2.4 导数的四则运算法则学案 -2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.4 导数的四则运算法则 【学习目标】 1.熟记基本初等函数的导数公式,理解导数的运算法则,通过理解导数的四则运算,探究公式的形成过程,提高学生研究问题、解决问题的能力.(数学抽象) 2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数,通过对导数公式的应用,提高学生处理问题的能力.(逻辑推理) 3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数,通过对导数公式和其他知识的综合运用,培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.(数学运算) 【自主预习】 运用定义法求解导数运算太复杂,有时甚至无法完成.是否有更简单的求导方法呢? 1.求y=(2x2+3)(3x-2)的导数. 2.求y=的导数. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　) (2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　) 2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　). A.ex(x+1) B.1+ex C.x(1+ex) D.ex(x-1) 3.若y=,则y'=　　　　.  4.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.  【合作探究】 探究1 函数和与差的求导法则 问题1:观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x;与导数f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么发现和猜想? 问题2:如何证明你的猜想? 问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗?如果可以,写出推广形式. 新知生成 1.两函数和与差的导数 一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). 特别地,[f(x)±c]'=f'(x). 2.两函数和与差的导数的拓展 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x). 新知运用 例1　求下列函数的导数. (1)y=x2+log3 x;(2)y=sin x-2x2. 【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解. 求下列函数的导数. (1)y=5-4x3;(2)y=lg x-. 探究2 函数积与商的求导法则 假设f(x)=sin x,g(x)=ex. 问题1:你能求出[f(x)g(x)]'吗? 问题2:你能求出'吗? 新知生成 1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=c时,[cf(x)]'=cf'(x). 2.'=(g(x)≠0). 新知运用 例2　求下列函数的导数. (1)y=cos x·ln x; (2)y=x3·ex; (3)y=. 【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解. 求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=2xcos x-3xlog2020x; (3)y=x·tan x. 探究3 导数的四则运算的应用 例3　已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R). (1)若曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为a,试求点P的横坐标; (2)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,求a的值以及切线l的方程. 【方法总结】　　利用导数的四则运算法则求解问题,一定要熟悉运算法则,特别是对复杂结构的函数求导.这一过程体现了数学运算素养. 1.已知某运动物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位:m,时间单位:s),求t=3 s时物体的瞬时速度. 2.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程. 【随堂检测】 1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是(　　). A. B. C. D. 2.已知函数f(x)=,则该函数的导函数f'(x)=(　　). A. B. C. D.2x-cos x 3.在一次降雨过程中,某市的降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=,则在t=40 min时的降雨强度为　　　　mm/min.  4.已知函数f(x)=x2+xln x. (1)求函数f(x)的导数f'(x); (2)求函数f(x)在x=1处的切线方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 导数的四则运算法则 【学习目标】 1.熟记基本初等函数的导数公式,理解导数的运算法则,通过理解导数的四则运算