第六章 专题强化 竖直面内的圆周运动-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）浙江

专题强化　竖直面内的圆周运动 [学习目标]　掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2．小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 例1　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。 答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s 解析　(1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。 例2　杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求： (1)在最高点水不流出的最小速率； (2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。 答案　(1) m/s　(2)10 N 解析　(1)在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小，即mg＝m，r＝ 解得vmin＝ m/s (2)因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有FN＋mg＝m 解得FN＝10 N 由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力为FN′＝FN＝10 N。 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 例3　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。 答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s 解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m，代入数据解得v1＝＝ m/s (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg－F1＝m，代入数据得：F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律有F2＋mg＝m，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝m，代入数据解得v4＝6 m/s。 例4　如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球(　　) A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力方向向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 答案　C 解析　由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；小球通过最低点时由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向向上，则小球受到的弹力方向也向上，故C正确；在下半圆运动时，只受到外侧管壁弹力，故D错误。 专题强化练 1.(2023·温州市高一校联考期中)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．小球过最高点时，绳子张力可以为零 B．小球过最高点时的速度是0 C．小球做圆周运动过最高点时的最小速度是 D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反 答案　A 解析　小球过最高点绳子的拉力为零时，速度最小，根据mg＝m得，v＝，可知在最高点的最小速度为，故A正确，B、C错误。 绳子只能表现为拉力，在最高点时，绳子的拉力不可能与重力方向相反，故D错误。 2.(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　) A．方向一定竖直向上 B．方向可能竖直向下 C．大小可能为0 D．大小不可能为0 答案　BC 解析　设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错误。 3．(2023·衢州市高一校考期中)如图所示，半径为1 m的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为0.5 kg的小球(小球直径略小于管内径)做圆周运动。小球经过圆管最高点P时的速度大小为3 m/s，重力加速度g取10 m/s2，则小球在P点时(　　) A．受到外轨道0.5 N的压力 B．受到内轨道0.5 N的支持力 C．受到外轨道9.5 N的压力 D．受到内轨道5.0 N的支持力 答案　B 解析　小球在P点时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝ 其中r＝1 m，m＝0.5 kg，v＝3 m/s 代入解得F＝－0.5 N 故小球受到内轨道竖直向上的支持力，大小为0.5 N，故选B。 4．(多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位可能产生大小为mg的压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案　BD 解析　在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力mg＝m，得临界速度为v0＝，当速度v>时，人对座位产生压力，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误；当人在最高点的速度v>时，人对座位有压力，当人对座位压力为mg时，有mg＋mg＝m，解得v＝，所以当人在最高点速度为v＝时，人在最高点对座位压力大小为mg，故B正确；人在最低点时，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，故FN>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 5.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　) A．v的最小值为 B．当v＝时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C．当v＝时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D．当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 答案　C 解析　小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a＝可知，当v＝时，小球的加速度为a＝g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v＝时，小球需要的向心力为Fn＝m＝2mg＝F弹＋mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v<时，小球需要的向心力Fn＝m<mg，可知小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg－FN＝m，可得FN＝mg－m，则v逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力FN逐渐增大，故D错误。 6.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B。 7.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，不计空气阻力，重力加速度为g。小球通过最高点B时 (1)若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg，求小球从管口飞出时的速率v1； (2)若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v2； (3)若小球第一次以v1飞出管口，第二次以v2飞出管口，求两次落地点间的距离。 答案　(1)　(2)　(3)R 解析　(1)小球通过最高点B时，小球对下管壁有压力，则有mg－0.5mg＝m 解得v1＝ (2)小球通过最高点B时，小球对上管壁有压力，则有mg＋mg＝m 解得v2＝ (3)从B点飞出，做平抛运动，所以下落时间都相同，根据2R＝gt2 得t＝2 则有Δx＝v2t－v1t＝R。 8．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图像如图乙所示，则(　　) A．数据a与小球的质量无关 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 答案　D 解析　设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝m，即FT＝v2－mg，由题图乙知a＝mg，＝，所以g＝，R＝，A、B错；当v2＝c时，有FT1＋mg＝m，将g和R的值代入得FT1＝－a，C错；当v2＝2b时，由FT2＋mg＝m，可得FT2＝a＝mg，故拉力与重力大小相等，D对。 9．如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是(　　) A．衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R B．衣物转到b位置时的脱水效果最好 C．衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg D．衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大 答案　B 解析　衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，在a、b位置，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误；设在a、b两点的支持力分别为FN1和FN2，根据牛顿第二定律有mg＋FN1＝m，FN2－mg＝m，可知FN1<FN2，结合牛顿第三定律可知，衣物对滚筒壁的压力在a位置比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误；衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。 10.(2023·浙江省模拟预测)如图所示是游乐场中的一种过山车，轨道车套在轨道上且在轨道的外侧做圆周运动。设图中轨道半径为R，重力加速度为g，则对轨道车中某一乘客而言(　　) A．速度大于才能通过最高点 B．过最高点时车对人作用力一定向上 C．过最低点时车对人作用力一定向上 D．过最低点时速度一定大于过最高点时速度 答案　C 解析　当过最高点速度较小时，人受到车竖直向上的力，由牛顿第二定律可得mg－FN＝m， 即v<时也能通过最高点，A错误； 当过最高点车对人的作用力恰好为0时，由牛顿第二定律可得mg＝m，解得v＝ ，当0≤v＜时，人受到车的作用力向上；当v＞时人受到车的作用力向下，B错误；过最低点时，由牛顿第二定律可得：FN－mg＝m， 车对人作用力一定向上，C正确；过最低点时速度不一定大于过最高点时速度，D错误。 11．某人站在一平台上，用长L＝0.6 m的轻细线拴一个质量为m＝0.6 kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，最高点A距地面高度为3.2 m，当小球转到最高点A时，人突然松手，小球被水平抛出，落地点B与A点的水平距离BC＝4.8 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2。求： (1)小球从A到B的时间； (2)小球离开最高点时的速度大小； (3)人松手前小球运动到A点时，绳对小球的拉力大小。 答案　(1)0.8 s　(2)6 m/s　(3)30 N 解析　(1)小球从A点飞出后做平抛运动，竖直方向满足h＝gt2 解得t＝0.8 s (2)小球离开最高点时的速度大小为v0＝＝6 m/s (3)人松手前小球运动到A点时，对小球由牛顿第二定律得FT＋mg＝m 代入数据解得绳对球的拉力大小为FT＝30 N。 12．如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小； 答案　(1)10mg　(2)　(3)g 解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知： mg＋FN1－F1＝m 解得FN1＝10mg (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2－FN2－mg＝m 由题意可知，当FN2＝0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝ (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg。则：Fn＝F3－FN3＝m 解得FN3＝4mg 由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3 固定支架对轨道的作用力为F＝ 解得F＝g。 学科网（北京）股份有限公司 $$