第06讲 变化率和导数的几何意义（4考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第06讲 变化率和导数的几何意义 课程标准 学习目标 ①平均变化率 ②瞬时变化率 ③导数的概念和几何意义 1. 能够理解变化率和导数的概念，包括平均变化率定义及其计算方法。 2. 掌握导数的运算法则，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握导数的几何意义，并能够熟练运用其解决相关题目。 知识点01 平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【即学即练1】已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 知识点02 瞬时变化率 瞬时变化率：=. 【即学即练2】函数在处的瞬时变化率为 ． 知识点03 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 【即学即练3】已知函数在上存在导数，且，则 . 知识点04 导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 【即学即练4】如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 题型01 平均变化率和瞬时变化率 【典例1】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【变式1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【变式3】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【变式4】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【变式5】（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【变式6】已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 题型02 导数的概念 【典例2】设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2】如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式3】已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4】设函数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式5】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式6】（多选）若函数在处存在导数，则的值（    ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 题型03 导数的几何意义 【典例2】已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 【变式3】下面说法正确的是(    ) A．若不存在，则曲线在点处没有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【变式4】已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式5】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式6】设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【变式7】已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 1.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 2．若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 4．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 5.已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 6．设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 7．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ． 10．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 11．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 12．若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 13．车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为． (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． 14．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 15．已知函数，求． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 变化率和导数的几何意义 课程标准 学习目标 ①平均变化率 ②瞬时变化率 ③导数的概念和几何意义 1. 能够理解变化率和导数的概念，包括平均变化率定义及其计算方法。 2. 掌握导数的运算法则，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握导数的几何意义，并能够熟练运用其解决相关题目。 知识点01 平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【即学即练1】已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 知识点02 瞬时变化率 瞬时变化率：=. 【即学即练2】函数在处的瞬时变化率为 ． 【答案】 【详解】增量为． 函数的平均变化率为， 而．． 故答案为：. 知识点03 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 【即学即练3】已知函数在上存在导数，且，则 . 【答案】 【详解】因为， 又，所以， 故答案为：. 知识点04 导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 【即学即练4】如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故， 因此， 故选：A 题型01 平均变化率和瞬时变化率 【典例1】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【变式1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】函数从到的平均变化率为． 故选：B 【变式2】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴. 故选：C． 【变式3】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【详解】， 所以． 故选：D． 【变式4】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 【变式5】（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【答案】CD 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值. 故选：CD. 【变式6】已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【详解】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 题型02 导数的概念 【典例2】设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 即. 故选：C 【变式1】若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】∵图象过原点，∴， ∴， 故选：C 【变式2】如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 【变式3】已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意，知. 故选：B 【变式4】设函数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A. 【变式5】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得. 故选：B. 【变式6】（多选）若函数在处存在导数，则的值（    ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 【答案】AD 【详解】由导数的定义可知，， 函数在处的导数与有关，与h无关， 故选：AD． 题型03 导数的几何意义 【典例2】已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴． 故选：A． 【变式1】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 【变式2】已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 【答案】C 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 【变式3】下面说法正确的是(    ) A．若不存在，则曲线在点处没有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】C 【详解】的几何意义是曲线在点处切线的斜率， 当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线. 故选：C. 【变式4】已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】由图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知， 故选：B. 【变式5】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 【变式6】设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 【变式7】已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 1.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 2．若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设在时，气球的半径为，则，则气球的表面积， 因为， 因此时，该气球表面积的增长速度为． 故选：A. 3．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 故选：D. 4．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【详解】由题意可知，， 由导数的物理意义可知， 在4秒末的瞬时速度等于米/秒. 故选：A 5.已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知函数在点处的切线斜率小于0，即； 在点处的切线斜率等于0，即， 在点处的切线斜率大于0，即， 所以. 故选：B. 6．设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得， 曲线在处的切线斜率为， 令，则原式． 故选：B. 7．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 8．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题图知函数是单调递增的， 则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零． 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以． 如图，记，连接． 直线的斜率． 由函数图象知：， 即， 故选：B． 9．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设， 则， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取，则. 故答案为： 10．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】设切线的倾斜角为，则，又，则. 故答案为： 11．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 12．若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 14．车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为． (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）车轮旋转4圈的角度，故， 故时间内车轮的平均角速度为． （2）时刻车轮的瞬时角速度为： ． 15．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 16．已知函数，求． 【答案】10 【详解】因为，所以: ， 故． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$