第五章 4 第2课时　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）浙江

DIWUZHANG 第五章 第2课时　平抛运动的两个重要推论　 一般的抛体运动 1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。 2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。 3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 学习目标 2 学习目标 内容索引 一、平抛运动的两个重要推论 二、一般的抛体运动 课时对点练 3 一 平抛运动的两个重要推论 4 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ＝__________＝__________ ② 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ＝_____ ① 位移偏向角的正切值 联立①②式可得tan θ＝2tan α。 例1 　如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若 v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是 A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1＝φ2 D.无法确定 √ 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β， 由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ＋θ)＝2tan θ， 此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。 例2 　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) √ 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， 二 一般的抛体运动 11 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这 个物体做斜抛运动，如图所示。 1.斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？ 答案　采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。 2.试根据所学知识分析斜上抛运动的特点   初速度 受力情况 加速度 运动情况 水平方向 v0x＝_________ _______ ax＝___ __________运动 竖直方向 v0y＝_________ ______ ay＝___ __________运动 v0cos θ 不受力 0 匀速直线 v0sin θ 重力 g 竖直上抛 梳理与总结 1.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝ 。 2.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移 水平位移：x＝v0xt＝ 。 竖直位移：y＝_______________。 v0sin θ－gt v0tcos θ 3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小 ，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 相等 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间 下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作 运动来分析。 等于 平抛 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 思考与讨论 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 例3 　(多选)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 A.飞靶从A到B的飞行时间为2 s B.飞靶在最高点的速度大小为25 m/s C.抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大 D.抬高仰角θ，飞靶的飞行距离不断增大 √ √ 例4 　如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则 A.B的加速度比A的加速度大 B.B的飞行时间比A的飞行时间长 C.B落地时的速度比A落地时的速度大 D.B在最高点的速度与A在最高点的速度相等 √ A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误； 两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误； 三 课时对点练 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ 基础对点练 C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D.若小球初速度增大，则θ减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误； 2.如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为 A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动， 考点二　一般的抛体运动 3.(2022·宁波市高一期中)某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是 A.相邻位置运动员重心的速度变化相同 B.运动员在A、D位置时重心的速度相同 C.运动员从A到B和从C到D的时间相同 D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 相邻位置的时间间隔相同，根据Δv＝gΔt， 可知运动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，故B错误； 由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误； 由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。 4.(2023·浙江省金华第一中学高一校联考期中)甲、乙两位同学玩相互抛接球的游戏，其中一位同学将球从A点抛出后，另一同学总能在等高处某点B快速接住，如图所示。假设甲同学出手瞬间球的速度大小为v，方向与水平面成θ角，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.球在空中相同时间内速度变化量不相同 B.球到达B点时速度与A点时相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D.保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越短 √ 球抛出后在空中只受重力作用，做匀变速曲线运动，所以球在空中相同时间内速度变化量相同，故A错误； 球到达B点时速度与A点时大小相等，方向不同，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.“过水门”是由两辆消防车相对喷水形成类似水门的造型而得名，这项寓意为“接风洗尘”的仪式，是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，若水柱轨迹在两相互平行的竖直面内，甲、乙两喷水口的高度相同，甲喷出的水柱最高点更高，不计空气阻力，则 A.甲喷口处的水速度一定更大 B.甲喷出的水射得一定更远 C.甲喷出的水在空中运动时间一定更长 D.甲喷口处的水柱与水平面的夹角一定更大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将甲、乙喷出的水运动到最高点的过程逆向看作是平抛运动，甲喷出的水柱最高点更高， 甲、乙喷出的水柱在水平方向做匀速直线运动，则有x＝vxt，由于无法得出二者水平分速度vx大小关系，所以无法得出二者喷出的水射程大小关系，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设喷出时水的初速度为v，喷口处的水柱与水平面的夹角为θ， 甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，但vx大小关系无法确定，所以无法得出二者喷出的水初速度大小关系和初速度与水平面夹角大小关系，故A、D错误。 6.两消防员在水平地面A、B两处使用相同口径的喷水枪对高楼着火点进行灭火，出水轨迹简化为如图所示，假设均能垂直击中竖直楼面上的同一位置点P。不计空气阻力，则 A.A处水枪喷出的水在空中运动的时间较长 B.B处水枪喷出的水在空中运动的时间较长 C.A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大 D.B处水枪喷出的水击中墙面的速度较大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将喷出的水看作小球，利用逆向思维，两小球从抛出点抛出到垂直击中P的过程可以看成小球从P点做平抛运动， 则从抛出到击中墙壁的时间相等，即A、B两处水枪喷出的水在空中运动时间相同，故A、B错误； 根据x＝v0t可知，两球的水平方向位移不同， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则击中墙面的速率v ∝x，所以A处水枪喷出的水击中墙面的速度较大，C正确，D错误。 7.(2022·杭州二中月考)如图所示，小球从A点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁的B点，已知小球在A点速度大小为 m/s，与水平方向成60° 角。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 A.小球上升的最大高度为0.6 m B.小球在最高点的速度大小为3 m/s C.小球从A运动到B的时间为0.3 s D.A、B间的水平距离为1.6 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球做斜抛运动，在水平方向上做匀速直线运动， 在竖直方向上做竖直上抛运动， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2023·浙江省模拟)如图所示的音乐喷泉，假设从水面四周喷出的各水流，速度大小相等、与水平面所成夹角大小相同，不计空气阻力、水流互不干扰。则下列说法正确的是 A.水落回水面的速度都相同 B.初速度加倍，水在空中飞行时间加倍 C.初速度加倍，水的水平射程加倍 D.空中上升过程的水，处在超重状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 速度是矢量，水落回水面的速度大小相等，方向不同，故A错误； 设初速度大小为v0，与水平方向夹角为θ，斜抛运动在竖直方向上的分运动为竖直上抛运动， 由此可知，初速度加倍，水在空中飞行时间加倍，水平射程变为原来的四倍，故B正确，C错误； 空中上升过程的水，加速度向下，处于失重状态，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A.落在a点的小球撞在墙面的速度最小 B.三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式va＝vc>vb C.落在c点的小球飞行时间最短 D.a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三个小球的水平位移相同，a、b、c三点速度方向的反向延长线一定过水平位移的中点，故D正确； 令θ表示小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角，x和h分别表示水平位移和竖直位移， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三个小球水平位移相同，代入数据后解得va＝vc>vb，故A错误，B正确。 10.在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上(如图)，设投球点到篮筐的距离为9.8 m，不考虑空气阻力，重力加速度g＝9.8 m/s2。 (1)篮球进筐的速度有多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　9.8 m/s　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设篮球出手和进筐的速度大小分别为v0和v，由题意可知v＝v0。设篮球从出手到落入篮筐所用的时间为t，在竖直方向篮球只受重力，为竖直上抛运动，以竖直向上为正方向，则有－v0sin 45°＝v0sin 45°－gt。篮球在水平方向的分运动为匀速直线运动，有x＝v0tcos 45°，联立解得v＝v0＝9.8 m/s。 (2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2.45 m 11.从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取 10 m/s2)求： (1)石子在空中运动的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　1.2 s　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取竖直向上为正方向，落地时竖直方向 的速度向下，则－vy＝v0sin 30°－gt， 解得t＝1.2 s。 (2)石子的水平位移大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 石子在水平方向上做匀速直线运动： (3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，设最大高度为h， 答案　0.45 m (4)抛出点离地面的高度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　3.6 m 12.(多选)如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知抛出的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是 A.QM的长度为20 m B.OP与水平方向的夹角为22.5° C.质点在P点的速度大小为40 m/s D.质点在P点的速度与水平方向的夹角为45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com 联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ ＝＝______ ① tan α＝＝＝______ ② A.d B.2d C.d D.d －＝d， 解得x＝d，故选C。 v0tsin θ－gt2 答案　做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t＝，所以物体落回同一水平面的时间为T＝，则可知T 与竖直分速度有关。 答案　物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy＝0)，可得：hm＝，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 答案　由x＝v0xt总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x＝，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ＝45°时，sin 2θ＝1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得 飞靶从A到B的飞行时间为tAB＝2t1＝2＝4 s， 故A错误； 飞靶在水平方向的速度vx＝＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度大小为25 m/s，故B正确； 根据运动的分解可得vx＝vcos θ，vy＝vsin θ，飞靶飞行的时间t＝＝，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故C正确； 飞行距离x＝vxt＝＝，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，并不是不断增大，故D错误。 两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误； 落地时根据vy＝，知A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。 B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 将小球的速度、位移分解如图所示，vy＝gt， v0＝＝，故A错误； 设位移方向与水平方向夹角为α，由平抛运动的 推论知tan θ＝2tan α，α≠，故B错误； 由tan θ＝＝知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确。 则小球运动的时间为t＝＝3 s，故选C。 C.球在空中上升的最大高度为 将球的初速度在竖直方向分解有vy＝vsin θ，根据竖直方向的运动规律有 vy2＝2gh，解得球在空中上升的最大高度为h＝，故C正确； 根据斜抛运动的对称性可知，球在空中运动的时间为t＝2·，可见保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越长，故D错误。 根据h＝gt2及vy2＝2gh可知，甲喷出的水在空中运动时间一定更长，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，故C正确； 有v＝，tan θ＝， 根据h＝gt2，可知落地时间只与高度有关， 则在P点的速度为vAP＝，vBP＝， 2 竖直方向上的初速度为vy0＝vAsin 60°＝2× m/s＝3 m/s， 小球上升的最大高度为Hm＝＝ m＝0.45 m，所以A错误； 小球在最高点时，竖直方向速度为0，只有水平方向速度，则小球在最高点的速度大小为vx0＝vAcos 60°＝2× m/s＝ m/s，所以B错误； 小球从A运动到B的时间为t＝＝ s＝0.3 s， 所以C正确； A、B间的水平距离为xAB＝vx0t＝×0.3 m≈0.52 m，所以D错误。 水在空中运动的时间为t＝， 水平方向的射程为x＝v0cos θ·t＝， 三个小球的竖直位移大小关系为hc>hb>ha，根据h＝gt2可知tc>tb>ta，即落在a点的小球飞行时间最短，故C错误； 则tan θ＝＝＝＝， 小球撞在墙面的竖直分速度大小为vy＝， 合速度大小为v＝，联立以上三式可得v＝， 篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h＝＝＝2.45 m。 如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则＝tan 60°＝ 即vy＝vx＝v0cos 30°＝× 6× m/s＝9 m/s 答案　 m　  x＝v0tcos 30°＝6×1.2× m＝ m。 由于v0y＝v0sin 30°＝6× m/s＝3 m/s， 由v0y2＝2gh得h＝＝ m＝0.45 m。 抛出点离地面的高度h1＝|v0sin 30°×t－gt2|＝|6××1.2 m－×10×1.22 m|＝3.6 m。 根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有MP ＝gt2，可得t＝2 s，质点在水平方向的位移为 OM＝v0t＝40 m，根据平抛运动的推论可知Q是 OM的中点，所以QM＝20 m，故A正确； tan θ＝＝1，θ＝45°，因为OP与水平方向的夹角满足tan α＝＝，可见tan θ＝2tan α，但是α不是θ的一半，故α不为22.5°，故B错误； 质点在P点的竖直速度vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s， 所以在P点的速度为v＝＝ m/s ＝20 m/s，故C错误； 因为＝tan θ＝1，所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确。 $$