第2章 专题强化7 小船渡河与关联速度问题-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（鲁科版）

专题强化7　小船渡河与关联速度问题 [学习目标]　1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 一、小船渡河模型 如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。 (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ (2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ (4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 答案　(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。 ②船随水漂流的运动。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小s＝，位移方向满足tan θ＝。 (3)情况一：v水<v船 最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝。 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短位移为s＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。 (4)无关。 例1　(2022·陕西商洛高一期末)某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为(　　) A．30 s B．60 s C．75 s D．100 s 答案　A 解析　船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin＝＝ s＝30 s，故选A。 例2　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ (3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 答案　(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s　(3)船头指向与河岸的上游成60°角 解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移s＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝＝ s＝50 s 又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 (3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二、关联速度模型 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　(1)不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车＝l1－l2。 (2)不相等，船的速度大于车的速度。 (3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)由v＝v船cos α得v船＝。 1．分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即合速度。 分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。 2．常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v∥＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′即v物cos α＝v物′cos β 例3　(2022·绵阳市高一期末)如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则(　　) A．重物做匀速运动 B．重物做匀变速运动 C．vM＝vcos θ D．v＝vMcos θ 答案　C 解析　将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，则有vM＝vcos θ，由于运动过程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。 例4　(多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图所示位置下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案　BD 解析　设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 例5　(2022·大连市第八中学高一检测)在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是(　　) A．v0sin θ B. C．v0cos θ D. 答案　D 解析　将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcos θ，解得v＝，故D正确，A、B、C错误。 专题强化练 1．(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) 答案　AB 2.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度(　　) A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 答案　B 解析　小船的速度v船＝，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，B正确。 3．(多选)(2022·张家口市高一期末)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个队按不同的要求渡过一条宽为200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是(　　) A．蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船 B．红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船 C．蓝队完成任务到达对岸用时40 s D．红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s 答案　BD 解析　蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝＝＝ s＝50 s，选项C错误；红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝＝ s＝40 s，选项D正确。 4．(多选)(2022·福州市高一期末)如图所示，一条细绳跨过光滑轻质定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，则下列说法正确的是(　　) A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为vcos θ C．细绳的张力等于物体A的重力 D．细绳的张力大于物体A的重力 答案　BD 解析　将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示，故物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝vcos θ，故A错误，B正确。物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，故细绳的拉力大于物体A的重力，故C错误，D正确。 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是(　　) A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等 B．若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等 C．vA＝vBtan θ D．vA＝vBsin θ 答案　C 解析　当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，当θ＝45°时，vA＝vB，故选C。 6．(2022·三明市高一期末)下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是(　　) 答案　D 解析　以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。 7.(2022·辽阳市高一期末)某次抗洪救灾中，救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域的距离d＝20 m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s，皮筏和车均视为质点，求： (1)皮筏运动到车旁的最短时间t； (2)在(1)中皮筏运动的位移大小s。 答案　(1)20 s　(2)20 m 解析　(1)皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝ 解得t＝20 s。 (2)由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小s1＝d＝20 m 沿水流方向的位移大小s2＝v2t＝40 m 由几何关系知s＝ 解得s＝20 m。 8.如图所示为一条河流，水流速度为v，某船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则(　　) A．t1＞t2，l1＜l2 B．t1＜t2，l1＞l2 C．t1＝t2，l1＜l2 D．t1＝t2，l1＞l2 答案　D 解析　因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等。设AB、AC与河岸垂线的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝v静sin θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静sin θ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D正确，A、B、C错误。 9.如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么(　　) A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为5 m/s D．5 s时小船到岸边距离为10 m 答案　C 解析　5 s内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m,5 s时定滑轮到船的距离l′＝－15 m＝25 m，设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin θ＝＝，由此可知，θ＝53°，cos θ＝，解得v船＝5 m/s，小船到岸边的距离s′＝＝15 m，则5 s时小船前进的距离为s1＝－s′＝(20－15) m，故A、B、D错误，C正确。 10.如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100 m处有一危险区，已知水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是(　　) A. m/s B. m/s C．2 m/s D．4 m/s 答案　C 解析　如图所示，恰使小船避开危险区，小船应沿直线AB到达对岸，此时有tan θ＝＝＝，所以θ＝30°。当船头方向与AB垂直时，小船在静水中的速度最小，最小速度为v1＝v2sin θ＝2 m/s，C项正确。 11．(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 答案　(1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m　 ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s s1＝v合tmin＝90 m ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α＝v1 得α＝30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 s2＝d＝180 m t＝＝＝24 s (2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程s3＝ 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，即v合″⊥v2′ sin θ＝＝ 得θ＝37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t′＝＝＝150 s s3＝＝300 m。 12.一个半径为R的半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小。 答案　v0tan θ 解析　由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示 将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3，即vcos θ＝v0sin θ，解得v＝v0tan θ。 学科网（北京）股份有限公司 $$