25.2.1.1矩形的性质（分层练习，5大题型）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

25.2.1.1矩形的性质（分层练习，五大题型） 考查题型一、矩形性质的理解 1．已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，当点运动 秒时，和全等． 2．如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，将点在数轴上向右移动一个单位后表示的数是 ．    考查题型二、利用矩形的性质求角度 3．如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 考查题型三、利用矩形的性质求线段长度 5．如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（    ） A．5 B． C． D．7 6．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O．点，分别是，的中点，连接，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．16 7．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、与对角线交于点O，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 考查题型四、利用矩形的性质求面积 8．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，平分交于点E，若，，则的长（　　） A． B． C． D． 考查题型五、利用矩形的性质求证明 11．如图，E、F分别是长方形的边、上的点，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 1．如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则 ． 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为 ． 5．在矩形中，E、F分别在和上，，若，，则 ． 6．如图，在矩形中，平分，则的度数为 ．    7．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 8．如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为，过点D作轴，轴，点E为y轴上一点，将沿直线折叠，点A落在边上的点F处． (1)请你直接写出点A的坐标； (2)求的长； (3)求四边形的面积． 9．如图，一块长方形场地的长为，宽为，于E，于F，连接，现计划在四边形区域内种植一种花草，已知该种花草的价格是150元/，若把四边形区域种满这种花草，需多少元？    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.2.1.1矩形的性质（分层练习，五大题型） 考查题型一、矩形性质的理解 1．已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，设点运动秒时，和全等，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：设点运动秒时和全等， ∵在长方形中，，，， ∴，，， 当点在上时，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动， ∴ ∴； 当点在上时，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 2．如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，将点在数轴上向右移动一个单位后表示的数是 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理先计算，可得表示的数为，再利用平移的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴表示的数为， ∴点在数轴上向右移动一个单位后表示的数是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，实数与数轴，平移的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 考查题型二、利用矩形的性质求角度 3．如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 4．两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余，先根据平角的定义得到用三角形外角性质得到，再由矩形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到，熟练掌握矩形的性质和直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴． 故选A 考查题型三、利用矩形的性质求线段长度 5．如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，先由矩形的性质得，再由勾股定理算出的值即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， 则的长是， 故选：B 6．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O．点，分别是，的中点，连接，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质、勾股定理求线段长，先利用勾股定理算出的长度，根据矩形的性质即可得出的长度，再根据中位线的性质求出，进而即可周长即可． 【详解】在矩形中，，, ， 对角线，相交于点O， , 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， 的周长为：， 故选：B． 7．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、与对角线交于点O，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】连接，先证，得到，得到 ，求得，根据直角三角形的性质，得到，从而得到． 【详解】连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 考查题型四、利用矩形的性质求面积 8．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案． 【详解】解：根据题意得： 把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ，，，， ， ， 在矩形中，， ， 在中， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， 矩形的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 9．矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个阴影部分的面积和矩形的面积，即可求出答案． 【详解】解：图中空白部分的面积， 故选：B． 10．如图，在矩形中，平分交于点E，若，，则的长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键，根据矩形的性质可得，从而得到，再利用角平分线可进一步推得，，最后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 考查题型五、利用矩形的性质求证明 11．如图，E、F分别是长方形的边、上的点，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、长方形的性质和勾股定理， （1）利用长方形的性质得，，根据题干得，有即可证明全等； （2）利用全等的性质和长方形的性质得，利用勾股定理即可求得答案； 【详解】（1）证明：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）由（1）得， ∴， 在中，， 即． 1．如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接于交于点， 点是的中点， ， 将沿折叠， ， ， ， 是直角三角形， ，，， ， 将沿折叠， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键． 2．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可得矩形对角线平分且相等，结合三角形内角和定理可求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求解，解答本题的关键在于熟练掌握矩形和三角形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（矩形的对角线平分且相等）， 又∵， ∴， ∴（三角形内角和定理）， 又∵（三角形外角性质）， ． 故答案为：． 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为 ． 【答案】75° 【详解】在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB， ∴∠AEB=∠EAD=45°， ∴BE=BA． ∵∠OAD=∠ODA=30°， ∴∠BAC=60°． 又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴BO=BA，∴BO=BE． ∵AD∥BC，∴∠OBE=∠ADO=30°，∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°． 5．在矩形中，E、F分别在和上，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，由垂直及可判定是等腰直角三角形，则有，再由矩形的性质可得，利用勾股定理可求得的长度，即可求． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，在矩形中，平分，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，从而得到，是等边三角形，进而得到，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 7．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由中位线定理可得点的运动轨迹是线段，再由垂线段最短可得当时，取得最小值，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，由勾股定理求出、、的长，由三角形中位线定理得出的长，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结果． 【详解】解：当点与点重合时，点在处，， 当点与点重合时，点在处，， 且， 当点在上除点、的位置处时，有， 由中位线定理可知：且， 点的运动轨迹是线段，如图所示， 当时，取得最小值， 四边形是矩形， ，，， ， 为的中点， ， 连接、，作于，作于， 则的最小值为的长，是的中位线， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 设，则， 由勾股定理得： ， 即， 解得：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 8．如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为，过点D作轴，轴，点E为y轴上一点，将沿直线折叠，点A落在边上的点F处． (1)请你直接写出点A的坐标； (2)求的长； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，再结合的坐标即可得出结果； （2）根据折叠的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得出的长，设，在中根据勾股定理得出等式求解得出的长即可； （3）根据折叠的性质可知，四边形的面积，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵的坐标为， ∴， ∴； （2）∵将沿直线折叠，点落在边上的点处． ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， （3）由（2）知， 由折叠的性质可知，， ∴四边形的面积 9．如图，一块长方形场地的长为，宽为，于E，于F，连接，现计划在四边形区域内种植一种花草，已知该种花草的价格是150元/，若把四边形区域种满这种花草，需多少元？    【答案】元． 【分析】本题主要考查矩形的性质以及勾股定理的应用，此题关键是求出四边形EDFB的面积，而面积的求出可由原矩形面积减去外围四个三角形的面积，外围四个三角形面积都相等，只要求出一个即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴, ∴， 同理． ∴． 在中，且，， ∴ 连接交于点O，则    设则 又 ∴， 解得，，即， ∴， ∴． ∴． ∴． 又花草的价格是每平方米150元， 所以共需元． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$