精品解析：甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二年级上学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算公式直接化简. 【详解】， 故选：D. 2. 设，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】由题意，，， 所以，由同向不等式相加得． 故选：B. 3. 已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 64 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，前n项和公式求出首项和公比，再代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，， ，即，． ，，， ，． 故选：A. 4. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合抛物线定义可得点的坐标，进而确定直线斜率. 【详解】由题意可知焦点，准线为直线， 设点， 由，即，得， 所以直线的斜率， 故选：B. 5. 从正方体六个面的对角线中任取一条与体对角线作为一对，其中所成的角为的共有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体性质可知与一条体对角线垂直的面对角线个数，即可得解. 【详解】 如图，在正方体中选择体对角线，有条面对角线都与它成，即有对符合题意． 同样对应的也有对， 体对角线共有条，所以共有对， 故选：A. 6. 设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知当为短轴端点时取得最大值，即此时，分情况讨论当椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解. 【详解】 由已知当点运动到短轴的端点时，取最大值，此时， 当时，椭圆的长轴在轴上，如图1所示， 令，， 由，可知， 则，则，即； 当时，椭圆的长轴在轴上， 如图2所示，令，， 由，可知， 则，则，即； 综上所述，， 故选：A． 7. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，分别求出、项的系数，即可求解展开式中含项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 8. 若存在过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线可知，结合双曲线上点坐标的范围可得渐近线斜率的取值范围. 【详解】由题意知直线与双曲线只能交于左、右两支，即点在左支，点在右支， 设双曲线的方程为，，，右焦点， 因为，所以，，即， 因为，，所以，， 故，即，，， 所以双曲线的渐近线的斜率的取值范围为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件设出直线方程，直曲联立结合韦达定理得：，将选项涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判断即可. 【详解】设抛物线方程为，焦点为， 过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为， 设直线方程为，直线与抛物线联立有：， 整理有：，根据韦达定理有：， 所以， 所以； 因为，根据焦点弦的性质可知，， 所以A错误，B正确； 因为，，所以， 所以，所以C正确； 因为，， 所以，所以D正确. 故选：BCD 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为1 C. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 D. 展开式中第5项为常数项 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式可判断A，利用赋值法可求系数和，从而判断B，根据二项式系数的性质可判断C，根据通项可计算展开式中的第五项，从而判断D. 【详解】的二项式系数之和为，选项A正确； 令，得，则的各项系数之和为1，选项B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，选项C正确； 的展开式中第5项为，不是常数项，选项D不正确． 故选：ABC． 11. 过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，为右焦点，连接，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 不妨设点在第一象限，分别为，的中点， 则为的中位线，即,即，故B正确； 由双曲线的定义得，则，故C错误； ，故A正确； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，与第5项的二项式系数相等的项是第______项． 【答案】12 【解析】 【分析】由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】第5项的二项式系数为，与第12项的二项式系数相等． 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，斜率大于的直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同的两点，，若，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，联立直线与双曲线，根据，结合根与系数关系可得解. 【详解】由双曲线的渐近线为， 可得直线，直线斜率为， 将直线代入双曲线的方程中得到， 令，， 由， 且，， 则， 又，， 可得，解得， 即直线的斜率为， 故答案为：. 14. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合题意，由两点间距离公式化简即可； （2）由圆心到直线的距离小于等于半径结合点到直线的距离公式计算即可； 【小问1详解】 设，由，得， 化简得，即， 所以曲线的方程为，该曲线是圆心为，半径的圆． 【小问2详解】 因为直线与曲线有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 解得． 所以当直线与曲线有公共点时，的取值范围是． 16. 已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． （1）求曲线的方程； （2）求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程； （2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据，可得解. 【小问1详解】 由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大， 可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 当直线过点且斜率为，即直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为； 当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 显然与抛物线相切，直线与曲线有一个公共点． 当过的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，即，解得， 此时直线的方程为． 综上所述，满足条件的直线的方程为或或. 17. 已知二项式． （1）写出当时的展开式； （2）写出当时所有的有理项． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 18. （1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】（1）48；（2）6 【解析】 【分析】（1）应用分步计数原理及排列数计算即可； （2）应用分步计数原理计算即可. 【详解】（1）先涂区域，有种涂色方法，再涂区域，有2种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，共有种涂色方法． （2）先给顶点涂色，有3种涂色方法，再给顶点涂色，有2种涂色方法，最后给顶点涂色，有1种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，有种涂色方法． 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过圆的一条直径的两个端点． （1）求椭圆的离心率； （2）求椭圆的标准方程； （3）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式直接可得解； （2）设椭圆经过圆的一条直径的两端点，已知中点，且，设直线方程，联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得直线方程与椭圆方程； （3）设直线方程，联立直线与椭圆可得弦长，再结合点到直线的距离可得三角形面积，进而可得最值. 【小问1详解】 由椭圆的长轴长是短轴长的倍， 可得，， 所以椭圆的离心率； 【小问2详解】 设椭圆经过圆的一条直径的两端点， 由（1）可知椭圆的方程为， 由题意得圆心是线段的中点，且， 可知直线的斜率存在．设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，解得， 所以， 所以， 解得，满足判别式， 所以椭圆的标准方程为； 【小问3详解】 由（2）可得椭圆的右焦点的坐标为， 设，， 由题意知直线的斜率不为，可设直线的方程为， 联立，得， 则，， 所以， 原点到直线的距离， 所以， 设，则， 则， 当且仅当，时，的面积取得最大值． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 64 D. 32 4. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 从正方体六个面的对角线中任取一条与体对角线作为一对，其中所成的角为的共有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 6. 设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 8. 若存在过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为1 C. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 D. 展开式中第5项为常数项 11. 过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，为右焦点，连接，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，与第5项的二项式系数相等的项是第______项． 13. 已知双曲线的右焦点为，斜率大于的直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同的两点，，若，则直线的斜率为______． 14. 已知，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围． 16. 已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． （1）求曲线的方程； （2）求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 17. 已知二项式． （1）写出当时的展开式； （2）写出当时所有的有理项． 18. （1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过圆的一条直径的两个端点． （1）求椭圆的离心率； （2）求椭圆的标准方程； （3）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $