江西省宜春市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试数学 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B C A B 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 1．C【详解】由题知，，又或， 则，即.故选：C 2．B【详解】由，则，但，不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 3．D【详解】由，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即， 第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为，甲组数据的第50百分位数为， 于是，解得，所以.故选：D 4．A【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点.故选：A 5．B【详解】由题知，当时，，即，解得， 令，解得.故选：B 6．C【详解】由已知，注意到是奇函数，，所以，所以. 7． A 【详解】对于：函数为增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以，当时，函数为增函数， 所以，当时，函数为减函数， 所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，当时， ，即，故错误.故选：. 8． B 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为.故选:B. 9．ABD 【详解】对于A，命题，的否定为，，故A错误； 对于B：若都是第一象限角，且，例如，但是，故B错误； 对于C，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D选项，，则，D错.故选：ABD. 10．AC 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误．故选：AC 11．ABD 【详解】依题意，为偶函数， 且，有，即关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 因为的周期为4，关于对称， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 因为的周期为4，则，， 所以，故C错误； 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确.故选：ABD. 12．3.5 【详解】设B类样本的平均数为x，则，解得.故答案为：. 13． 【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为， 中间等边的面积为， 所以莱洛三角形的面积是，周长为， 故面积与周长之比为．故答案为： 14． 【详解】画出的图象如下： 令，则函数至多两个零点，而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点，需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同，所以， 此时满足，故, 15．（1）；（2） 【详解】（1）.................................................6分 （2）因为， 又角终边上一点，所以， 故.........................................................................................13分 16．【答案】(1)， (2) 【详解】由题意知正数满足，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值....................................................................7分 （2），则，，∴， ， （时）或（时）， ，则，解得，即的范围是．...........................15分 （2）方法二：，则，，即， 令，，， 当时，，此时，成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上所述，，即；.................................................................15分 17．(1)n的取值集合为， (2) 【详解】（1）根据题意，，按组距为5可分成6个区间， 分别是，，，，，， 因为，且，， 所以n的取值集合为............................................................3分 每个小区间对应的频率值为. 所以，解得..........................................7分 （2）依题意等级产品的频率为， 等级产品的频率为， 所以等级产品和等级产品的频率之比为， 所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品， 等级产品的件数为4，分别记为，，，， 等级产品的件数为1，记为. 从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有，，， ，，，，，，，共10种. 事件“抽取的2件产品都是等级”包含的可能情况有， ，，，，，共6种， 故所求概率为.....................................................................................15分 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数......................3分 （2）由（1）知：， 因为，所以，又且，所以， 则函数与均为上的单调递减函数， 所以是上的单调递减函数， 又是定义域为的奇函数， 所以， ,， 令又在区间上单调递减， 所以的最大值为，所以..........................................................................9分 （3）由（1）知：， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以， 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为， 所以当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上可知：.............................................................17分 19．(1)是，理由见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”.......................................3分 （2）取， ∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”.......................................9分 （3）对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即....................................................17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 宜春一中2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 一、单选题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 解答题 15.（13分） 15.（13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分） 宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合或，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（    ） A．60 B．65 C．70 D．71 4．若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义域为R的函数 (a、b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．若都是第一象限角，且，则 C．函数的定义域是，则函数的定义域为 D．函数的最小值为 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为]．则（    ） A． B．A与C为对立事件 C．A与B相互独立 D．B与C相互独立 11．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以4为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有3个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为 . 13．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ． 14．设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．(13分) （1）化简：； （2）已知角终边上一点，求的值． 16. (15分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：．. (1)已知，正数满足，求的最小值； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 17．(15分)十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表： 性能指标值 等级 A B C D E 为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“”，当时（为正整数），满足：. (1)试确定的所有取值，并求； (2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率. 18．(17分)已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若，且函数在上最小值为，求实数的值. 19．(17分)已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． (1)判断函数是否是“倍缩函数”？ (2)证明：函数存在“2倍值区间”； (3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试数学 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B C A B 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 1．C【详解】由题知，，又或， 则，即.故选：C 2．B【详解】由，则，但，不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 3．D【详解】由，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即， 第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为，甲组数据的第50百分位数为， 于是，解得，所以.故选：D 4．A【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点.故选：A 5．B【详解】由题知，当时，，即，解得， 令，解得.故选：B 6．C【详解】由已知，注意到是奇函数，，所以，所以. 7． A 【详解】对于：函数为增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以，当时，函数为增函数， 所以，当时，函数为减函数， 所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，当时， ，即，故错误.故选：. 8． B 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为.故选:B. 9．ABD 【详解】对于A，命题，的否定为，，故A错误； 对于B：若都是第一象限角，且，例如，但是，故B错误； 对于C，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D选项，，则，D错.故选：ABD. 10．AC 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误．故选：AC 11．ABD 【详解】依题意，为偶函数， 且，有，即关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 因为的周期为4，关于对称， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 因为的周期为4，则，， 所以，故C错误； 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确.故选：ABD. 12．3.5 【详解】设B类样本的平均数为x，则，解得.故答案为：. 13． 【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为， 中间等边的面积为， 所以莱洛三角形的面积是，周长为， 故面积与周长之比为．故答案为： 14． 【详解】画出的图象如下： 令，则函数至多两个零点，而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点，需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同，所以， 此时满足，故, 15．（1）；（2） 【详解】（1）.................................................6分 （2）因为， 又角终边上一点，所以， 故.........................................................................................13分 16．【答案】(1)， (2) 【详解】由题意知正数满足，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值....................................................................7分 （2），则，，∴， ， （时）或（时）， ，则，解得，即的范围是．...........................15分 （2）方法二：，则，，即， 令，，， 当时，，此时，成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上所述，，即；.................................................................15分 17．(1)n的取值集合为， (2) 【详解】（1）根据题意，，按组距为5可分成6个区间， 分别是，，，，，， 因为，且，， 所以n的取值集合为............................................................3分 每个小区间对应的频率值为. 所以，解得..........................................7分 （2）依题意等级产品的频率为， 等级产品的频率为， 所以等级产品和等级产品的频率之比为， 所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品， 等级产品的件数为4，分别记为，，，， 等级产品的件数为1，记为. 从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有，，， ，，，，，，，共10种. 事件“抽取的2件产品都是等级”包含的可能情况有， ，，，，，共6种， 故所求概率为.....................................................................................15分 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数......................3分 （2）由（1）知：， 因为，所以，又且，所以， 则函数与均为上的单调递减函数， 所以是上的单调递减函数， 又是定义域为的奇函数， 所以， ,， 令又在区间上单调递减， 所以的最大值为，所以..........................................................................9分 （3）由（1）知：， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以， 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为， 所以当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上可知：.............................................................17分 19．(1)是，理由见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”.......................................3分 （2）取， ∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”.......................................9分 （3）对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即....................................................17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$