25.2.2.1 菱形的性质（分层练习，5大题型）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

25.2.2.1 菱形的性质（分层练习，五大题型） 考查题型一、利用菱形的性质求角度 1．已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，交于于，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 考查题型二、利用菱形的性质求线段长度 3．如图所示，若，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（    ）    A． B． C．10 D． 考查题型三、利用菱形的性质求面积 5．如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是（    ） A．8 B． C． D． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 考查题型四、添加一个条件是菱形 7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 考查题型五、菱形的性质 8．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 9．下列说法中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形 1．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（    ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． 2．如图，在菱形中，，点在边上，以为边在菱形内部作等边三角形，若，则 ． 3．如图，菱形中，，则 ． 4．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，点F在上，，连接交于点G，若，连接，，则线段的长为 ． 5．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，则的长为 ． 6．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，则菱形一边上的高长为 ． 7．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 ． 8．如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求度数． 9．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若______． 10．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 11．如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.2.2.1 菱形的性质（分层练习，五大题型） 考查题型一、利用菱形的性质求角度 1．已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用互余解答. 【详解】∵四边形是菱形, ， ， ， ， ， ， ， 故选: C. 2．如图，菱形中，交于于，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到点O为的中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵四边形是菱形，交于，， ∴点O为的中点，， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 考查题型二、利用菱形的性质求线段长度 3．如图所示，若，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．过点P作交于M，可得，再结合题目推出四边形为菱形，即可得，又由可得，由直角三角形性质即可． 【详解】解：如图：过点P作交于M， ∴ ∴四边形为菱形， ∴ 则， 又∵ ∴． 故选：C 4．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（    ）    A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，    ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 考查题型三、利用菱形的性质求面积 5．如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的性质得到，，，则可判断和都为等边三角形，则根据等边三角形的性质得，，，，所以，根据含30度的直角三角形三边的关系可得，，于是可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解． 【详解】解：菱形的周长为32， ， ， ，， 和都为等边三角形， ，， ，，，， ，，， ∴为等边三角形， 的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积解决此题的关键是判断、和为等边三角形． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可． 【详解】E，F分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 考查题型四、添加一个条件是菱形 7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 【答案】AF＝AE（答案不唯一） 【解析】由三角形的中位线性质可知AFED为平行四边形，又因为AF=AE，故AFDE为菱形. 考查题型五、菱形的性质 8．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意； 对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选：C． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键． 由平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定，分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，故选项符合题意； C、菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，故选项不符合题； D、对角线互相平分说明四边形为平行四边形，不是矩形，故选项不符合题意； 故选：B 1．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（    ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的作图，菱形的判定与性质，掌握作角平分线的方法是解本题的关键；由作图可得，，再逐一分析可得答案． 【详解】解：由作图可得：，， ∴平分，四边形为菱形， ∴， 而不一定成立， 故A，B，D不符合题意；C符合题意； 故选C 2．如图，在菱形中，，点在边上，以为边在菱形内部作等边三角形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质；先根据，证明是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形，     ∴， ∵以为边在菱形的内部作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 3．如图，菱形中，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合平行线的性质可求得答案 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴； 故答案为：． 4．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，点F在上，，连接交于点G，若，连接，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】取中点M，连接，可证明是的中位线，得到，，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：取中点M，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E为的中点，M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 5．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，由菱形面积公式可求得，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积为， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，则菱形一边上的高长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键． 【详解】解：在菱形中，， ，， ，， 在中，， ， 菱形的面积， 即， 解得． 故答案为：． 7．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，进而求解． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 8．如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求度数． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定，根据菱形的性质求出，再根据垂直平分线的性质得出，从而证明，计算出的值，解题的关键是正确添加辅助线，熟练掌握和运用相关性质定理． 【详解】解：连结， ∵四边形是菱形，， ∴， ，， ∴， ∴ ∵的垂直平分线交对角线于点， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 9．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质以及已知条件求出，根据勾股定理先求得的长，然后求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定， （1）可证明是等边三角形，根据中点得出，进一步求得四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）利用等边三角形求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴且， ∴且， 则四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）∵是等边三角形，， ∴． 11．如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质和等边对等角得到，，又由已知即可证明，结论得证； （2）利用菱形的性质和直角三角形的性质得到是等边三角形得到，进一步得到，则，由勾股定理得到，则，再证明是等边三角形，垂直平分，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴; （2）∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质，进行正确推理是解题的关键． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$