6.3.1 二项式定理 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 第 六 章 计 数 原 理 作者编号：35004 作者编号：32100 1.能用多项式法则和计数原理推导二项式定理，会用二项式定理 求解二项展开式. 2.理解二项式定理，会利用定理解决与二项式有关的简单问题. 学习目标 作者编号：35004 作者编号：32100 想一想：你还记得什么是二项式吗？ 对于a+b,(a+b)²,(a+b)³,(a+b)⁴ 等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：(a+b)n (n∈N*). 在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，二项式定理研究的是(a+b)n展开后的表达式的一般结构.那么(a+b)n 的展开式是什么呢? 课堂导入 作者编号：35004 作者编号：32100 (a+b)2 (a+b)3 那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是什么呢？ ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 =a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = a2 +2ab+b2 我们先来展开下面的式子： 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 (a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 对(a+b)2展开式的分析： 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 a3 以(a+b)3为例体会组合思想 (a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3 (a+b)3 (a+b)(a+b)(a+b) 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 a2b a2b a2b 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 ab2 ab2 ab2 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 b3 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 a3 a2b ab2 b3 展开式的每一项都是从 这三个因式中各取一个 字母相乘得到. 发现： (a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3 (a+b)(a+b)(a+b) 各项是关于a,b的三次单项式 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 a3 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 a2b 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 ab2 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 b3 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 (a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ (1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ (2)各项前的系数代表着什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数 问题: 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4 (3)你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 (a+b)n=? 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 二项式定理 每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn (a+b)n=+b+...++...+(n∈N*) 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1； Cnk ： 二项式系数. ①二项展开式共有n+1项 ②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止， 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. 如(1+x)n = Cn0 + Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+ xn 注意： 二项式定理 (a+b)n=+b+...++...+(n∈N*) 新知讲解 作者编号：35004 作者编号：32100 例1 解： （1）(x+)6=++++++ =x6+6x4+15x2+20+15++ （2）(-)6=()6 例题剖析 作者编号：35004 作者编号：32100 例2 求(1+2x)7的展开式的第4项. 求：（1）第4项的二项式系数. （2）第4项的系数. 解： (1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=C7317-3(2x)3 =35×23×x3 =280x3 第4项的二项式系数是C73 =35 第4项的系数是280 例题剖析 作者编号：35004 作者编号：32100 方法归纳 (1)注意对二项式定理的灵活应用； (2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数：Cnr； 项的系数：二项式系数与数字系数的积 (3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开. 作者编号：35004 作者编号：32100 例3 (多选)在 的展开式中，下列说法正确的是(　　) A.展开式中各项的通项为Tr＋1＝ B.展开式中各项的系数等于其二项式系数 C.x的幂指数是整数的项共有5项 D.展开式中存在常数项 当r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项，C正确. 例题剖析 作者编号：35004 作者编号：32100 求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或 xpyq 的项)； ③求常数项； ④求有理项． 方法：根据通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，建立方程求k，再将k的值 代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)． 方法归纳 作者编号：35004 作者编号：32100 1. 求（x+a)12的展开式中的倒数第4项. 解： （1）(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项 2. 求(+)9的展开式常数项、中间两项 T9+1==220 （2）Tr+1== 由=0得r=6. T7==2268 T5=T4+1==42x3 T6=T5+1==42 反馈训练 作者编号：35004 作者编号：32100 1）注意二项式定理中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项. 易错提醒 作者编号：35004 作者编号：32100 本节课你学到了哪些知识？ 课堂总结 作者编号：35004 作者编号：32100 $$