第六章 3 向心加速度-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）苏京

DILIUZHANG 第六章 3　向心加速度 学习目标 1.理解向心加速度的概念(重点)。 2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(重难点)。 2 内容索引 一、对向心加速度的理解 二、向心加速度的大小 课时对点练 三、圆周运动的动力学问题分析 3 一 对向心加速度的理解 4 如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； 答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。 (2)地球和小球加速度的作用是什么？ 答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 梳理与总结 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向　　　，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向　　　。 3.作用：改变速度的　　　，不改变速度的　　　。 4.物理意义：描述速度　　　变化的快慢。 5.说明：匀速圆周运动加速度的　　　时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是　　　　　　　　。 圆心 圆心 方向 大小 方向 方向 变加速曲线运动 6.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度　　　　　　；可分解为_____ 　　　　和　　　　　　分析。向心加速度改变速度　　　，切向加速度改变速度　　　。 不指向圆心 向心 加速度 切向加速度 方向 大小 (1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　) (2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。 (　　) (3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　) (4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　) × × × √ 辨析 二 向心加速度的大小 10 1.向心加速度公式 (1)an＝　＝　　。 (2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝　　。 (3)由于ω＝　＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝　　 ＝ 。 2.向心加速度与半径的关系(如图所示) ω2r ωv 4π2f2r 3.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 (1)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。 (　　) (2)由an＝ 知，向心加速度an与半径r成正比。(　　) √ × 辨析 　自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则 A.A点和B点的线速度相同 B.B点和C点的向心加速度相等 C.B点和C点的向心加速度之比为4∶1 D.B点和C点的线速度大小之比为2∶1 例1 √ A点和B点是链条传动，线速度大小相等，方向不同，故A错误； 因为两齿轮的半径关系未知，无法比较B、C两 点向心加速度的大小，故B、C错误。 　(2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求： (1)女运动员做圆周运动的角速度ω； 例2 答案　π rad/s 女运动员做圆周运动的角速度 ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s (2)触地冰鞋做圆周运动的半径r； 答案　1.5 m (3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。 答案　15 m/s2 根据向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。 三 圆周运动的动力学问题分析 19 　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g) (1)细线上的拉力大小； 例3 小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示， 由平衡条件可知，竖直方向： FTcos θ＝mg， (2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。 由Fn＝mrω2 思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到绳上端的高度有关。 　甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.甲图中两小球的运动周期相等 B.甲图中两小球的线速度大小相等 C.乙图中两个小球的线速度大小相等 D.乙图中两个小球的角速度大小相等 例4 √ 设题图甲中做圆锥摆运动的其中一个小球对应摆绳与竖直方向的夹角为θ，摆球与悬点的高度差为h，线速度大小为v，周期为T， 由此可知题图甲中两小球的线速度大小不相等，周期相等，A正确，B错误； 设题图乙中倒圆锥母线与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可得 两球运动的轨道半径不同，故线速度、角 速度大小均不同，C、D错误。 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 总结提升 5.解方程求出待求物理量。 拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度 1.向心加速度的方向 第一步，画出物体经过A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短，A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。 四 课时对点练 考点一　对向心加速度的理解 1.(2023·江苏省高二学业考试)下列关于向心加速度的说法中正确的是 A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B.向心加速度的方向不一定指向圆心 C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D.匀速圆周运动的向心加速度不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ 向心加速度是描述做圆周运动的物体速度方向变化快慢的物理量，故A错误； 向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，故B错误； 匀速圆周运动中线速度的变化只表现为线速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，故C正确； 向心加速度的方向是变化的，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是 A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大 B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大 C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大 D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 根据a＝ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误； 根据a＝4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是 A.线速度增大，角速度不变 B.线速度不变，角速度减小 C.线速度减小，向心加速度增大 D.角速度增大，向心加速度增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 考点二　向心加速度的计算 4.(2023·江苏省响水中学高一校考期中)如图所示的自行车，大、小轮半径之比为4∶1，A为小轮边缘上的点，B为大轮边缘上的点，则自行车行驶时，A、B两点的向心加速度大小之比为 A.4∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 考点三　匀速圆周运动的动力学问题 6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是 A.线速度vA＝vB B.角速度ωA>ωB C.它们受到合力FA合>FB合 D.它们受到的摩擦力FfA>FfB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误； 根据v＝ωr可知，选项A错误； 由F合＝mrω2可知，选项C正确； 在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由 于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则空气对飞机的作用力大小为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为 能力综合练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2023·淮安市高一联考期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是 A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小 D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2023·无锡市江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)衣服对桶壁的压力大小； 答案　40 N 衣服所受弹力F＝mω2r＝40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力为F′＝F＝40 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 衣服竖直方向受力平衡，Ff＝mg＝5 N 而Ff＝μF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2023·扬州市高一统考期中)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求： (1)被困人员B做圆周运动的半径r； 答案　15 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，可得r＝Hsin 37°＝15 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)悬索对被困人员B的拉力大小； 答案　750 N 对被困人员B受力分析，有FTcos 37°＝mg 解得FT＝750 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)被困人员B做圆周运动的角速度。 根据牛顿第二定律可得FTsin 37°＝mω2r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2023·镇江市高一统考期中)链球是奥运会比赛项目，研究运动员甩动链球做匀速圆周运动的过程，简化模型如图所示，不计空气阻力和链重，则 A.链球受重力、拉力和向心力三个力的作用 B.链长不变，转速越大，链条张力越小 C.链长不变，转速越大，θ角越小 D.转速不变，链长越大，θ角越大 √ 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com r  r  A点和C点是同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，可得＝＝，因为vA＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正确； 根据v＝ωr得r＝＝ m＝1.5 m 答案　 故拉力FT＝。 答案　　 联立解得ω＝。 小球做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝  FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝m， 故小球的线速度大小v＝。 根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝ mhtan θ 解得v＝tan θ T＝2π ＝m＝mrω′2 解得v′＝，ω′＝ 4.利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。 因此，θ＝，由角速度定义知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt 根据加速度定义式a＝，由v＝ωr 向心加速度大小的表达式为an＝ω2r，an＝。 根据a＝可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确； 根据a＝r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误； 水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω＝可知角速度增大，根据a＝可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。 两轮均在地面上滚动，可知A、B两点线速度相等，根据公式an＝，有＝＝4。故选A。 A.＝ B.＝ C.＝2 D.＝ 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A、B错误； 由于右边两轮同轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝，C错误，D正确。 A. B.m C.mg D. 飞机受到竖直向下的重力和空气给的作用力，两力之和提供向心力，如图所示，故有F＝＝m，故选B。 A.μmg B. C.μm(g＋) D.μm(g－) 在最低点有：FN－mg＝m，得FN＝mg＋m，又由滑动摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，C选项正确。 杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力  F＝mgtan θ，对侧壁的压力FN′＝FN＝，其 中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向 心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误； 向心力F＝mr，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误； 向心力F＝m，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。 答案　 解得μ＝。 答案　 rad/s 解得ω＝ rad/s。 根据题意，对链球受力分析可知，受重力mg和拉力F，合力提供做圆周运动的向心力，如图所示，则有F＝，F合＝mgtan θ，设链长为L，则做圆周运动的半径为r＝Lsin θ，由牛顿第二定律有F合＝m(2πn)2r，整理可得cos θ＝，若链长不变，转速越大，θ越 大，则链条张力越大，若转速不变，链长越大，θ角越 大。故选D。 $$