25.1.2.2 平行四边形的判定（2）（分层练习，4大题型）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册-

25.1.2.2平行四边形的判定（2）（分层练习，四大题型） 考查题型一、面积问题 1．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（    ） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 2．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．17 C．13 D．10 3．如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 考查题型二、平行四边形个数问题 4．如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 考查题型三、利用平行四边形求线段长度 5．如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（    ） A．10 B．12． C．15 D．18 6．如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 考查题型四、利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定 7．如图，，，垂足为点E，，垂足为点F，并且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 12．如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形． 8．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，    (1)求证：． (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 1．如图，在中，，D是的中点，，，若，，下列说法：①四边形是平行四边形；②是等腰三角形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，四边形中，．M是的中点，则的长为(   ) A． B．2 C． D．3 3．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（    ）    A．3 B．6 C． D． 4．如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 5．如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在平行四边形中，点E在上，点F在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若为的角平分线，且，求的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A、B的对应点C、D．连接、、．    (1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积； (2)在y轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点F是射线上一个动点，连接、，请直接写出、、之间的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.1.2.2平行四边形的判定（2）（分层练习，四大题型） 考查题型一、面积问题 1．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（    ） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 【详解】解：由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变， 故不符合题意， 故选：． 2．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．17 C．13 D．10 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， 四边形为平行四边形， ，， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， 四边形为平行四边形， ， 阴影部分的面积． 故选：B．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 3．如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵沿向右平移得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质． 考查题型二、平行四边形个数问题 4．如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点作直线、分别平行于、， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∴加上共9个； 故选D． 考查题型三、利用平行四边形求线段长度 5．如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（    ） A．10 B．12． C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形，得到，然后由，求得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：A． 6．如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 考查题型四、利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定 7．如图，，，垂足为点E，，垂足为点F，并且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关判定方法． （1）通过证明即可求解； （2）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，求证即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 12．如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，先根据证出，从而得到，根据等角的补角相等可得，从而得到，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形是平行四边形，解题的关键在于先通过全等三角形证出． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 8．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，    (1)求证：． (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，见解析 【分析】（1）通过全等三角形≌的对应边相等证得； （2）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴， 由（1）知，≌， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 1．如图，在中，，D是的中点，，，若，，下列说法：①四边形是平行四边形；②是等腰三角形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含角的直角三角形等知识点，熟记相关数学结论是解题关键．①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断；②根据，且D是的中点，即可判断；③分别求出，即可判断；④根据四边形的面积，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵，且D是的中点， ∴垂直平分 ∴ 故是等腰三角形，故②正确； ∵，， ∴ ∴， ∴四边形的周长是：，故③正确； 四边形的面积是：，故④错误； 故选：B 2．如图，四边形中，．M是的中点，则的长为(   ) A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】延长到E使，则四边形是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到，根据跟勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】：延长到E使， ∵， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴， ∵， ∴C是的中点， ∵M是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（    ）    A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作，使，连接，，则，四边形是平行四边形，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，过作，使，连接，，    ∴，四边形是平行四边形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵点F是的中点， ， 在与中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5．如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形是平行四边形，可证，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 6．如图，在平行四边形中，点E在上，点F在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若为的角平分线，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）平行加角平分线得到，利用，进行计算即可． 掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A、B的对应点C、D．连接、、．    (1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积； (2)在y轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点F是射线上一个动点，连接、，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在，点E的坐标为或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，可得点A，B的坐标，再根据平移的性质得出点C，D的坐标，证明四边形是平行四边形，从而可求得面积； （2）设，分两种情况：①当点E在y轴正半轴时，如图1，过点D作轴于H，则，②当点E在y轴负半轴时，如图2，分别表示出和，再根据的面积是面积的2倍列方程求出x即可； （3）分两种情况：当点F在线段上时；当点F在线段的延长线上；分别利用平行线的性质得出相等的角，再根据角的和差关系等量代换得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，即，且轴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积； （2）存在； 设， ①当点E在y轴正半轴时，如图1，过点D作轴于H，则，    ∵， ∴， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点E的坐标为； ②当点E在y轴负半轴时，如图2，    则， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得：， ∴此时点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或； （3）当点F在线段上时，作，如图3，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 当点F在线段的延长线上时，作，如图4，      ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上，若点F是射线上一个动点，则或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等知识，画出图形，正确分类讨论是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$