第二章 专题强化6 水平面的圆周运动的临界问题-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（粤教版）

DIERZHANG 第二章 专题强化6　水平面的圆周运动的 临界问题 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找出它们的临界条件(重点)。 2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 学习目标 2 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1.水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到 。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为 。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到 承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为 。 最大值 0 最大 0 2.解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 　(多选)(2023·广东惠州校考)如图所示，用同种材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量的关系mA＝mB＝2mC，转动半径之间的关系是rC＝rA＝2rB，下列说法中正确的是 A.物体A受到的摩擦力最大 B.物体B受到的摩擦力和C一样大 C.物体B的向心加速度最大 D.转台转速加快时，物体A比物体C先开始滑动 例1 √ √ A、B、C三个物体的角速度相同，设角速度为ω，则三个物体受到的静摩擦力分别为fA＝mAω2rA 所以物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力和C一样大，A、B正确； 根据向心加速度a＝ω2r，ω相同，B的半径r最小，则物体B的向心加速度最小，C错误； 三个物体受到的最大静摩擦力分别为fAm＝μmAg fBm＝fAm＝μmAg 当物体恰好滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg＝mω2r， 　(多选)某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的中轴上O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，木箱里放着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹角为θ＝53°，且恰好处于伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊(可视为质点)的总质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速 度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动 下，让水平圆台缓慢加速运动。则 例2 √ √ √ 　如图所示，AB为竖直转轴，在细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m。ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时小球的速度大 小分别为(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) A.AC　5 m/s B.BC　5 m/s C.AC　5.24 m/s D.BC　5.24 m/s 例3 √ 小球线速度增大时，BC逐渐被拉直，当线速度增至BC被拉直时，在竖直方向上，对小球有TAsin 53°＝ mg，解得AC绳中的拉力TA＝ ，在水平方向，对小球由牛顿第二定律有TAcos 53°＋TB＝ ，可知线速度增大时，TA不变而TB增大，所以BC绳先断。 　(2022·罗平县第二中学高一期中)如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求： (1)小球静止时所受拉力和支持力大小； 例4 对小球受力分析可知 (2)小球刚要离开锥面时的角速度； 小球刚要离开锥面时FN＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 mgtan θ＝mrω02 r＝Lsin θ 说明小球已离开锥面，FN＝0 设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示 则有T1sin α＝mω12L sin α， 解得T1＝3mg。 答案　3mg　0 专题强化练 1.(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则 A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D.若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础强化练 √ 杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误； 杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确； 杯子做匀速圆周运动F＝f＝mω2r，离转盘中心越近，所需摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误； 根据f＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩 　擦因数μB √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误； 物块做匀速圆周运动，向心力F＝　 ，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误； 由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B 的摩擦力等于2F，故C正确； 若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。 3.(多选)(2023·广东佛山高一校考)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发 生滑动时，烧断细线，则 A.两物体均沿切线方向滑动 B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小 C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动 D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越 来越远 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B靠指向圆心的静摩擦力 和沿绳指向A的拉力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小。故B、D正确，A、C错误。 4.(2023·广东深圳红岭中学高一校考期中)如图甲，传统吹糖技艺为我们展现了中国非物质文化遗产的独特魅力，向人们生动传述着不朽的民间手艺与文化记忆。其中，甩糖是中国传统糖塑的重要表现形式之一，可简化成图乙，糖丝AC、BC可视为细线，其一端系在竖直杆上，另一端共同系着质量为m的麦芽糖C。当系统绕竖直杆以角速度ω水平旋转时，两根细线均处于伸直状态，下列说法正确的是 A.麦芽糖一定受到三个力作用 B.麦芽糖可能受两个力作用 C.增大角速度，细线AC的拉力减小，BC的拉力增加 D.增大角速度，细线AC的拉力增加，BC的拉力减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意分析，竖直方向受力平衡，水平方向做圆周运动，所以麦芽糖一定受重力、细线AC的拉力，但是糖丝BC的拉力可能有也可能没有，故A错误，B正确； 设细线AC与竖直方向的夹角为θ，细线BC与竖直方向的夹角为α，竖直方向满足FACcos θ＝mg＋FBCcos α，水平方向满足FACsin θ＋FBCsin α＝mω2r，可知随着角速度的增大，两细线的拉力均增大，故C、D错误。 5.(多选)(2023·广东广州高一期中)如图所示为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一短一长的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A.角速度慢慢增大，绳长的球先离开圆锥筒 B.角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒 C.两球都离开圆锥筒后，相较于原位置上升的高度相同 D.两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ＝mω2lsin θ，解 得ω＝ ，绳子越长的球其角速度的临界值越小， 越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误； 两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角速度，小球的高度h＝lcos θ，代入上式解得h＝ ，故C正确； 由以上分析可知，绳长的小球先离开圆锥筒，绳短的小球离开圆锥筒时，两绳与竖直方向的夹角不同，绳中拉力大小不同，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(2022·北京临川学校高一期中)如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则 A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对小球，由牛顿第二定律，有 FN1＋FN2cos θ＝mg 可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零，底面对小球的支持力FN1可能为零。所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用。由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(2023·广东惠州高一校考阶段练习)如图所示，长L＝1 m的细线OA一端吊着一个质量m＝0.4 kg的小球(视为质点)，另一端系于竖直杆顶端O点，使小球在水平面内绕竖直杆做匀速圆周运动，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)求当小球转动的角速度ω＝ rad/s时，细线OA与竖直方向的夹角θ； 答案　60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当小球转动的角速度ω＝ rad/s时，由牛顿第二定 律可得 mgtan θ＝m·Lsin θ·ω2 解得细线OA与竖直方向的夹角为θ＝60° (2)若在竖直杆底端O′点与小球间系一长L′＝0.6 m的细线O′A，让竖直杆带动小球转动，当O′A被拉直时，O′A恰好与OO′垂直，细线能承受的最大拉力大小F＝21 N，求小球转动的最大角速度ωmax。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　10 rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 O′A被拉直时，O′A恰好与OO′垂直，可知细线OA与竖直方向夹角满足 解得α＝37° 竖直方向由平衡条件可得Tcos α＝mg 解得细线OA上的拉力恒为T＝5 N 水平方向由牛顿第二定律可得Tsin α＋F＝mL′ωmax2 解得ωmax＝10 rad/s。 8.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是 A.此时细线张力为T＝4μmg B.此时圆盘的角速度为ω＝ C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D.若此时烧断细线，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆 盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得：T＝ 3μmg，ω＝ ，此时A所需的向心力大小为FnA＝mω2r＝2μmg，B所 需的向心力大小为FnB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断细线，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故B正确，A、C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(2023·广东东莞高一校考)如图所示，为游乐场中的水平大转盘简化图，两个质量不同的同学，穿着同样的校服，坐在转盘中，到转盘中心的距离r不同，转盘绕竖直轴转动，当转盘从静止开始逐渐增大转速的过程中(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，下列判断正确的是 A.质量小的先被甩出去， 与所坐的位置无关 B.距转盘中心远的先被甩出去，与质量无关 C.如果两人拉起手来， 则两人都更容易被甩出去 D.如果两人拉起手来， 则两人都更不容易被甩出去 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由于两人穿着同样的校服，表明人与转盘间的动摩擦因数相同，当人随转盘转动过程中，由静摩擦力提供向心力，则f＝mω2r，又最大静摩 擦力fmax＝μFN＝μmg，联立得，人能够与转盘保持相对静止的最大角 速度ω＝ ，可知人被甩出去的先后情况与质量无关，距离转盘中 心越近的人与转盘保持相对静止的最大角速度越大，即距转盘中心远的先被甩出去，与质量无关，A错误，B正确； 两人拉起手来后，随角速度的增大，距离转盘中心远的先达到最大静摩擦力，随后人手拉紧，施加拉力，当距离转盘中心近的人的摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度达到人能够与转盘保持相对静止的最大角速度，则在手施加拉力后，对距离远的人有T＋μm1g＝m1ω′2r1 对距离近的人有μm2g－T＝m2ω′2r2 如果两人拉起手来，距离转盘中心远的人更不容易被甩出去，距离转盘中心近的人更容易被甩出去，C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(多选)(2022·广东实验中学高一期末)如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点)，圆锥静止时，轻绳平行圆锥面，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，由图乙可知 A.绳长为l＝2 m B.小球质量为0.5 kg C.母线与轴线之间夹角θ＝30° D.小球的角速度为2 rad/s时，小球已离开锥面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当小球将要离开锥面时，分析小球受力得Fsin θ＝mω2lsin θ，即F＝mlω2， 由题图乙可知，离开锥面后ml＝1，当 小球未离开锥面时，分析小球受力得，水平方向上有Fsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，竖直方向上有Fcos θ＋FNsin θ＝mg，二式联立可得F＝mlω2sin2θ＋mgcos θ， 则k＝mlsin2θ＝ ，mgcos θ＝4 N，所以θ＝37°，m＝0.5 kg，l ＝2 m，A、B正确，C错误； 由题图乙可知，当ω＝2 rad/s时，小球没离开锥面，D错误。 11.(2023·广东广州高一期中)如图所示，两绳系一质量m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，(g取10 m/s2)问： (1)球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 答案　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当AC绳拉直但没有力的作用时，即T1＝0时，由重力和绳BC的拉力T2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mgtan 45°＝mωmax2r， 其中r＝Lsin 30°， 解得ωmax≈3.16 rad/s。 当T2恰为零时，根据牛顿第二定律，有 mgtan 30°＝mωmin2r， 解得ωmin≈2.40 rad/s， 所以当2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s时，两绳始终张紧。 (2)当角速度为3 rad/s时，上、下两绳的拉力分别为多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　0.27 N　1.08 N 当ω＝3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受mg、T1、T2三力作用，如图所示，正交分解后可得， 水平方向：T1sin 30°＋T2sin 45°＝mω2Lsin 30°， 竖直方向：T1cos 30°＋T2cos 45°＝mg， 代入数据后解得T1≈0.27 N，T2≈1.08 N。 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com  fB＝mBω2rB＝mAω2rA  fC＝mCω2rC＝mAω2rA＝fB  fCm＝μmCg＝μmAg 解得ω＝，则物体B的临界角速度最大，物体A和物体C的临界角速度相等，则转台转速加快时，物体A和物体C同时开始滑动，D错误。 A.当圆台的角速度ω＝时，细绳中无张力 B.当圆台的角速度ω＝时，细绳中有张力 C.当圆台的角速度ω＝时，圆台对木箱无支持力 D.当角速度ω＝时，圆台对木箱有支持力 细绳中恰好无张力时，静摩擦力达到最大值，提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得ω＝，所以当ω≤时，细绳中无张力；ω>时，细绳中有张力，故A、B正确； 圆台对木箱恰好无支持力时mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝，即当ω≥时，圆台对木箱无支持力，故C正确，D错误。 m 当AC绳刚要被拉断时与竖直方向的夹角为α，对小球受力分析得TA′cos α－mg＝0，TA′sin α＝m，r′＝sin α，TA′＝2mg，解得α＝60°，v＝5 m/s，故选B。 答案　mg　mg T＝mgcos θ＝mg FN＝mgsin θ＝mg 答案　 解得ω0＝＝ 因为ω1＝>ω0＝ (3)小球以ω1＝的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。 m C.当v0<时，小球对底面的压力为零 D.当v0＝时，小球对侧壁的压力为零 FN2sin θ＝m 当v0<时，FN1＝mg－>0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 2 2 sin α＝＝ 解得ω′＝>，ω′＝<， $$