第五章 专题强化 与斜面、曲面相结合的平抛运动-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）浙江

专题强化　与斜面、曲面相结合的平抛运动 [学习目标]　1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重难点)。2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重点)。 一、与斜面有关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝ 已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 例1　如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的质量为m的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，重力加速度为g，空气阻力不计。 (1)若小球以最小位移到达斜面，求小球到达斜面经过的时间t； (2)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间t′。 答案　(1)　(2) 解析　(1)小球以最小位移到达斜面时位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，解得t＝。 (2)小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，解得t′＝。 例2　跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求： (1)运动员在空中的飞行时间t1； (2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0； (3)运动员落在斜面上时的速度大小v； (4)运动员何时离斜面最远。 答案　(1)3 s　(2)75 m　(3)10 m/s　(4)1.5 s 解析　(1)运动员从A点到B点做平抛运动， 水平方向的位移大小x＝v0t1 竖直方向的位移大小y＝gt12 又有tan 37°＝ 代入数据解得t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。 (2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0＝＝75 m。 (3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s， 则运动员落在斜面上时的速度大小v＝＝10 m/s。 (4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行， tan 37°＝， 即tan 37°＝， 解得t2＝＝1.5 s。 二、与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移 x＝v0t y＝gt2 R2＝(x－R)2＋y2 例3　如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　) A.h B.h C.h D．2h 答案　B 解析　小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确。 例4　(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　) A．t1∶t2＝∶ B．t1∶t2＝2∶ C．v1∶v2＝∶10 D．v1∶v2＝∶5 答案　BD 解析　小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，B正确，A错误；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。 例5　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°， 又vy＝gt，联立解得t＝ 小球在水平方向上做匀速直线运动，则有 R＋Rcos 60°＝v0t， 联立解得v0＝，故选B。 专题强化练 1.如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ＝37°，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则运动员离开A点时的速度大小为(　　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 答案　B 解析　运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为L，则有Lsin 37°＝gt2，解得L＝75 m，设运动员离开A点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，则有Lcos 37°＝v0t，解得v0＝20 m/s，B正确，A、C、D错误。 2.如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，不计空气阻力，由此计算出该物体的水平位移x和水平初速度v0为(　　) A．x＝25 m B．x＝5 m C．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s 答案　C 解析　物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，将速度进行分解，有tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故C正确，A、B、D错误。 3．(多选)某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，如图所示，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，则下列说法正确的是(　　) A．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变 B．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小 C．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大 D．若将炮弹初速度减为，炮弹在空中运动时间变为原来的 答案　AD 解析　根据平抛运动的推论可知，炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确；由tan θ＝得：t＝，若将炮弹初速度减为，则炮弹在空中运动时间变为原来的，D项正确。 4．图甲是首钢滑雪大跳台，又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。两个滑雪运动员A、B分别从斜面顶端O点沿水平方向飞出后，A落在斜面底端，B落在斜面的中点，不计空气阻力，则(　　) A．运动员A、B在空中飞行的时间之比为2∶1 B．运动员A、B到达斜面时的速度之比为∶1 C．运动员A、B从斜面顶端水平飞出的速度之比为2∶1 D．运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为∶1 答案　B 解析　滑雪运动员从O点飞出后做平抛运动，根据几何知识B落点的高度是A落点高度的一半，根据t＝得＝，A错误；根据题意A、B做平抛运动的位移与水平方向夹角相等，则有＝得＝＝，则运动员A、B到达斜面时的速度之比＝＝，运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为1，B正确，C、D错误。 5.如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为t，根据几何关系可知OB连线与水平方向的夹角的正弦值为，因此小球从P点到B点的水平位移为1.6R，设初速度大小为v0，则0.8R＝gt2，1.6R＝v0t，联立解得v0＝，故B正确，A、C、D错误。 6.如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为(　　) A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16 答案　D 解析　根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，解得t＝，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，A、B、C错误，D正确。 7.如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是(　　) A．tan θ1tan θ2＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 答案　A 解析　从题图中可以看出，在A点的速度方向与水平方向的夹角为θ1，则有tan θ1＝＝。由P到A过程，其位移与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，则tan θ1tan θ2＝2，故选A。 8.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　) A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 答案　A 解析　当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点，故选A。 9．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　) A．物体B比A先到达P点 B．A、B物体一定同时到达P点 C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9 D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3 答案　BC 解析　两物体同时抛出，都落到P点，由平抛运动的规律可知，两物体下落了相同的竖直高度，由H＝得t＝，即两物体同时到达P点，A错误，B正确；两物体运动时间相同，抛出的水平距离之比等于抛出时两物体初速度的大小之比，设圆的半径为R，如图所示，由数学知识得xAM＝2Rcos2 37°，xBM＝2Rsin2 37°，联立得xAM∶xBM＝16∶9，所以vA∶vB＝16∶9，C正确，D错误。 10.(多选)(2023·杭州市高一校联考期中)高台跳雪是2022年北京冬奥会的比赛项目之一，如图，跳雪运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb＝1∶2沿水平方向向左飞出。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法正确的是(　　) A．飞行时间之比为2∶1 B．飞行的水平位移之比为1∶4 C．落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同 D．在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶2 答案　BC 解析　a、b运动员落到雪坡上都有tan θ＝，解得t＝，所以＝＝，故A错误；飞行的水平位移之比为＝＝，故B正确；假设落到雪坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝2tan θ，可知两运动员落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故C正确；将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，运动员在垂直坡面方向上做匀减速直线运动，当这个方向的速度减为零时运动员在空中离雪坡面的距离最远，设最远距离为d，则有d＝，运动员在空中离雪坡面的最远距离之比为1∶4，故D错误。 11.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。求：(空气阻力不计，重力加速度为g) (1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； (2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？ 答案　(1)　　(2)　 解析　(1)设飞行时间为t，则水平方向lABcos 30°＝v0t， 竖直方向lABsin 30°＝gt2， 解得t＝tan 30°＝，lAB＝。 (2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。 小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0， 由vy＝v0y－gyt′可得 t′＝＝＝tan 30°＝ 小球离斜面的最大距离y＝＝＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$