第2章 专题强化8 平抛运动的重要推论 与斜面(曲面)相结合的平抛运动-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（鲁科版）

DIERZHANG 第2章 专题强化8　平抛运动的重要推论　与斜 面(曲面)相结合的平抛运动 学习目标 1.熟练运用平抛运动的规律解决相关问题(重点)。 2.能应用平抛运动的重要推论解决相关问题(重点)。 3.掌握平抛运动与斜面相结合类问题的解题方法(重难点)。 2 内容索引 一、平抛运动的两个重要推论 二、与斜面(曲面)相结合的平抛运动 专题强化练 3 一 平抛运动的两个重要推论 4 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝ 。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角 的正切值tan θ＝ ＝___ ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ＝_______＝________ ② 联立①②式解得xOB＝ 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ＝___ ① 位移偏向角的正切值 tan α＝ ＝____ ② 联立①②式可得tan θ＝2tan α。 (2023·河北廊坊高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是 A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1＝φ2 D.无法确定 例1 √ 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时 刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角 为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝ 2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得 tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的，故选C。 　(2022·重庆西南大学附中开学考试)在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 例2 √ 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为s， 二 与斜面(曲面)相结 合的平抛运动 11 1.与斜面相结合的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速 度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面   分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝ 已知速 度方向 从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向   分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝ 已知位 移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下   分解位移，构建位移三角形 x＝v0t 已知位 移方向 在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面   分解位移 x＝v0t 2.与曲面相结合的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向   分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝ 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面   分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝ 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示   利用几何关系求解位移关系 x＝v0t y＝ R2＝(x－R)2＋y2 (2022·福州市高一期末)如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计 空气阻力，g＝10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是 例3 √ 物体撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图所示 由于不计空气阻力，因此物体水平方向的速度仍为v0， (多选)(2022·潍坊市高一期末)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是 例4 √ √ 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： 例5 (1)运动员在空中的飞行时间t1； 答案　3 s 运动员从A点到B点做平抛运动， 水平方向的位移x＝v0t1， (2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s； 答案　75 m (3)运动员落到斜面上时的速度大小v； 运动员落在斜面上时速度的竖直分量 vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s， 运动员落到斜面上时的速度大小 (4)运动员何时离斜面最远？ 答案　1.5 s 如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行， 三 专题强化练 1.(2023·上海外国语大学附属大境中学高一期末)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C.仅增大小球初速度，则平抛运动的时间不变 D.若增大小球初速度，则θ增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2022·黑龙江海林市高级中学高一开学考试)如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的 切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m， 则小球运动的时间为 A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝ ＝3 s，故选C。 3.(多选)某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，如图所示，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据平抛运动的推论可知，炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确； 4.(2022·南平市高一期末)图甲是首钢滑雪大跳台，又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。两个滑雪运动员A、B分别从斜面顶端O点沿水平方向飞出后，A落在斜 面底端，B落在斜面的中点，不计空气 阻力，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.运动员A、B在空中飞行的时间之比为2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 滑雪运动员从O点飞出后做平抛运动，根据几何知识，B落点的高度是A落 点高度的一半，根据t＝ ， A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α ＝ ，所以A、C、D错误，B正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2022·江西横峰中学高一期末)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的 运动时间之比为 A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2023·淮安市淮阴中学高一校考阶段练习)如图所示，将一个小球(可视为质点)从半球形坑的边缘A以速度v0沿直径方向水平抛出，落在坑壁某点B，忽略空气阻力。从A到B的过程，下列说法中正确的是 A.v0越大，小球运动时间越长 B.v0越大，小球运动位移越大 C.v0越大，小球运动加速度越大 D.v0取适当值，小球可能垂直坑壁落入坑中 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由分析可知v0越大，小球运动的水平位移越大， 由几何关系可知，小球运动的位移越大，故B 正确； 小球做平抛运动，加速度为重力加速度，大小与初速度无关，故C错误； 由平抛运动的推论知，则无论v0为何值，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。 8.(2023·成都石室中学高一期中)运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆， 如图所示。测得ab间的距离为40 m，斜坡与水平 方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取10 m/s2。 (1)求运动员在空中飞行的时间t； 答案　2 s (2)求运动员在a处的速度大小v0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 运动员从a处运动到b处，做平抛运动， 根据平抛运动规律Lsin 30°＝ Lcos 30 °＝v0t (3)若滑雪道斜坡足够长，运动员在a点的飞出速度大小发生变化时，他落在斜坡上的速度方向是否变化，并说明理由。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　见解析 在平抛运动中速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍，运动员在a点的飞出速度大小发生变化时，他落在斜坡上的速度方向不会变化。 9.(多选)(2022·四川省绵阳南山中学高一月考)从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A.落在a点的小球撞在墙面的速度最小 B.三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式va＝vc>vb C.落在c点的小球飞行时间最短 D.a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 提高题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三个小球的竖直位移大小关系为hc>hb>ha，根据h＝ 可知tc>tb>ta，即落在a点的小球飞行时间最短，故C错误； 三个小球的水平位移相同，a、b、c三点速度方向的反向 延长线一定过水平位移的中点，故D正确； 令θ表示小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角，x和h分 别表示水平位移和竖直位移， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°， 小球在水平方向上做匀速直线运动，则有 R＋Rcos 60°＝v0t， 11.(2022·龙岩市高一期末)2022年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，我国选手最终夺得了金牌。大跳台侧视简图如图所示，假设着陆坡倾角α＝30°，运动员运动到着陆坡上A点正上方的M点时，速度大小为v0＝ ，方向水平，运动过程中运动员可视为质点；落到着陆坡上B点时，速度方向与竖直方向夹角为β＝30°， 不计空气阻力，已知重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)运动员刚到B点时的速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 运动员运动到着陆坡时的速度分解如图所示， 运动员到达B点时速度大小 (2)运动员从M运动到B的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设运动员从M经时间t到达B点，在B点的竖直分速度为vy，则有vy＝v0tan 60°＝10 m/s 由平抛运动的规律有vy＝gt 解得t＝ s (3)A、M间的距离h。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　10 m 设A、B间的水平距离为x、竖直距离为y，M到B过程中，由平抛运动规律，x＝v0t 由平抛运动的规律可知y＝xtan 30° 联立代入数据解得h＝10 m。 12.(2022·泉州市高一期中)如图所示，一小球(可视为质点)从平台上水平抛出，恰好落在邻近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝ 0.8 m，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，不计空气阻力，求： (1)小球水平抛出时的初速度大小v0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　3 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知，小球落到斜面顶端并刚好沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，如图所示 vy2＝2gh 解得vy＝4 m/s 根据vy＝v0tan 53° 解得v0＝3 m/s (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　1.2 m 由vy＝gt1 得t1＝0.4 s 斜面顶端与平台边缘的水平距离x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m (3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后到达斜面底端所经历的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　2.4 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin 53° 解得a＝8 m/s2 所以t＝t1＋t2＝2.4 s。 13.(2022·莆田市高一期中)跑酷是时下风靡全球的时尚极限运动，一跑酷运动员在一次训练中的运动可简化为以下运动：运动员首先在平直高台上以4 m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，运动8 m的位移后，在距地面高为5 m的高台边缘水平跳出，在空中调整姿势后恰好垂直落在一倾角为53°的斜面中点位置。此后运动员迅速调 整姿势沿水平方向蹬出，假设该运动员可视为 质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2， sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选做题 (1)求运动员从高台边缘跳出到落到斜面上所用的时间t； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　0.6 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设运动员从高台边缘水平跳出的速度为v0，匀加速的位移为l， 由速度位移公式得v02＝2al 代入数据解得v0＝8 m/s 恰好垂直落在一倾角为53°的斜面中点位置时， 代入数据解得运动员从高台边缘跳出到落到斜面上所用的时间为t＝0.6 s (2)求该斜面底端与高台边缘的水平距离s。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　2.4 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设高台距斜面中点的水平距离为x， 水平方向上有x＝v0t＝8×0.6 m＝4.8 m 则斜面中点距地面竖直距离 h＝H－y＝5 m－1.8 m＝3.2 m 该斜面底端与高台边缘的水平距离为 s＝x－x′＝4.8 m－2.4 m＝2.4 m。 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com v0t＝xA。 xA ＝ A.d B.2d C.d D.d －＝d， 解得s＝d，故选C。 ＝ ＝ y＝gt2 tan θ＝＝ y＝gt2 tan θ＝＝ ＝ ＝ gt2 A. s B.1 s C. s D.2 s 设物体竖直方向的速度为vy，则有tan 60°＝，又由vy＝gt，解得t＝ s，故选A。 A.t1∶t2＝∶ B.t1∶t2＝2∶ C.v1∶v2＝∶10 D.v1∶v2＝∶5 小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37° ＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝ gt2，可知t1＝＝，t2＝＝， 解得t1∶t2＝2∶，B正确，A错误； 小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R， 根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。 竖直方向的位移y＝gt12， 又有tan 37°＝，代入数据解得t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。 运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s＝＝75 m。 答案　10 m/s v＝＝10 m/s。 tan 37°＝， 即tan 37°＝， 解得t2＝＝1.5 s。 小球落地时竖直方向的速度vy＝gt，根据题意可得tan θ＝，解得v0＝，A错误； 设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论2tan α＝tan θ可知α≠，B错误； 竖直方向高度不变，根据h＝gt2，可得t＝，若增大小球初速度，则平抛运动的时间不变，C正确； 根据tan θ＝可知，若增大小球初速度，则θ减小，D错误。 A.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变 B.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小 C.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大 D.若将炮弹初速度减为，炮弹在空中运动时间变为原来的 由tan θ＝得，t＝，若将炮弹初速度减为，则炮弹在空中运动时间变为原来的，D项正确。 B.运动员A、B到达斜面时的速度之比为∶1 C.运动员A、B从斜面顶端水平飞出的速度之比为2∶1 D.运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为 ∶1 得＝ 根据题意，A、B做平抛运动的位 移与水平方向夹角相等，则有 ＝得＝＝，则运动员A、B到达斜面时的速度之比＝＝，运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为1∶1，B正确，C、D错误。 A.h B.h C.h D.2h ，解得x＝h 根据平抛运动规律以及落在斜面上的特 点可知x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，解得 t＝，两小球的初速度大小相等， 所以时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，A、B、C错误，D正确。 根据题意可知，小球做平抛运动，竖直方向上， 有h＝gt2，解得t＝，可知，当小球落在 圆心正下方时，运动时间最长为tm＝，水 平方向上有R＝v0tm，解得v0＝，即当小球以抛出时，运动时间最长，若初速度v0>，则v0越大，小球运动时间越短，若初速度v0<，则v0越大，小球运动时间越长，故A错误； 答案　10 m/s gt2 解得t＝2 s，v0＝10 m/s gt2 则tan θ＝＝＝＝， 小球撞在墙面的竖直分速度大小为vy＝，合 速度大小为v＝，联立以上三式可得v＝ ，三个小球水平位移相同，代入 数据后解得va＝vc>vb，故A错误，B正确。 A. B. C. D. 又vy＝gt，联立解得t＝ 联立解得v0＝，故选B。 10 m/s 答案　20 m/s vB＝ 解得vB＝20 m/s 答案　 s h＋y＝gt2 在斜面顶端时的速度v＝＝5 m/s 根据＝vt2＋at22 解得t2＝2 s或t2′＝－ s(舍去)， 由运动的合成与分解得tan 53°＝＝ 竖直方向上，有y＝gt2＝×10×0.62 m＝1.8 m 斜面中点距斜面底端水平距离为x′＝＝2.4 m $$