第十七章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，在中，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 5．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 7．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，5，2，以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知三角形的三边长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ） A． B． C． D． 10．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 11．如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 12．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 14．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 15．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．. 17．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．    18．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元 19．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(7分)如图，在直角三角形中，，若，，求边的长． 21．(6分)如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元? 22．(7分)已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值． 23．(6分)湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米． 求：（1）两棵景观树之间的距离； （2）点B到直线AC的距离． 24．(8分)如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从地沿到达地，为10米，第二条路是从地沿折线到达地，为8米，为6米，第三条路是从地沿折线到达地共行走26米，若刚好在一条直线上．    (1)求证：； (2)求和的长． 25．（8分）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 26．（8分）如图，正方形网格中的两个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，一个顶点为格点的三角形称为格点三角形： （1）如图①，已知格点，则______（是或不是）直角三角形： （2）画一个格点，使其为钝角三角形，且面积为 27．（12分）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，在中，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案． 【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ． 故选：D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 5．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 6．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 7．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，5，2，以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．利用两短边的平方和与第三边的平方的关系，进行判断即可．熟记常见的勾股数，可以快速解题． 【详解】解：①，不能构成直角三角形； ②，能构成直角三角形； ③，不能构成直角三角形； 综上所述：能构成直角三角形的组数为②，共一组. 故选B． 8．已知三角形的三边长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，可得该三角形为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长为， ∵， ∴该三角形为直角三角形，且两直角边分为为，斜边为， ∴该三角形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定三角形是否是直角三角形是解题的关键． 9．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， AC＝＝＝80m 所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一． 10．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 11．如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 【答案】D 【分析】如图，边长为的大正方形的面积等于个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积加上边长为的小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：， 整理得：， 即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是利用面积法证明勾股定理． 12．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺， 根据题意，得， 故答案为：A． 13．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴AB2+AC2=BC2=25， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠BAC=90°． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 14．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下： ∴在中，（）， ∴蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度为：． 故选：C．    15．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．. 【答案】直角 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案． 【详解】∵32+72=58， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的运用. 17．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．    【答案】4 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果． 【详解】解：依据题意可得：， ， 少走了， 2步为1米， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 18．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元 【答案】10800 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得为直角三角形，CD为斜边；由此可知，四边形ABCD由和构成，即可求解． 【详解】解：在中， ∵， ∴AC=5． 在中，，， 而， 即， ∴， 即： =． 所以需费用：（元）． 故答案为10800． 【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 19．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(7分)如图，在直角三角形中，，若，，求边的长． 【答案】12 【分析】利用勾股定理求出BC的长即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13， ∴AC==12． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键． 21．(6分)如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元? 【答案】4800元 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可． 【详解】解：连接AC 在Rt△ACD中， ∵CD＝3，AD＝4 ∴AC＝=5 又∵BC＝12，AB＝13 ∴AC2+BC2＝AB2 ∴∠ACB＝90° ∴m2 ∴共需24200＝4800元 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 22．(7分)已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值． 【答案】a2+b2＝25，a2﹣b2＝7． 【分析】根据勾股定理，长方形的面积为24，正方形的面积计算方法，列出关于a、b方程组，然后求解． 【详解】解：根据题意得 a2+b2＝52＝25， a•2b＝24， ∴a2+b2+2ab=49， ∴a+b＝7， 由图2得（a-b）2=52-24=1， ∵a＞b， ∴a-b=1， ∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=7×1=7， ∴a2+b2＝25，a2﹣b2＝7． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形．解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系． 23．(6分)湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米． 求：（1）两棵景观树之间的距离； （2）点B到直线AC的距离． 【答案】（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）因为是直角三角形， 所以由勾股定理，得． 因为米，，所以． 因为，所以米． 即A，B两点间的 距离是40米． （2）过点B作于点D． 因为， 所以． 所以（米）， 即点B到直线AC的距离是24米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式． 24．(8分)如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从地沿到达地，为10米，第二条路是从地沿折线到达地，为8米，为6米，第三条路是从地沿折线到达地共行走26米，若刚好在一条直线上．    (1)求证：； (2)求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为17米，的长为9米 【分析】（1）通过计算得出，再根据勾股定理的逆定理即可证明． （2）先设一条线段长x，根据已知条件及勾股定理可列出关于x的方程，然后求解即可． 【详解】（1）证明：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）解：设米，则米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：， 解得：，则． 答：的长为17米，的长为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在． 25．（8分）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 26．（8分）如图，正方形网格中的两个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，一个顶点为格点的三角形称为格点三角形： （1）如图①，已知格点，则______（是或不是）直角三角形： （2）画一个格点，使其为钝角三角形，且面积为 【答案】（1）不是  （2） 【详解】试题分析：（1）根据勾股定理，求出AB、BC、AC的长度，再判断；（2）构造面积为4，且有一个钝角的三角形即可； 试题解析： 因为小正方形的边长都是为1， 所以 ， 所以 ， 所以， 所以不是直角三角形； 如图所示： 因为的面积为4，所以当底边EF为2时，则高为4，即点D到EF的距离为4，  又因为是钝角三角形，所以点D在点E的左边或点F的右边； 27．（12分）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 【答案】(1)证明见详解 (2)“勾股风车”图案的面积为 (3) 【分析】（1）根据图形可知，由此即可求解； （2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积； （3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，，设直角三角形的两条直角边分别为，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由图①可知， ∵， ∴， 即． （2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廓（粗线）的周长为24，，设， ∴，即， ∴， 在中，，，， ∴，解方程得，，即， ∴，， ∴， ∴“勾股风车”图案的面积是． （3）解：设，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$