第三章 专题强化9 卫星的变轨和双星问题-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（粤教版）

专题强化9　卫星的变轨和双星问题 [学习目标]　1.知道卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化(重难点)。2.知道航天器的对接问题的处理方法(重难点)。3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 一、卫星的变轨问题 如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。 (1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？ (2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？ 答案　(1)从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动。当飞船加速时，飞船所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨。 (2)飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速。当飞船减速时，飞船所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨。 1．变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加(选填“加”或“减”)速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 2．变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ(均选填“>”“<”或“＝”)。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ(选填“>”“<”或“＝”)。 (4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律＝k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期，图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。 例1　(多选)(2023·广东深圳中学校考期中)中国预计将在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，下列说法正确的是(　　) A．在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变 B．发射时的速度必须达到第三宇宙速度 C．在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度 D．从绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需减速 答案　AD 解析　由开普勒第三定律可得＝k，则有公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，故A正确； 第三宇宙速度是能够脱离太阳系的最小发射速度，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，没有脱离地球的引力范围，发射时的速度小于第二宇宙速度，故B错误；设轨道Ⅰ上运动时的速度为v1，轨道Ⅱ上近月点的速度为v2，轨道Ⅱ上远月点的速度为v3，若在轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道，其速度为v4，根据卫星从高轨道变轨到低轨道需点火减速，则v2>v1，v4>v3 由万有引力提供向心力有G＝m，可得v＝，故v1>v4，故v2>v1>v4>v3 因此在轨道Ⅰ上运动时的速度不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，故C错误，D正确。 例2　(2023·广东湛江统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与“天和核心舱”完成对接，航天员进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和核心舱”对接。则神舟十五号飞船(　　) A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点减速 B．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度 答案　D 解析　由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点加速，故A错误； 根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故B错误； 由万有引力定律可知，飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点所受合外力相同，加速度也相同，故C错误； 由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确。 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4．判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。 二、航天器的对接问题 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，减速会做近心运动进入低轨道，都不会追上前面的航天器。 2．怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 例3　(多选)(2023·广东广州市第二中学校考期中)2022年5月10日，天舟四号货运飞船采用快速交会对接技术，顺利与在轨运行的天和核心舱进行交会对接。对接前，天舟四号货运飞船绕地球做椭圆运动，近地点A和远地点B如图所示；天和核心舱在离地球表面一定高度处做匀速圆周运动。若对接地点在椭圆轨道的远地点B处，下列说法正确的是(　　) A．天舟四号在A点的运行速度小于在B点的运行速度 B．天舟四号分别沿椭圆轨道和圆轨道运行时，经过B点的加速度大小相等 C．天和核心舱的线速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度 D．天舟四号在B点点火加速，才能与天和核心舱顺利完成对接 答案　BD 解析　根据开普勒第二定律可知，天舟四号在A点的运行速度大于在B点的运行速度，故A错误；由万有引力充当向心力可得a＝，可知离中心天体的距离相同的情况下，加速度大小相等，故B正确； 由万有引力充当向心力可得v＝，易知轨道半径越大，线速度越小，天和核心舱的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则可知，天和核心舱的线速度大于同步卫星的线速度，又同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等，而根据v＝ωR可知，同步卫星的线速度要大于地球赤道上随地球一起自转的物体的线速度，由此可知天和核心舱的线速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，故C错误；要实现天舟四号与天和核心舱的对接，必须在B点点火加速，实现由低轨道向高轨道的变轨，才能与天和核心舱顺利完成对接，故D正确。 三、双星和多星问题 1．双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。 2．多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例4　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。 答案　见解析 解析　双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力， 对质量为m1的星体：＝m1r1ω2 对质量为m2的星体：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L 解得r1＝，r2＝ 由G＝m1r1及r1＝得 周期T＝2πL。 例5　(多选)(2023·广东广州统考期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星体的质量均为M，并设两种系统的运行周期相同，引力常量为G，则(　　) A．直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度相同 B．直线三星系统的运行周期为T＝4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 答案　BC 解析　直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确； 对三角形三星系统根据万有引力定律可得2Gcos 30°＝M() 两种系统周期相同，即T＝4πR，联立解得L＝R，选项C正确； 三角形三星系统的线速度大小为v＝()＝·，选项D错误。 专题强化练 训练1　卫星的变轨问题 1.(多选)(2023·广东湛江高一期中)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离后，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空。神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，空间站对接前后轨道半径保持不变。下列说法正确的是(　　) A．神舟十三号发射速度等于7.9 km/s B．对接前神舟十三号运行速度大于空间站运行速度 C．神舟十三号直接减速即可与空间站对接 D．神舟十三号与空间站对接后周期变大 答案　BD 解析　7.9 km/s为地球的第一宇宙速度，即人造卫星的最小发射速度，神舟十三号发射速度应大于7.9 km/s，A错误； 根据万有引力提供向心力可得＝，解得v＝，在对接前，神舟十三号的轨道半径比空间站的小，则运行速度大于空间站运行速度，B正确；神舟十三号与空间站对接需变轨至高轨道，需要通过加速实现变轨，C错误； 根据万有引力提供向心力可得＝，解得T＝2π，神舟十三号与空间站对接后轨道半径变大，对应的运行周期也变大，D正确。 2.(2023·广东茂名高一统考期中)为躲避太空垃圾，中国空间站采取紧急避碰措施，改变轨道高度。若中国空间站在某次紧急避碰过程中进行了向下变轨，假设空间站在不同高度轨道上稳定运行时均是绕地球做匀速圆周运动，且该过程由中国空间站仅在两轨道的切点P、Q两点短时间向站外喷气来实现。则空间站(　　) A．在P、Q两点处均向前喷气 B．在P、Q两点处均向后喷气 C．在P点处向前喷气，在Q点处向后喷气 D．在P点处向后喷气，在Q点处向前喷气 答案　A 解析　由图可知，空间站在P、Q两点处都是由高轨变到低轨，需要减速，即向前喷气，故选A。 3.(2023·广东广州联考期末)2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟十五号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是(　　) A．“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火减速 B．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期 C．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于天和核心舱经过C点时的速率 D．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于天和核心舱在C点时的加速度 答案　B 解析　从低轨道到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火加速，A错误；根据开普勒第三定律＝k，由于“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于天和核心舱的轨道半径，可知“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期，B正确；“神舟十五号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速，故“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于天和核心舱经过C点时的速率，C错误；由a＝可知，“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度等于天和核心舱在C点时的加速度，D错误。 4.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　) A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 答案　D 解析　天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。 5．(2023·广东茂名市第一中学校考期中)2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是(　　) A．图中两阴影部分的面积相等 B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变小 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需要点火加速 D．探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 答案　B 解析　根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是图中两阴影部分不在同一轨道，故不相等，A错误；根据开普勒第三定律可知从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器的轨道半长轴变小，故周期变小，B正确；从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器做近心运动，故需要减速，C错误；根据公式＝ma可得探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，D错误。 6．(多选)“嫦娥五号”从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。下列关于“嫦娥五号”的说法正确的是(不计“嫦娥五号”的质量变化)(　　) A．在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小 B．在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现 C．在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大 D．“嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等 答案　CD 解析　“嫦娥五号”在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力等于需要的向心力而做圆周运动，选项B错误；根据开普勒第二定律知，在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据＝ma，知“嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等，选项D正确。 7．(2023·广东东莞模拟)如图甲所示，“天问一号”探测器从地球发射后，立即被太阳引力俘获，沿以太阳为焦点的椭圆轨道b运动到达火星，被火星引力俘获后环绕火星飞行，轨道b与地球公转轨道a、火星公转轨道c相切。如图乙所示，之后“天问一号”由椭圆轨道Ⅰ进入圆轨道Ⅱ，进行预选着陆区探测。下列说法正确的是(　　) A．“天问一号”的发射速度v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s B．地球绕太阳公转速度大于火星绕太阳公转速度 C．“天问一号”在轨道Ⅱ上的速度大于火星的第一宇宙速度 D．在椭圆轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在圆轨道Ⅱ上经过M点的速度 答案　B 解析　因“天问一号”探测器从地球发射后，立即被太阳引力俘获，所以发射速度大于第二宇宙速度，故A错误； 依据“近快远慢”的原则，地球绕太阳公转速度大于火星绕太阳公转速度，故B正确；第一宇宙速度是卫星环绕中心天体做匀速圆周运动的最大速度，故C错误；由于“天问一号”在椭圆轨道Ⅰ上经过M点时做离心运动，在圆轨道Ⅱ上经过M点时做圆周运动，所以在椭圆轨道Ⅰ上经过M点的速度大于在圆轨道Ⅱ上经过M点的速度，故D错误。 8．(多选)(2022·北京四中期中)如图所示，卫星在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达远地点B时，再次点火进入轨道半径为5R的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，则下列说法中正确的是(　　) A．卫星在轨道Ⅰ上稳定飞行经过A处的速度大于卫星在轨道Ⅱ上稳定飞行经过B处的速度 B．卫星在轨道Ⅰ上稳定飞行经过A处的加速度小于卫星在轨道Ⅱ上稳定飞行经过A处的加速度 C．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的周期之比为∶9 D．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的周期之比为∶25 答案　AC 解析　由于卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要点火加速，所以轨道Ⅱ上B点的速度小于轨道Ⅲ上B点的速度，而卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上稳定运行时做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m，解得v＝，轨道Ⅰ半径小于轨道Ⅲ半径，所以轨道Ⅰ上A点的速度大于轨道Ⅲ上B点的速度，即v1A>v3B>v2B，故A正确；卫星只受万有引力，则有G＝ma，得a＝，所以轨道Ⅰ上A处的加速度等于轨道Ⅱ上A处的加速度，故B错误；根据开普勒第三定律有＝，所以卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的周期之比为＝＝，故C正确，D错误。 9．(2022·句容高级中学高一期末)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求： (1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速； (2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； (3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。 答案　(1)加速　(2)　(3)－R 解析　(1)飞船要进入预定圆轨道，需在B点加速。 (2)在地球表面有mg＝① 在A点时，根据牛顿第二定律有G＝maA② 由①②式联立解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝ (3)飞船在预定圆轨道上飞行时，由万有引力提供向心力，有G＝m(R＋h2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④ 由①③④式联立解得h2＝－R。 10．如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一平面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是(　　) A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为g B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 C．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为 D．“高分一号”所在高度处的加速度大于地面处的重力加速度 答案　C 解析　卫星“G1”和“G3”在同一轨道上，故加速度大小相等；根据G＝ma及G＝mg可知a＝g，故A错误；若“高分一号”卫星加速将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其减速，故B错误；根据万有引力提供向心力G＝mω2r，得ω＝＝＝，卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间t＝＝，故C正确；根据a＝知，高分一号所在高度处的加速度小于地面处的重力加速度，故D错误。 训练2　双星及多星问题 1．在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是(　　) A．两颗星有相同的角速度 B．两颗星的运动半径与质量成反比 C．两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D．两颗星的线速度大小与质量成正比 答案　D 解析　双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R＋r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 由mrω2＝MRω2知，两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam＝MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v＝Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 2．(2022·大连市高一期末)中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　) A．向心力大小之比为16∶1 B．周期之比为16∶1 C．角速度大小之比为1∶1 D．加速度大小之比为1∶1 答案　C 解析　黑洞和恒星组成双星系统，根据双星系统的特点可知，黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力，则黑洞与恒星的向心力大小相等，转动的角速度相等，周期相等，故A、B错误，C正确；根据a＝可知黑洞与恒星的加速度大小之比为＝，故D错误。 3.(多选)(2022·山东师范大学附中高一期中)如图为两个黑洞A、B组成的双星系统，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，距离为L，其运动周期为T。则(　　) A．A的质量一定小于B的质量 B．A的线速度一定小于B的线速度 C．L一定，M越大，T越小 D．M一定，L越大，T越小 答案　AC 解析　黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量分别为mA和mB，轨道半径分别为RA和RB，角速度为ω，则由万有引力提供向心力可知G＝mAω2RA＝mBω2RB，可得＝，由题意知RA>RB，则mA<mB，选项A正确；双星系统的角速度相同，又RA>RB，根据v＝rω，可知vA>vB，选项B错误；根据万有引力提供向心力有G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，又T＝，整理可得T＝2π，由此可知，当L一定时，M越大，T越小；当总质量M一定时，L越大，T越大。选项C正确，D错误。 4.(2023·广东深圳高一校考期中)厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果发表在《自然·天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的(　　) A．角速度大于红矮星的角速度 B．轨道半径小于红矮星的轨道半径 C．向心力大小约为红矮星的2倍 D．线速度大于红矮星的线速度 答案　B 解析　双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；根据G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝，即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意知中子星质量大，可知中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，B正确； 双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，C错误；双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，根据v＝ωr，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，D错误。 5.(多选)(2023·广东湛江统考)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是(　　) A．双星之间引力变大 B．每颗星的加速度均变小 C．双星系统周期逐渐变大 D．双星系统转动的角速度变大 答案　AD 解析　根据万有引力定律F＝G知，两颗恒星正在缓慢靠近，则双星之间引力变大，A正确；对质量为m1的恒星，a1＝G，对质量为m2的恒星，a2＝G，每颗星的加速度均变大，B错误； 由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到＝，＝，R1＋R2＝r，整理得到T＝2π，知双星系统周期变小，C错误；由ω＝，知转动的角速度变大，D正确。 6．(2023·广东东莞期末)激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波。它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(甲黑洞的质量为太阳质量的26倍，乙黑洞的质量为太阳质量的39倍)互相绕转最后合并的过程。合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两个黑洞绕行的线速度大小之比为2∶3 B．甲、乙两个黑洞绕行的向心加速度大小之比为2∶3 C．质量大的黑洞旋转半径大 D．若已知引力常量、两黑洞的绕行周期和太阳质量，可以估算出两黑洞之间的距离 答案　D 解析　两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度大小相等。根据万有引力提供向心力，有G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，两黑洞之间的距离L＝r1＋r2，T＝，v1＝ωr1，v2＝ωr2，解得甲、乙两个黑洞绕行的线速度大小之比为3∶2，选项A错误；由a＝rω2可知甲、乙两个黑洞绕行的向心加速度大小之比为3∶2，选项B错误；因为m1r1＝m2r2，可知质量大的黑洞旋转半径小，选项C错误；根据周期T＝2π，若已知引力常量、两黑洞的绕行周期和太阳质量，可以估算出两黑洞之间的距离，选项D正确。 7.(2023·广东深圳统考)宇宙中有很多由恒星组成的双星系统，两颗恒星仅在彼此间的万有引力作用下，绕共同点做匀速圆周运动，如图所示。假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　) A．恒星1做圆周运动的向心加速度为G B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度 C．恒星1的向心力一定大于恒星2的向心力 D．若此双星系统晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质(总质量不变)，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小 答案　D 解析　对于恒星1，有＝m1a1，则恒星1的向心加速度a1＝，故A错误； 由mg＝，解得g＝，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误； 两恒星的向心力都是由万有引力提供，所以大小相等，故C错误；设两星之间距离为L，对恒星1，有＝m1()2r1，对恒星2，有＝m2()2r2，联立解得T＝2π，当两者间距逐渐减小，总质量不变时，两星的共同周期逐渐减小，故D正确。 8．(2023·广东广州市第二中学期中)黑洞是宇宙空间内存在的一种天体。黑洞的引力很大，使得视界内的逃逸速度大于光速。黑洞无法直接观测，但可以由间接方式得知其存在与质量，并且观测到它对其他事物的影响，双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上中点做匀速圆周运动。实际观测该系统的角速度ω要大于按照力学理论计算出的角速度理论值ω0，且＝k(k>1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的黑洞C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，如图所示。已知引力常量为G，以下说法正确的是(　　) A．在运动的过程中，A和B两颗星的角速度、线速度都相同 B．如图甲，两个星球A、B组成的双星系统角速度理论值ω0＝ C．图乙中A受到的万有引力为 D．C的质量为m(k2－1) 答案　C 解析　在运动的过程中，A和B两颗星的角速度相同，线速度大小相同，方向不同，故A错误； 分析星球A、B，＝mω02rA，＝mω02rB，rA＋rB＝L，联立解得：ω0＝故B错误； 根据万有引力提供向心力可知，题图乙中A受到的万有引力为，故C正确； 设C的质量为M，分析A星球：FAC＝，FAB＝，FAC＋FAB＝mω2，联立解得M＝m(k2－1)，故D错误。 9．(2022·信阳市高一期中)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O点始终共线，星球A和B分别在O点的两侧，引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字) 答案　(1)2πL　(2)1.012 解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G＝Mr2 对A有：G＝mr1 又r1＋r2＝L 联立解得T＝2πL (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得 ＝m月L′ 解得T2＝2π 则＝ 故＝≈1.012。 10．(2023·广东广州市模拟)三颗质量相等的恒星彼此连线恰好构成等边三角形，忽略其他星体对其引力，测量星体之间距离，并通过理论计算得到该三星系统的周期为T，但实际观测中得到该三星系统周期为nT，科学家猜测在三星构成的等边三角形的中心存在质量为M的黑洞，该黑洞质量是恒星质量的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 答案　D 解析　设等边三角形边长为L，恒星质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝m()2，得m＝ 当中心存在黑洞时有2Gcos 30°＋G＝m()2，解得M＝()，则＝，故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$