义一种新运算*,规定运算法则为m*n=mn -mn(m,n均为整数,且m≠0).例:2*3=23-2×3=2,则(-2)*2=　       . 8 解析　∵m*n=mn-mn, ∴(-2)*2 =(-2)2-(-2)×2 =4+4=8. 能力提升全练 4.(2024江苏南通崇川月考,23,★★☆)用“★”定义新运算: 对于任意有理数a,b,都有a★b=a(b-1)-b+1,例如:4★5=4×(5-1) -5+1=12. (1)直接写出下列各式的结果: (-3)★2=　　    ;2★(-3)=　　    ;  ★ =　    ; ★ =　　　    . (2)通过反复试验猜想归纳,式子a★b和b★a之间的大小关系 是什么. 解析    (1)(-3)★2=-3×(2-1)-2+1=-4. 2★(-3)=2×(-3-1)-(-3)+1=-8+3+1=-4.  ★ =- × - +1= .  ★ =- × - +1= . 故答案为-4;-4; ; . (2)由(1)中计算可得a★b=b★a. 验证:a★b=a(b-1)-b+1=ab-a-b+1, b★a=b(a-1)-a+1=ab-b-a+1, 故a★b=b★a. 素养探究全练 5.(运算能力)定义:a是不为1的有理数,我们把 称为a的 “差倒数”. 如:2的“差倒数”是 =-1,-1的“差倒数”是 = . 已知a1= ,a2是a1的“差倒数”,a3是a2的“差倒数”,a4是a3的 “差倒数”,……,依此类推,解决下列问题: (1)a2=　　　    ,a3=　　　    ,a4=　　　    . (2)请根据(1)中的计算结果,直接写出a2 022·a2 023·a2 024=　　        . (3)计算:a1+a2+a3+a4+…+a1 801. 解析    (1)a2= = = , a3= = =-2, a4= = = . 故答案为 ;-2; . (2)因为a1= ,a2= ,a3=-2, a4= ,……, 所以从a1开始,以 , ,-2为循环组,依次循环, 故a2 022a2 023a2 024=-2× × =-1,故答案为-1. (3)1 801÷3=600……1, ∴a1+a2+a3+a4+…+a1 801= ×600+  =-100+ =-99 . 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$