第六章 专题强化 水平面内的圆周运动的临界问题-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）苏京

DILIUZHANG 第六章 专题强化　水平面内的圆周运动 　　　　　的临界问题 学习目标 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。 2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 2 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1.水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到　　　　。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为　　。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到　　　承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为　　。 最大值 0 最大 0 2.解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 　如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是 A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 例1 √ A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向 心加速度最大，选项A错误； 摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物 体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误； 　如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g) (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； 例2 (2)当角速度为 　　　时，绳子对物体拉力的大小。 此时，F＋μmg＝mω2r 　质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g) A.a绳的张力可能为零 B.a绳的张力随角速度ω的增大而增大 C.当角速度ω> 时，b绳中有弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化 例3 √ 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A错误； 由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，故D错误。 　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求： (1)小球静止时所受拉力和支持力大小； 例4 对小球受力分析可知 (2)小球刚要离开锥面时的角速度； 小球刚要离开锥面时FN＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 mgtan θ＝mrω02 r＝Lsin θ (3)小球以ω1＝ 的角速度转动时所受拉力和支持力 的大小。 说明小球已离开锥面，FN＝0 设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示 则有FT1sin α＝mω12L sin α， 解得FT1＝3mg。 答案　3mg　0 专题强化练 1.(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则 A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D.若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础强化练 √ 杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误； 杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确； 杯子做匀速圆周运动Fn＝Ff＝mω2r，离转盘中心越近，所需摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误； 根据Ff＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩 　擦因数μB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确； 若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列分析正确的是 A.若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力越大 B.当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω＝ C.若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑 D.若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力不变，等于重力，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误； 因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力等于系统总重力，D正确。 4.如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对小球，由牛顿第二定律，有 FN1＋FN2cos θ＝mg 可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零，底面对小球的支持力FN1可能为零。所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用。由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.如图所示，正方形框ABCD竖直放置，两个完全相同的小球P、Q分别穿在方框的BC、CD边上，当方框绕AD轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点，已知两球与方框之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角 速度最大不能超过多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动 μmg＝mω02r (2)当转盘的角速度ω＝　　　时，游客抓住绳子可使自 己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意有FT＋μmg＝mω2r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是 A.此时绳子张力为FT＝4μmg B.此时圆盘的角速度为ω＝ C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D.若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 能力综合练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需 向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快 到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝ ，此时A所需的向心力大小为FnA＝mω2r＝2μmg，B所需的向心力大小为FnB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断细线，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故B正确，A、C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。求转台转动的角速度。 对小物块受力分析，如图所示：设此时的角速度为ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan θ＝mRω02sin θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(2022·南通市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方　处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力， 求ω1的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示， mgtan θ＝mω22r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2023·南通市高一统考期末)如图所示，一质量为m的小球用长度均为L的两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定在杆上距P点为L的Q点。当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加 速度为g。 (1)当绳b刚好拉直(无弹力)时，求小球的线速度大小v； 圆周运动的半径r＝Lcos 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周运动的最小周期T。 竖直方向Fasin 30°＝Fbsin 30°＋mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力 Fa＝4mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.(2023·苏州市高一统考期中)如图甲所示，一半径为R＝0.5 m的水平转盘可以绕着竖直轴OO′转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1 m的细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2 kg、mB＝0.5 kg的小球A和小物块B连接。现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转 盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始 终处于水平转盘的边缘处与转盘 相对静止，取g＝10 m/s2，求： 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)若小球A的角速度ω＝5 rad/s，细线与竖直方向的夹角θ； 答案　37° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对小球A受力分析，由牛顿第二定律得 mAgtan θ＝mAωA2rA 即θ＝37° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)在满足(1)中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图乙中画出Ff－ω2图像(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向)。 答案　2 rad/s≤ωB≤4 rad/s　见解析图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当物块B受到的最大静摩擦力指向圆心时， 转盘ωB最大 FT＋μmBg＝mBRωBmax2 解得ωBmax＝4 rad/s 当物块B受到的最大静摩擦力背离圆心时，转盘ωB最小 FT－μmBg＝mBRωBmin2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解得ωBmin＝2 rad/s 水平转盘角速度ωB的取值范围为 2 rad/s≤ωB≤4 rad/s。 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com 物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。 答案　 当恰好由最大静摩擦力提供向心力时对应绳子拉力为零时的最大角速度，设此时转盘转动的角速度为ω0，根据牛顿第二定律有μmg＝mω02r，得ω0＝。 解得F＝μmg。 答案　μmg 当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力， 根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的张力不变，故B错误； 当b绳拉力为零时，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳中有弹力，故C正确； 答案　mg　mg  FT＝mgcos θ＝mg  FN＝mgsin θ＝mg 答案　 解得ω0＝＝ 因为ω1＝>ω0＝ 物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误； 对螺丝帽根据牛顿第二定律得FN＝mω2r，根据平衡条件得  μFN＝mg，解得ω＝，B错误。 A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 C.当v0<时，小球对底面的压力为零 D.当v0＝时，小球对侧壁的压力为零  FN2sin θ＝m 当v0<时，FN1＝mg－>0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 A. B. C. D. 设方框边长为l，小球质量为m，对P球，根据牛顿第二定律可得μmω2l ＝mg，对Q球，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2，联立解得μ＝，故选B。 答案　 得ω0＝ 答案　μmg 得FT＝μmg 由牛顿第三定律得：FT′＝FT＝μmg。 答案　 解得：ω0＝＝＝。 答案　 r 则μmg＝mrω12，解得：ω1＝。 答案　 tan θ＝ 联立解得：ω2＝。 答案　 小球的合力提供向心力mgtan 60°＝m 解得v＝ 答案　π 水平方向Facos 30°＋Fbcos 30°＝mr 解得T＝π。 由几何关系知rA＝sin θ 解得cos θ＝ (可能使用到的数据：sin 30°＝，cos 30°＝，sin 37°＝，cos 37°＝) 绳子拉力FT＝＝2.5 N $$