25.1.2.3 三角形的中位线（分层练习，4大题型）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

25.1.2.3 三角形的中位线（分层练习，四大题型） 考查题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．作，连接并延长交于，连接，首先证明，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可． 【详解】作，连接并延长交于，连接， 在和中， 在中 故选：B． 2．如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）    A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出，再代入计算即可． 【详解】解：在Rt中，， 由勾股定理得： 平分， 分别为的中点， 故选A． 考查题型二、与三角形中位线有关的面积问题 3．如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答．关键是根据三角形的面积得出的面积的面积，的面积的面积． 【详解】解：∵D，E，F分别是的边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴的面积相等， ∴， 故选：B 4．如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，因为点F是的中点，所以的底是的底的一半；同理，D、E、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：∵点F是的中点，的底是，的底是， ∴， ∴ ， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即阴影部分的面积为． 故选：A． 5．如图，在中，D、E分别为与边的中点．，则 【答案】5 【分析】由三角形的面积及三角形中线的性质可得出答案． 【详解】解：点为的边的中点， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形面积公式，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 6．如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．    【答案】8 【分析】根据中线的性质，可得，同理可得，，，即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点D，E，F，G分别是，，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， 同理可得：，，， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 考查题型三、与三角形中位线有关的证明 7．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， 点D是的中点， 、分别是、边上的中点， ，故①②⑤正确； ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分；故③④正确； 则正确的有5个， 故选：D． 8．已知：如图，为中边的延长线上一点，且，连接，分别交、于点、，连接交于，连接，判断与的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 【答案】，，见解析． 【分析】先证明，从而得出，这样就得出了是的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段与线段的关系． 【详解】解：，，理由： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴，． ∵， 在平行四边形中，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及其应用． 考查题型四、三角形中位线的实际应用 9．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E是，的中点，， ∴， 故答案为：． 10．如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， 分别是的中点， ， 是的中位线， ， 需要篱笆的长是． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到． 1．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】延长交于E，利用“”证明得到，，再根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可求解． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∴，又， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的面积是解答的关键． 2．如图，中，，，点E是的中点，若平分，，线段的长为 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半． 延长交于，证明，则， ，，可证是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意知，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 3．在平行四边形中，点O是对角线、的交点，点E是边的中点，且，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质判断出点是中点，得出是的中位线．先说明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】解：的对角线、相交于点， ， 点是的中点， ， 是的中位线， ． 故答案为：25． 4．如图，是边长为1的等边三角形，取边的中点E，作交于点D，交于点F，得到四边形，它的面积记作；取边的中点E1，作交于，交于点得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形中线的性质、图形类规律探索问题，先根据是等边三角形可求出的高，再根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值．熟练掌握相关知识点，准确找出规律是解题的关键． 【详解】解：是边长为1的等边三角形， 的高， 、是的中位线， ， ， 同理可得，； ， ； ． 故答案为：． 5．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，，则O到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于，过点作于点，由翻折性质可证，得出为的垂直平分线，由平行四边形的性质求出，由中位线性质求出，由勾股定理求出，的长，再利用即可求出的长，得出最后结论． 【详解】解：连接交于，过点作于点， 由翻折性质可知，，， 又， ， ，， 为的垂直平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，, ，分别为，的中点， ∴是的中位线， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，正确作出辅助线，利用中位线性质求出的长度，是解答本题的关键． 6．如图，在中，D、E分别为的中点，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线的性质先求得、进而求得，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份是解题的关键． 【详解】解：∵D分别为的中点， ∴, 同理可得：． 故答案为2． 7．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交的延长线于点，根据翻折得垂直平分，结合，根据中位线的性质的得出，，求出的长，根据勾股定理计算，得出、的长，根据计算即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点， ∵将沿着直线翻折得到， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵点是边的中点，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式等，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是 ．    【答案】9 【分析】本题考查的三角形的中线与三角形的面积之间的关系，考查了底不等而高相同的两个三角形的面积关系，连接，设，利用及中点，分别表示四边形的面积与的面积，利用的面积最大，四边形的面积最大，是解决问题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， 设，则， ∵为的中点， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的面积， ∴的面积最大，四边形的面积最大， ∴当时，的面积最大，四边形的面积最大， 此时四边形的面积， 故答案为：9． 9．如图，在四边形中，对角线平分，．          (1)求证：； (2)连接交与点，请直接写出与之间的关系：________； (3)，是的高，连接，若，四边形的面积为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）延长，在的延长线上截取，利用证明，得，从而得出结论； （2）设，则，，即可得出结论； （3）延长、交于，作于，说明，得，可知，再说明点为的中点，得出四边形的面积为，从而解决问题． 【详解】（1）证明：延长，在的延长线上截取， 则， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长、交于，作于， ，，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 四边形的面积为， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，证明点为的中点，将四边形的面积转化为面积的2倍是解题的关键． 10．已知以的边为边向外作等腰和，，，，分别为中点，连，，． (1)若，求的长； (2)求； (3)的长度的最大值为______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）先证明，得到，由得到，利用勾股定理即可求解； （）分别证明，，推导出，在和利用勾股定理构建方程即可求解； （）由（）知，，由三角形的中线可得，可证明到等腰直角三角形的性质，当点三点共线是最大，最大值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）连接相交于点，相交于点， ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点使，连接，延长交于点， ∵使中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，，是中点， 设，，则，， 在和中， 即，解得 ∴； （3）如图，取的中点，连接，连接，相交于点，相交于点，相交于点， 由（）可得，，， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴等腰直角三角形的性质， ∵， ∴当点三点共线是最大，最大值为， ∴的最大值， ∴的长度的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.1.2.3 三角形的中位线（分层练习，四大题型） 考查题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（） A． B． C． D． 2．如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）    A． B．1 C．2 D． 考查题型二、与三角形中位线有关的面积问题 3．如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D、E分别为与边的中点．，则 6．如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．    考查题型三、与三角形中位线有关的证明 7．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知：如图，为中边的延长线上一点，且，连接，分别交、于点、，连接交于，连接，判断与的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 考查题型四、三角形中位线的实际应用 9．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 10．如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 1．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，中，，，点E是的中点，若平分，，线段的长为 ． 3．在平行四边形中，点O是对角线、的交点，点E是边的中点，且，，则 ． 4．如图，是边长为1的等边三角形，取边的中点E，作交于点D，交于点F，得到四边形，它的面积记作；取边的中点E1，作交于，交于点得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则的值为 ．    5．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，，则O到的距离为 ． 6．如图，在中，D、E分别为的中点，且，则 ． 7．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 8．如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是 ．    9．如图，在四边形中，对角线平分，．          (1)求证：； (2)连接交与点，请直接写出与之间的关系：________； (3)，是的高，连接，若，四边形的面积为2，求的长． 10．已知以的边为边向外作等腰和，，，，分别为中点，连，，． (1)若，求的长； (2)求； (3)的长度的最大值为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$