第六章 专题强化 竖直面内的圆周运动-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）苏京

DILIUZHANG 第六章 专题强化　竖直面内的圆周运动 学习目标 掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 2 内容索引 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 专题强化练 3 一 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 4 1.如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力 示意图   动力学 方程 　　　　　　　　 　　　　＝ 临界特征 F＝0，即mg＝ ，得v＝ ，是物体能否过最高点的临界速度 mg＋F 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； 例1 答案　2 m/s (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力 大小； 答案　15 N (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。 　杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求： (1)在最高点水不流出的最小速率； 例2 在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小， (2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。 解得FN＝10 N 由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为FN′＝FN＝10 N。 答案　10 N 二 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 13 1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图   动力学方程 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg 的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度 大小； 例3 (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； 答案　4 N，方向向下　11 N，方向向上 (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。 答案　6 m/s 　(2023·南通市高一期末)如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球 A.可能做匀速圆周运动 B.通过最高点时的最小速度为 C.通过最低点时受到的弹力方向向上 D.在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 例4 √ 由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆 心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误； 因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过 最高点时的最小速度为0，故B错误； 小球通过最低点时由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向向上，则小球受到的弹力方向也向上，故C正确； 在下半圆运动时，只受到外侧管壁弹力，故D错误。 三 专题强化练 1.图甲是在笼中表演的摩托飞车，其中某次在竖直平面内的表演可简化为图乙所示，将竖直平面看作半径为r的圆。已知摩托车和驾驶员(可简化为质点)的总质量为M，重力加速度为g，关于在竖直平面内表演的摩托车和驾驶员，下列说法正确的是 A.在最高点受到的最小弹力为Mg B.在最高点的最小速度为0 C.在最低点超重，在最高点失重 D.在最低点失重，在最高点超重 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础强化练 √ 在最高点受到的最小弹力为0，此时由重力提供向心力，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最低点有方向向上的加速度，处于超重状态，在最高点有方向向下的加速度，处于失重状态，故C正确，D错误。 2.(2023·江苏省高二学业考试)如图所示为马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道，表演者骑摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，以v＝ 的速度通过轨道最高点，则此时轨道对车的作用力F为(g为重力加速度) A.mg、方向竖直向下 B.mg、方向竖直向上 C.3mg、方向竖直向下 D.3mg、方向竖直向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2023·南京市高一校联考期中)长度为0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为1 m/s，取g＝10 m/s2，则此时轻杆OA将 A.受到16 N的压力 B.受到24 N的压力 C.受到24 N的拉力 D.受到16 N的拉力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到 　的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，不计空气阻力，重力加速度为g。小球通过最高点B时 (1)若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg， 求小球从管口飞出时的速率v1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若小球第一次以v1飞出管口，第二次以v2飞出管口，求两次落地点间的距离。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图像如图乙所示，则 能力综合练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2022·扬州中学高一开学考试)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是 A.衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R B.衣物转到b位置时的脱水效果最好 C.衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg D.衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大 √ 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，在a、b位置，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设在a、b两点的支持力分别为FN1和FN2， 根据牛顿第二定律有mg＋FN1＝ ，FN2 －mg＝ ，可知FN1<FN2，结合牛顿第三 定律可知，衣物对滚筒壁的压力在a位置 比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动， 所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22 kg，半径为0.5 m。质量为0.1 kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度 g取10 m/s2。则小球在最高点的速度大小为 A.2 m/s　　　　　 B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2023·淮安市高一校联考期中)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B在最高点时 A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为 C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.某人站在一平台上，用长L＝0.6 m的轻细线拴一个质量为m＝0.6 kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，最高点A距地面高度为3.2 m，当小球转到最高点A时，人突然松手，小球被水平抛出，落地点B与A点的水平距离BC＝4.8 m，不计空气阻力，g＝ 10 m/s2。求： (1)小球从A到B的时间； 答案　0.8 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得t＝0.8 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)小球离开最高点时的速度大小； 答案　6 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)人松手前小球运动到A点时，绳对小球的拉力大小。 答案　30 N 代入数据解得绳对小球的拉力大小为FT＝30 N。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为 ，求此时轨道对陀螺的弹力大小； 答案　10mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知： 解得FN1＝10mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为 ，求固定支架对轨道的作用力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg。 由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com m m (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。 小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N。 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。 答案　4 m/s 解得v＝ m/s 答案　 m/s 即mg＝m，r＝ 因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有FN＋mg＝m mg±F＝m v＝ (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 答案　 m/s 小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m，代入数据解得v1＝＝ m/s 当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向 上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg－F1＝m， 代入数据得：F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆 的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2＋mg＝m，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上； 当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有  F－mg＝m，代入数据解得v4＝6 m/s。 在最高点受到弹力为0时的速度最小，根 据Mg＝M，得v＝，故B错误； 根据F＋mg＝m，解得F＝mg，方向竖直向下。故选A。 小球通过最高点时，设轻杆对小球的弹力向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得F＋mg＝m，解得F＝m－mg＝2× N－2×10 N＝－16 N，可知小球通过最高点时，轻杆对小球 的弹力向上，大小为16 N；根据牛顿第三定律可知，此 时轻杆OA将受到16 N的压力。故选A。 A.v的最小值为 B.当v＝时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v＝时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 根据公式a＝可知，当v＝时，小球的加速度为a＝g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误； 当v＝时，小球需要的向心力为Fn＝m＝2mg＝F弹＋mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确； 当v<时，小球需要的向心力Fn＝m<mg，可知小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg－FN＝m，可得FN＝mg－m，则v逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力FN逐渐增大，故D错误。 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B。 答案　 小球通过最高点B时，小球对管下壁有压力，则有mg－0.5mg＝m 解得v1＝ 答案　 小球通过最高点B时，小球对管上壁有压力，则有mg＋mg＝m 解得v2＝ 答案　R 从B点飞出，做平抛运动，所以下落时间都相同，根据2R＝gt2 得t＝2 则有Δx＝v2t－v1t＝R。 A.数据a与小球的质量无关 B.当地的重力加速度为 C.当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D.当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝m，即  FT＝v2－mg，由题图乙知a＝mg，＝，所以g＝，R＝，A、B错； 当v2＝c时，有FT1＋mg＝m，将g和  R的值代入得FT1＝－a，C错； 当v2＝2b时，由FT2＋mg＝m，可得FT2＝a＝mg，故拉力与重力大小相等，D对。 m m 根据题意，对圆管受力分析，由平衡条件可知，小球在最高点对圆管有竖直向上的作用力，大小等于圆管的重力，由牛顿第三定律可知，圆管对小球有竖直向下的作用力，大小等于圆管的重力，在最高点，对小球，由牛顿第二定律有Mg＋mg＝，代入数据，解得v＝4 m/s，故选B。 球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即 重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝， 故A错误； 由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小 vA＝，故B错误； B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正确，D错误。 小球从A点飞出后做平抛运动，竖直方向满足h＝gt2 小球离开最高点时的速度大小为v0＝＝6 m/s 人松手前小球运动到A点时，对小球由牛顿第二定律得FT＋mg＝m mg＋FN1－F1＝m 答案　 由题意可知，当FN2＝0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝ 受力分析可知：F2－FN2－mg＝m 答案　g 则：Fn＝F3－FN3＝m，解得FN3＝4mg 固定支架对轨道的作用力为F＝ 解得F＝g。 $$