第二十四章 勾股定理（单元自测卷）数学新教材人教版五四制八年级下册

第24章《勾股定理》单元测试卷 一、单选题 1．下列四组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 2．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（　　） A．18m B．13m C．17m D．12m 3．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ） A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm 4．在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（  ） A．4或14 B．10或14 C．14 D．10 5．如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D．3 6．放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（    ） A．600m B．800m C．1000m D．无法计算 7．如图，一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（   ） A．0米 B．1米 C．2米 D．3米 8．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 9．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F．已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（      ） ①∠ACD=2∠FAB   ② ③    ④ AC=AF A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 11．如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”) 12．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积之和是 ． 13．如图，在中，，平分，，，则的长是 ． 14．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 ． 15．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为 ；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为 ． 16．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    三、解答题 17．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）． 18．如图，在中，，，，于点．求的长．      19．如图，在中，，垂足为D，点E是线段AD上的点，且，． (1)求证：； (2)若，，求BD的长． 20．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1.    (1)在图中画出一个，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上. (2)直接写出的面积. 21．某小区有一块如图所示的四边形空地，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得，，，．种植花草的费用为80元/，则该空地种植花草共需多少元？（参考数据：） 22．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 23．如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)连结交于点，若，求的长． 24．在平面直角坐标系中，点A(a，0)、B(b，0)（a≠0），a、b满足＋b2＋2bc＋c2=0 (1) 直接写出a与b的关系           (2) 如图，将线段AB沿y轴的正方向平移m个单位得到线段PQ，点M在线段PQ上，QM=3MP，过M作MF∥PA交QA于点F，连接BM，BM平分∠PMF．若BM=，求m的值 (3) 如图，点C在第一象限内，且满足CA=OA，点E在x轴上，AE=BC，连接CE，取CE的中点N，连接NO．若∠BCA=α，求∠NOC（用含α的代数式表示）             1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章《勾股定理》单元测试卷 一、单选题 1．下列四组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】D 【分析】勾股数必须都是正整数，同时还满足较小的两数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； D、，但是三边不是整数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数需要满足的条件：①三个数必须是正整数，②满足勾股定理． 2．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（　　） A．18m B．13m C．17m D．12m 【答案】A 【分析】在直角三角形中，已知两条直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处， ∴折断的部分长为 =13， ∴折断前高度为5+13=18（米）． 故选A． 【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是已知两条直角边，运用勾股定理求出斜边． 3．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ） A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm 【答案】A 【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】解：将此圆柱展成平面图得：     ∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3）， ∴AC=8cm，BC==4π=6(cm) ∴AB==10（cm）． 答：它需要爬行的最短路程为10cm． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 4．在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（  ） A．4或14 B．10或14 C．14 D．10 【答案】A 【分析】根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可得出BC的长度． 【详解】∵AC=13，AD=12，CD=5， ∴， ∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC， 由于点D在直线BC上，分两种情况讨论： 当点D在线段BC上时，如图所示， 在Rt△ADB中，， 则； ②当点D在BC延长线上时，如图所示， 在Rt△ADB中，， 则． 故答案为：Ａ． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键． 5．如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质可得，，求得，设，则，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（    ） A．600m B．800m C．1000m D．无法计算 【答案】C 【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家， ∴OB＝40×20＝800（m）， OA＝40×15＝600（m）， 在直角△OAB中，AB＝＝1000（m）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键． 7．如图，一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（   ） A．0米 B．1米 C．2米 D．3米 【答案】B 【分析】已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC=4-1=3，再根据勾股定理求得OD的长即可． 【详解】（1）AO=（米）． （米）， BB1=OB1-OB=4-3=1（米）． 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型． 8．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 9．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于，      和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合， 此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 10．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F．已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（      ） ①∠ACD=2∠FAB   ② ③    ④ AC=AF A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】过点C作于点H，根据等腰三角形的性质得到，根据得到，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG的长，算出三角形ACD的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF的长，得到③是正确的． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴，故④正确； ∴， 在中，，故③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 二、填空题 11．如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”) 【答案】＜ 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， ∵，，， ∴， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了勾股定理以及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积之和是 ． 【答案】3 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得出：A、B、C、D的面积之和等于正方形E的面积，即可得出结果． 【详解】根据勾股定理得到：A与B的面积的和加上C与D的面积的和是E的面积； ∵E的面积是12＝1， ∴A、B、C、D的面积之和为1． 故F、G的面积是1 则所有正方形的面积之和为3×1=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：A、B、C、D的面积之和等于正方形E的面积． 13．如图，在中，，平分，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】过点D分别作、边上的高于点E、F，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，设，则，设点A到边上的高为，根据三角形的面积公式得出及，两式相除再化简即可得出答案． 【详解】解：过点D分别作、边上的高于点E、F 平分， ，，， 设，则，设点A到边上的高为 根据三角形的面积公式得， ① ② ①②，可得 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理及三角形的面积公式，熟练掌握性质定理是解题的关键． 14．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 ． 【答案】/5厘米 【分析】把圆柱体沿展开，则的长是圆柱体底面圆周长的一半，在中利用勾股定理即可求出的长，的长就是蚂蚁在圆柱体的侧面爬行的最短路程． 【详解】把圆柱体沿展开，得到矩形，如下图所示， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线． ∵圆柱体的底面圆周长为， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱体的侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理的应用，熟练掌握圆柱体的侧面展开的特征是解本题的关键． 15．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为 ；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为 ． 【答案】 6+2 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到 （2）过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长，然后证明△BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可. 【详解】解：①如图，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， ∵∠BAC＝75°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30° ∴BH=AH， ∴ ∴AH＝BH＝2， ∴BC＝BH+CH＝2+2， ∴S△ABC＝•BC•AH＝•（2+2）＝6+2． ②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长． ∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN， ∴∠MBN＝2∠ABC＝90°， ∴△BMN是等腰直角三角形， ∴BM的值最小时，MN的值最小， 根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小， ∵, ∴MN的最小值为BJ＝， ∴△DEF的周长的最小值为． 故答案为：6+2，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    【答案】 【分析】过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证△HAD≌△BCE，则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，然后可得，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图所示：    过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示， ∴∠HAD=∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠HAD=∠BCE， ∵AD=CE， ∴△HAD≌△BCE（SAS）， ∴HD=BE， ∴CD+BE=CD+HD， ∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，    ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BF=CF=3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴，， ∵AF∥MN，点M是AB的中点， ∴， ∴， ∴在Rt△MNC中，， ∴， ∴CD+BE的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可． 三、解答题 17．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC＝＝ ≈109.7mm， 答：两孔中心的垂直距离为109.7mm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用．解此题的关键是注意数形结合思想的应用． 18．如图，在中，，，，于点．求的长．      【答案】 【分析】先根据勾股定理求得，再利用等面积法求得的长即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由面积公式得， ． 【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、等面积法等知识点，掌握等面积法是解答本题的关键． 19．如图，在中，，垂足为D，点E是线段AD上的点，且，． (1)求证：； (2)若，，求BD的长． 【答案】(1)见解析 (2)BD=12． 【分析】（1）利用SAS即可证明△BDE≌△ADC，由全等三角形的性质可证明∠EBD=∠CAD； （2）利用勾股定理易求AD的长，再由DE=DC，即可求出BD的长． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠BDE=∠ADC=90°． ∵AD=BD，DE=DC， ∴在△BDE和△ADC中 ， ∴△BDE≌△ADC， ∴∠EBD=∠CAD； （2）解：∵∠ADC=90°，AC=13，DE=5即DC=5， ∴AD==12， ∵△BDE≌△ADC， ∴BD=AD=12． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键在于证明△BDE≌△ADC． 20．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1.    (1)在图中画出一个，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上. (2)直接写出的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，在网格中画出图形即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴边长分别为，，5的如图所示，    （2）解：， ∴的面积是； 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 21．某小区有一块如图所示的四边形空地，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得，，，．种植花草的费用为80元/，则该空地种植花草共需多少元？（参考数据：） 【答案】该空地种植花草约共需13064元 【分析】先利用等边三角形的判定和性质求得BD的长，再根据勾股定理判定△DBC为直角三角形，从而空地的面积就转化为两个直角三角形的面积解答即可． 【详解】连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴．    在中，∵． ∵， ∴．    ∴为直角三角形， 过D作于E， ∵是等边三角形， ∴．   在中，，   ∴．    ∴（）．     ∴（元）   答：该空地种植花草约共需13064元． 【点睛】此题考查了学生对直角三角形的判定的掌握情况及利用勾股定理解实际问题的能力，关键是利用等边三角形的判定和性质求得BD的长解答． 22．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 23．如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)连结交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，根据平行线的性质得出，等量代换得到，根据等角对等边即可得到结论； （2）作，交于，交于点，连接，则，得出，进而得出，是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质得出，利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】（1）证明：在中，， 是等腰三角形， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）作，交于，交于点，连接，则， 是等腰三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， , 又 ， 又 ， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，点A(a，0)、B(b，0)（a≠0），a、b满足＋b2＋2bc＋c2=0 (1) 直接写出a与b的关系           (2) 如图，将线段AB沿y轴的正方向平移m个单位得到线段PQ，点M在线段PQ上，QM=3MP，过M作MF∥PA交QA于点F，连接BM，BM平分∠PMF．若BM=，求m的值 (3) 如图，点C在第一象限内，且满足CA=OA，点E在x轴上，AE=BC，连接CE，取CE的中点N，连接NO．若∠BCA=α，求∠NOC（用含α的代数式表示）             【答案】（1）a+b=0；（2）m=3；（3）∠NOC=90°-0.5ɑ 【分析】（1）首先由题意，可得出+=0，进而可得出； （2）首先延长MF交x轴于F，得出MP，又因为MF∥PA，PM∥AH，得出四边形PMHA为平行四边形，进而得出AH和BH，又，即，再根据BM平分∠PMF，即，得出，在Rt△PBA中，，即得出 ，即，，在Rt△PBM中，，即，将两个等式联立即可得出； （3）首先在OA上取一点F，使得OF=OE，连接CF，由BO=AO，EO=OF，BC=AE，得出BC=BF，进而得出∠BCF=∠BFC，又由N为CE的中点，即EO=OF，得出NO∥CF，进而得出∠NOC=∠OCF，又由∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF，得出∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF，又∠COA=∠BCO+∠CBO，将两式联立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO，又因为∠FAC+∠CBO=180°-α，得出∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA，又因为∠COA=∠OCF+∠FCA，得出∠OCF=90°-，即∠NOC=90°-. 【详解】解：（1）由题意，得 ＋b2＋2bc＋c2=0 +=0 ∴ ∴ （2）延长MF交x轴于F，如图所示 由题意得，P（b，m），Q（a，m） 又∵QM=3MP， ∴ 又∵MF∥PA，PM∥AH ∴四边形PMHA为平行四边形 ∴， 又，即 BM平分∠PMF，即 ∴，即 在Rt△PBA中，，，即① 在Rt△PBM中，，即 ② 联立①②，解得 . （3）在OA上取一点F，使得OF=OE，连接CF，如图所示， ∵BO=AO，EO=OF，BC=AE， ∴BC=BF， ∴∠BCF=∠BFC， 又∵N为CE的中点，即EO=OF ∴NO∥CF ∴∠NOC=∠OCF 又∵∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF ∴∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF① 又∠COA=∠BCO+∠CBO② ①②联立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO ∵∠FAC+∠CBO=180°-α ∴∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA 又∵∠COA=∠OCF+∠FCA ∴∠OCF=90°- 即∠NOC=90°- 【点睛】此题主要考查平行的性质，进行等角互换. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$